книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 7]	СИСТЕМЫ БОЛЕЕ ВЫСОКОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ	161
как	системы, релятивно грубые в множестве систем,	негрубых

и не являющихся системами первой степени негрубости. Совершенно аналогично можно определить динамические си­

стемы 3-й, 4-й, ..., га-й степени негрубости. Определение вво­ дится индуктивно. В рассматриваемом случае динамических си­ стем с аналитическими правыми частями введем определение

близости систем (расстояния между двумя системами)			до ранга
5, 7, ..., 2га+ 1. Именно, пусть даны системы:			(А)
х = Р(х,	у),	y = Q{x,y),
х = Р(х,	у),	y - =Q{x,y) .	(А)

Система (А) называется б-близкой к системе (А) в Сгп+1 -то-

пологии, если	выполняются неравенства
\Р{х,	у) — Р(х,	i/)l< 6 ,	IQ(x, y) — Q(x, i/)l< 6 ,
	|	(*. У) — Pliyh-i (*. У) | <		б,
	| Q X h~l (Х>У') —		(** У) | <	б’
k = 1 , 2 , . . . ,		2 г а + 1 ,	i = 0 , 1 , 2 , . . . ,	2 г а + 1 .

Динамическая система (А) называется системой п-й степени негрубости в замкнутой области G, если она является негрубой системой, не являющейся негрубой системой степени, меньшей или равной га — 1, п если она является релятивно грубой в мно­

жестве негрубых систем, не являющихся
негрубыми системами		степени, меньшей
или равной га— 1.
Консервативные динамические систе­
мы (см. гл. 7), как уже указывалось,
естественно рассматривать			как динамиче­
ские	системы бесконечной		степени	не­
грубости.			определяющие
Отметим, что условия,
ту или другую степень негрубости, явля-					Р и с . 9 8
ются	аналитическими	условиями.		При

этом топологический характер траекторий в окрестности особой траектории той или другой степени негрубости может и не от­ личаться от характера траекторий в окрестности некоторой гру­ бой особой траектории или особой траектории меньшей степени негрубости.

Укажем некоторые особые траектории или образования из

особых траекторий степени негрубости выше первой.
1. Состояние	равновесия, для которого А = 0, о 0, кратно­
сти больше двух	(т. е. для которого ^ ( l , 0) = 0).

Такими состояниями равновесия являются в гл. 6			состояния
равновесия, для которых А = 0, оФ 0 и	/га > 2	(см.	[69,	70]).
2. Состояния равновесия, для которых	А = 0	и о = 0.		Такие
состояния равновесия также могут иметь	различную		кратность.

11 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

162 ПРОСТЕЙШИЕ НЕГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 9

Характер таких состояний равновесия в зависимости от их крат­ ности, а также других определяющих их величин может быть любым из типов, описанных в § 2 гл. 4, а также более сложным (примеры более сложных состояний равновесия см. § 3 гл. 4).

3. Сложный фокус кратности выше первой, т. е. такой, для

которого о = 0,		т. е. cti =	1, сс2 = аз = 0,	а	некоторое	а ^ О 654
4.	Предельный цикл кратности больше двух				(см. [7]).
5.	Петля сепаратрисы, у		которой в седле	О (х0, уо) (см. [8])
		Ос = Рх (з-о’ Уо) "t" Qv Уо) =		О -
6.	Замкнутый	контур,	составленный из		сепаратрис	седел
(рис.	98).

Г Л А В А

10

БИФУРКАЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Определение бифуркации. Бифуркацией динамической системы мы будем называть изменение качественной (тополо­ гической) структуры разбиения на траектории, происходящее при переходе от данной негрубой системы

	dx/dt =	Р{х,	у), dy/dt = Q(x,		у)	( А )
	к сколь угодно близкой измененной системе
	dx/dt =	Р(х,	у) = Р(х,	у) + р(х,	у),	( A )
	dy/dt =	Q{x,	y ) = Q ( x ,	y)+q(x,	у),

имеющей качественную структуру, отличную от качественной структуры системы (А). При этом под измененными системами,

б л и з к и м и	к с и с т е м е (А),	будем	(см. § 8 гл.	8) понимать
систему, у	которых не только	сами	правые части	Р(х, у) и

Q(x, у) соответственно близки к Р(х , у) и Q(x, у ), но и частные производные от Р(х, у) и Q(х, у) до некоторого определенного (каждый раз устанавливаемого) порядка близки.

У всякой негрубой системы (А) непременно существует по крайней мере одна негрубая особая траектория, т. е. либо не­ грубое состояние равновесия, либо негрубый предельный цикл, либо негрубая сепаратриса состояния равновесия.

Рассматривая изменение качественного характера траекто­ рий в некоторой достаточно малой окрестности какой-либо не­ грубой особой траектории (т. е. в окрестности особой точки, в окрестности замкнутой траектории, в окрестности сепаратрисы или некоторого контура, составленного из сепаратрис), мы бу­ дем говорить, что рассматривается бифуркация негрубой особой траектории (или контура, составленного из особых траекторий) того или другого типа.

Простейшей бифуркацией называется бифуркация при пере­ ходе от данной системы (А), являющейся системой первой сте­ пени негрубости, к сколь угодно близким грубым системам. При рассмотрении простейших бифуркаций системой (А), близкой

к системе (А), мы будем, так же	как и	в гл. 9, считать систему,
у которой правые части Р(х, у)	и Q(х,	у) и их производные до

11*

164	БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ	[ГЛ. 10
третьего	порядка близки соответственно к Р(х, у),	Q(x, у) и

производным от них до третьего порядка.

Как мы видели, в случае, когда система (А) является систе­ мой первой степени негрубостп, у нее имеется негрубая (неза­ висимая) траектория одного из следующих типов:

а) двукратное состояние равновесия седло-узел; б) сложный фокус первого порядка; в) двойной предельный цикл;

г) сепаратриса, идущая из одного седла в другое, или сепа­

ратриса, идущая из седла в то	же седло	(образующая петлю),
в случае, когда в этом седле 0 (х,	у)
РX(#о> Уо) "Ь Qv (•*■<>’ Уо) ^		0.

Мы рассмотрим каждую из этих негрубых траекторий и их бифуркации.

Мы уже говорили, что (см. § 8 гл. 8) Пуанкаре фактически пользовался понятием грубости двумерных консервативных си­ стем (в классе консервативных систем) и рассматривал измене­ ние качественной структуры таких систем при изменении пара­ метра1). Им же введены термины «бифуркация», «бифуркаци­ онное значение параметра», которые использовались впослед­ ствии в [2, 3] (и в настоящей книге) в более широком смысле.

§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубостп.

I. Бифуркации двукратного состояния равновесия седло-узел.

Вэтом случае линейной заменой переменных (на основании

изложенного в гл. 4; случай А = 0,	о ¥=0) систему можно				при­
вести к виду
dxldt = Р2(х, у) + Рг(х, у) + ... = Р(х,				у),
dy/dt = by + Q2(X , у) + ... = <?(х,			у),
где Рк(х, у) — однородные многочлены степени			к.	При этом
Р* (0, 0) + Q'y(0, 0) = Ъ ф 0,	Р2(1, 0) =		у Ф 0.
В зависимости от знаков величин Ъ и f		мы получаем различные
случаи расположения узловой области		и ее устойчивости			(см.
гл. 4).

При достаточно малых изменениях правых частей (напом­ ним, что мы рассматриваем только такие достаточно малые из­ менения правых частей, при которых их частные производные до третьего порядка достаточно мало меняются), при которых система делается грубой, возможны два случая:

■) Кроче весьма простых необходимых условий грубости состояний рав­ новесия гамильтоновых систем для них существуют еще также условия грубости сепаратрис, которые мы здесь не приводим.

§ 2]	БИФУРКАЦИИ СИСТЕМ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ						165
1)	либо седло-узел (рис.			99, а)	разделяется	на два грубых
состояния равновесия — седло				и	узел (узел	устойчив,	если
Ъ — Р'х (0, 0)		+	Qy (0, 0) < 0, и	неустойчив, если		Ъ — Рх (0, 0) +
+ Qy (0, 0) >		0	(рис. 99, б при условии Ъ < 0, f > 0));
2)	либо седло-узел исчезает (рис. 99, в).

Точнее: если О — двукратное состояние равновесия типа седло-узел, то: а) существуют 8о > 0 и бо > 0 такие, что всякая система (А), бо-блпз- кая (в R A ) к системе (А), либо не имеет в е0-окрестности О ни одного со­ стояния равновесия, либо имеет одно состояние равновесия типа седло-узел,

либо имеет два грубых состояния	равновесия, из которых одно — седло,
а другое — узел, и больше никаких	особых траекторий, целиком лежащих

в во-окрестности О; б) при всяком е < во существует такое б < бо, что у всякой б-близкой

к (А) системы (А), у которой в во-окрестности О существуют состояния равновесия, эти состояния равновесия лежат в е-окрестности О.

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. со­ стояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями (?•! = ib, = — ib) и с не равной нулю первой Ляпунов* ской величиной (а 3 — L1=f=0). Как было указано (см. § 5 гл. 3),

в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все по­ лупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекто­ риями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близ­ кой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рас­ сматриваемом случае имеет вид

Р == Ро + “ зРо + • • •

Коэффициент аз (в других принятых обозначениях L\) и есть

первая ляпуновская величина. В зависимости от знаков вели­ чин b Ф 0 и L\ Ф 0 сложный фокус может быть разной устой­ чивости и по-разному закручиваться (см. рис. 48,49). При доста­ точно малых изменениях правых частей, при которых система делается грубой (т. е. действительные части характеристических корней делаются не равными нулю):

166	БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ	[ГЛ. 10
	1) сложный фокус делается грубым той же	устойчивости,
что и сложный фокус;
	2) сложный фокус делается грубым фокусом противополож­
ной устойчивости, и при этом из него появляется		(«рождается»)

предельный цикл той же устойчивости, что и сложный фокус. (См. рис. 117, 118, на которых представлены бифуркации

сложного фокуса в случаях 1) и 2).)

Точнее: если О — устойчивый (неустойчивый) сложный фокус первого порядка системы (А), то:

а) существуют е0 > 0, 8о > 0 такие, что у всякой системы (А), 8 0-близ- кой к (А), в е0-окрестности О может существовать либо один устойчивый (неустойчивый) сложный фокус первого порядка (и ни одной замкнутой траектории), либо неустойчивый (устойчивый) грубый фокус и устойчивый (неустойчивый) предельный цикл;

б) при всяком е > 0 (е < е0) можно указать 6 > 0 (6 < б0) такое, что

у всякой системы (А), 8 -близкой к (А), у которой в е0-окрестности О сущест­ вует фокус или предельный цикл, этот фокус или предельный цикл целиликом лежит в е-окрестности О.

III. Бифуркации двукратного (двойного) предельного цикла.

Двукратным предельным циклом Ь0 (см. § 4 гл. 9) называется такой цикл, что в функции последования s = ais + s2+ ... ,

построенной на дуге без контакта /о, проведенной через какуюнибудь точку La, коэффициент oti = 1, а <хл^ 0.

Так как

«1 = exp j	[/^ (Ф . ф) +	<?у(ф,ф)] dt ,
lo		J
то, очевидно, для двукратного цикла		(рис. 100, а)
X
j [^*(Ф>^) +	<2у(ф.^)] dt = о, сс2ф0.

0

При достаточно малых изменениях правых частей (удовлетво­ ряющих условиям § 2 гл. 9), при которых система (А) грубая, возможны два случая:

§ 2] БИФУРКАЦИИ СИСТЕМ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ 167

1) двукратный предельный цикл разделяется на два грубых предельных цнкла — устойчивый и неустойчивый (рис. 100, б) •

2) двукратный предельный цикл исчезает (рис. 100,в).

IV.	Бифуркации сепаратрисы, идущей из седла в седло. Воз­
можны два случая.		L0	идет из	седла	в другое	седло О%
IVa.	Сепаратриса
(см. рис. 91, а гл. 8).
					О Х(
IV6.	Сепаратриса	L0	выходит	из седла	0 (х 0, у0)	и	возвра­
щается в то же седло		(образует петлю) (рис. 101,а),				и	в седле
0( х о, у о)
	Ос =	Р?. ('^0 ’ //о) "4" Qу X ’ Уо) ^			9.

Величину ос мы назвали (см. гл. 9) седловой величиной. Если в седле О

Ос‘< о,

то петля, образованная сепаратрисой Lo, устойчива (см. рис. 97). Если в седле О

	ос> 0 ,
то	петля, образованная сепаратрисой L0, неустойчива (см.
рис.	96).

При всех достаточно малых добавках, удовлетворяющих ус­ ловиям § 2 гл. 9, при которых система (А) является грубой, могут представиться следующие возможности.

Сл у ч а й IVa. Сепаратриса LQ может разделиться на две се­ паратрисы {L0 и L0), и при этом могут быть два различных поведения этих сепаратрис (см. рис. 91, б, в).

Сл у ч а й IV6. Сепаратриса Lo, образующая петлю в системе

(А), разделяется на две L0 и L0, причем:

1) При одном характере поведения сепаратрис L0 и L0 обе

сепаратрисы L0 и L0 уходят из окрестности бывшей петли се­ паратрисы Lo, так же как и все отличные от седла траектории,

проходящие через близкие к L0 и L0 точки (рис. 101,6).

2) При другом характере поведения сепаратрис L0 и L0 от петли, образованной сепаратрисой Lo, появляется (рождается)

168	БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ		[ГЛ. 1 0
предельный цикл		С, к которому стремится одна из	сепаратрис
Ь9 (или	Lo) (рис.	101, в). При этом:
Если	в седле	0 (х о, уо) системы (А) седловая	величина ое

была отрицательна, т. е.

(Ус = Р'х {х0, у0) + Q'y(*„, уо) < о

(т. е. петля, образованная в системе (А) сепаратрисой Lo, была устойчива), то рождающийся из петли предельный цикл устой­ чив (как на рис. 101).

Если седловая величина ос была положительна, т. е.

сгс = Р'х (х0, Уо) + Qy {х0, Уо) > 0

(т. е. петля была неустойчива), то рождающийся из петли пре­ дельный цикл неустойчив. То же справедливо в случае, пред­ ставленном на рис. 102.

Точнее, можно сформулировать следующее предложение.

Если Lo — сепаратриса системы (А), идущая из седла О, в седло 0 2, то:

а)	существуют во > 0, 6 0 > 0 такие, что у всякой системы (А), 6 -близ-
кой к	(А), в eo-окрестности L0 седел О, и 0% существуют седла Ог и 0 2

и в eo-окрестности L0 либо существует сепаратриса, идущая из седла в сед­ ло (и, кроме этой сепаратрисы и двух седел, больше нет ни одной негрубой особой траектории), либо нет сепаратрисы, идущей из седла в седло, и тог­

да система (А) является грубой;

б) при любом е < е0 существует б < бо (б = 6 (e)) такое, что у всякой

системы (А), б-близкой к (А), у которой в е-окрестности L0 существует се­ паратриса, идущая из седла в седло, эта сепаратриса целиком лежит в е0окрестности L0.

Если L0 — сепаратриса седла 0(хо, уо) системы (А), образующая пет­ лю, причем

°с = р х {X0 ^ y 0) + Qv К ’ Уо) ф °>

то:

а) существуют е0 > 0, б0 > 0 такие, что у всякой бо-близкой к (А) си­ стемы (А) в во-окрестности L0 лежат седло О' и либо сепаратриса L0 сед­

ла О', образующая петлю (и, кроме L0 и седла О', нет ни одной особой

S 2]	БИФУРКАЦИИ СИСТЕМ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ				169
траектории, целиком леж ащ ей в е0-окрестности				Lo), либо устойчивый при
Ос <	0 (соответственно неустойчивый при		ос > 0)	предельный цикл С, к ко­
торому стремится одна из сепаратрис			седла О ' (и, кроме		седла (У
сепаратрисы		L'a и указанного цикла, больше нет ни одной особой			траекто­
рии,	целиком	леж ащ ей в е0-окрестности	L0), либо, наконец, леж ит только

седло О' (все сепаратрисы которого при возрастании или убывании выходят

из ео-окрестности L 0)		и больше	нет	ни	одной особой		траектории,		целиком
леж ащ ей в ео-окрестности Lo;				б <	б0	(б = 6(e))	такое, что		у	всякой
б) при	любом е <	ео сущ ествует
системы (А), б-близкой к (А), у которой						в ео-окрестности Lo		сущ ествует
сепаратриса	L Q, образую щ ая петлю			или	предельный цикл, эта			сепаратриса
или предельный цикл целиком леж ит в е-окрестности L 0.
Таким	образом,	условие	ос< 0			(ао> 0 ) ,	достаточное			для

устойчивости (неустойчивости) петли, одновременно является необходимым условием того, чтобы при надлежащем характере разделения сепаратрис от петли рождался устойчивый (неустой­ чивый) предельный цикл и притом единственный.

У. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являю­

щейся	системой	первой степени	негрубости, негрубой			особой
траекторией является седло-узел			0 (х о, уо)-	Тогда в	силу	усло­
вий Г	(см. гл.	9) ни одна из сепаратрис		седло-узла	не	может

идти в седло или являться и со- и ос-сепаратрисой седло-узла.

Пусть L\		и Z/2 — сепаратрисы	седло-узла		О, ограничивающие
узловую область седло-узла, и			Lo — третья		сепаратриса		седло-
узла.
В случае		Рх (х0, У0) + Qy (х0, у0) < 0		узловая область седло-
узла является устойчивой (со-узловой), а сепаратрисы L\							и £ 2 —
co-сепаратрисами.
В	случае	Рх (х0, у0) + Qy(х0, у0) > 0		узловая		область	седло-
узла	является неустойчивой («-узловой), a				L\ и	L2— а-сепара-

трисами.

Возможны следующие типы поведения сепаратрисы Lo, со­ гласующиеся с условиями Г (см. § 6 гл. 9).

Va. Сепаратриса Lo стремится к узлу, фокусу или предель­ ному циклу2) при t + 0 0 или t->----00 в зависимости от того, будет ли Lo а- или со-сепаратрисой седло-узла, и, значит, в за­ висимости от того, будет ли в седло-узле

Рх (*о- Уо) + Qv (*о> Уо) <	0
или
Рх (Хо1Уо) ■(" Qv (Х0' Уо)^	0.

В этом случае возможные бифуркации сепаратрисы Lo очевид­ ны. Один из примеров изображен на рис. 103.

2) Так как мы предполагаем, что система (А) является системой пер­ вой степени негрубости, то в силу условий Г кроме седло-узла О все ос­ тальные особые траектории этой системы грубые.

170	БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ				Ц'Л. 10
Рис.	103, б соответствует	тому	случаю,	когда	седло-узел
(рис. 103, а) разделяется на		седло	и узел, рис. 103, в — случаю,
когда седло-узел исчезает.			седло-узлу	О и при t +°°,
V6. Сепаратриса Lo стремится к

и при t -*■—оо, однако не является со- и а-сепаратрисой седлоузла (рис. 104, а).

В этом случае при достаточно малых добавках к правым частям системы (А), при которых седло-узел разделяется (на

Рис. 103

седло и узел), мы получаем, очевидно, в окрестности Lo каче­ ственную структуру, изображенную на рис. 104, б.

При достаточно малых добавках, при которых седло-узел ис­ чезает, от сепаратрисы Lo рождается предельный цикл, и притом

а	б	В
Рис.	104

единственный (рис. 104,в). Этот предельный цикл устойчив, если в седло-узле мы имели

Р* (^о’ Уо) "t" Qy (^о> Уо) <~~

и неустойчив, если в седло-узле мы имели

р* (^о’ у о) "t" Qy (Яо> Уо)