книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

S 2)	ПРИМЕРЫ РАССМОТРЕНИЯ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА			271
l < d < 3	кривая	Чгз(х) имеет	единственную точку пересечения
с осью к	и в ней	'РзМ-сСО.	Существует единственный	устой­

чивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

При d. = 1 производная ¥ з (0) обращается в нуль. Это соответ­ ствует стягиванию (при убывании d) предельного цикла к со­ стоянию равновесия. При d < 1 циклов нет.

Бифуркационные кривые и разбиение пространства парамет­ ров ко, d (при фиксированном ^о) на области с различным рас­ пределением корней функций T i, Т г и Т з представлено на

рис. 147. Штриховкой покрыты области, соответствующие су­ ществованию двух предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. Узкой заштрихованной области внизу рисунка соответ­ ствует структура с двумя предельными циклами на верхнем фа­ зовом полуцилиндре (с двумя корнями функции Чг1 ( к ) = 0 ).

Проведенное в рассматриваемой задаче методом Понтрягина полное качественное исследование справедливо, конечно, лишь для достаточно малых р, причем никакой оценки величины р мы получить не можем.

П р и л о ж е н и е I. Для ФДи) =				(2	— x2)F — 2Е имеем
ф! (* )=	, *	а [Я — (1 — х2) F] =		~	- т Ф* (х) и Ф *'(х) =	х / '> 0 .
1	1 — X			[1 — X
Так как Ф*(0) =		0 и Ф*'(х) ^ 0, то Ф*(х) 5* 0 (и Ф* (х) > 0),				но так	как
ФДО) = 0 и Ф ^ (х )^ 0 ,			то Ф(х) ^ 0.
П р и л о ж е н и е			II. Обозначим		Ф2 = Е1— (1 — x2)F*.	Так	как
ф ' (и) =	F — £)*> 0		и Ф2(0) = 0, то		Ф2 (х) 5 * 0.

272	ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА			[ГЛ. 15
П р и л о ж е н и е		III. Обозначим Ф3 = 2(к*— i)F +	(2 — к2)Е. Так как
Фд (х) =	Зх (F — Е ) ^	0 и Фз(0) = 0, то Фд (х) ^ 0.
П р и л о ж е н и е		IV. Обозначим Ф4 = (1— к2)Е +	(2х2— 1)Е,	имеем
			ЗЕ
	® 4 (х) = Зх (2Е — F), ф"(х) = 6(2E — F ) - - ------
			1 — х
Функция Ф4(х) принимает на концах интервала 0 sC х			1 значения 0 и 1
и имеет внутри интервала единственный максимум			Ф4(хо) = ^ ( х 0) > 1 .
Следовательно, Ф4(х) ^ 0.

§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением вы­ числительных методов.

П р и м е р 1 (нелинейная система частотно-фазовой автопод­ стройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях)1). Рассмотрим еще один случай, ко­ гда эта система приводится к виду

d y ~ d t = У. d t '

— sin ф +	к 1 +	2MN	(1 )
	l*[l — ■	N2 + y2

В рассматриваемом случае консервативная система, к кото­ рой близка рассматриваемая, та же, что и в примерах 2, 3 § 2, т. е. (см. рис. 138, а)

	(ф> 2/) =	у а	(2)
		-ч>---- cos ф = h.
Функция Понтрягина в этом случае имеет вид
Л		Я
ф(/г) = 2 j	—	у) d4>— 2§kyd(p,
О		о

где у, очевидно, определяется из уравнения (2).

Выражение для функции ф(/г) после некоторых преобразова­

	ний можно записать		через эллиптические интегралы, полагая
	х2 = 2 /( й+1 ) в виде2)
	ф (h) = Y (х) = 2я — ~		Е (х) — т Ы Ы	F(x) —	N 2%2	я (х)
					4 + JV2x2
						]•
						(3 )
	Здесь F и Е, как и выше,— полные эллиптические интегралы пер­
	вого и	второго рода,	я (х ) — полный	эллиптический интеграл
	третьего	рода. Полученное выражение		для ф(й) сложно,		и его

аналитическое исследование затруднительно. Мы приведем здесь лишь данные в [136] результаты просчета на ЭВМ функции ф,(/&)

>) См. [136].

2) Здесь по сравнению со статьей [136] изменены обозначения.

§ 3) ПРИВЛЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ 273

по формуле (3) при некоторых фиксированных значениях пара­

метров М, N и к.

плоскости (ф, А)

представлены

кривые ф =>

На

рис.

148 в

ф(А), просчитанные при TV= 1 соответственно для:

а)

М =• 10 (штриховая линия);

б)

М = 1 (сплошная линия);

в)

М = 1 (штрихпунктирная линия).

Значения к, при которых проводился счет, указаны на рис. 148.

Из рассмотрения

графиков кривых,

соответствующих М = 10 и

Af = 7,

видно, что

система

(1) при малых к имеет

один устойчивый предель­

ный

цикл,

охватывающий

цилиндр (в

верхней

части

цилиндра). При

увеличе­

нии к кривая ф(А) сдви­

гается вниз и при некото­

ром значении

к

касается

оси

ф = 0.

Это,

очевидно,

означает,

что

из

уплотне­

ния

траекторий

появляет­

ся

полуустойчивый

пре­

дельный

цикл,

охваты­

вающий

цилиндр,

кото­

рый при дальнейшем уве­

личении

к

разделяется

на

два — устойчивый

(ниж­

ний)

и

неустойчивый

(верхний).

Для

значения

М = 10

при

дальнейшем

увеличении

к

устойчивый

цикл влипает в петлю се­

паратрисы,

' охватываю­

щей

цилиндр

(это

происходит,

когда

левый

конец

кривой

ф(А)

лежит

на

оси

ф = 0),

а

затем

оставшийся

неустой­

чивый предельный цикл сливается с устойчивым и этот двукрат­ ный цикл затем исчезает (это имеет место, когда максимум кри­ вой ф = ф(А) попадает на ось ф = 0). При М = 7 сначала самый верхний устойчивый цикл сливается с неустойчивым, получив­ шийся двукратный цикл исчезает, а затем, при дальнейшем воз­ растании к, оставшийся устойчивый цикл влипает в сепаратрису. При М = 1 и малых к имеется устойчивый предельный цикл, ко­ торый при увеличении к влипает в сепаратрису (охватывающую цилиндр). При достаточно больших к во всех рассмотренных случаях система (1) не имеет циклов, охватывающих цилиндр.

Из наличия указанных бифуркаций очевидно, что в рассмат­ риваемой задаче в пространстве параметров заведомо существуют

18 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

274

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

[ГЛ. 15

три

бифуркационные поверхности:

две — соответствующие

дву­

кратным циклам

(охватывающим цилиндр)

и одна — сепаратри­

се, идущей из седла в седло.

уравнения

движения

самолета

П р и м е р 2

(исследование

методом Понтрягина [33]). Введем

в уравнения движения

са­

молета (см. § 3 гл.

14) новое переменное г/ = Ур и малое

р, по­

лагая

А =

р/с.

Тогда система (1)

§

3 гл. 14 может быть записана в виде

ckp/dt = у2 —cos ф = dlljdy,

s(4)

dy/dt = — у sinф + р (к -

у2)у = -

дН/ду + р /(у ) ,

где

#(ф , У)=У3/3 —у cos ф — /г,

(5)

т. е. при р = 0 мы получаем консервативную систему.

у > 0.

По смыслу задачи рассматриваются лишь значения

Траектории этой

системы

изображены на рис. 149. Замкнутым

кривым,

охватывающим

состояние

равновесия,

соответствуют значения

h < 0, а охватывающим

цилиндр —

значения А > 0.

равновесия

Самому

состоянию

типа центра

соответствует значение

А = —2/3.

В

точках

(—я/2,

0),

о

z/г-

(л/2, 0) — седла.

(—я/2,

0),

При

р Ф 0

в точках

Рис. 149

(л/2, 0) — по-прежнему седла, и сре­

( 1 =

0, есть части оси у =

ди сепаратрис этих седел, как и при

0. Кроме того, в этом случае, очевидно,

существует еще одно состояние равновесия, координаты которого Уз, фз удовлетворяют соотношениям (у Ф 0)

у2— cos ф = 0,		— sin ф + р (А •	cos ф) = 0.		( 6)
Отсюда
cos ф *	2p2fc +	V 4p4fc2 — 4 (p2fc3	- I )(M2 +	I )	(?)
		2 ( 1 + р ) 2
Так как созф3 = р3>-0, то, очевидно, в выражении				(7)	мы долж­
ны взять знак +	перед корнем (при малых р будет р2А2— 1 < 0

и подкоренное выражение больше 4р4А2). Таким образом, после элементарных преобразований мы получаем для третьего состоя­ ния равновесия Оз(фз, уз)

COS ф3 = p 2fc + / p 2 ( l - f c 2) + l

(8)

P2 + l

§ 3] ПРИВЛЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ 275

В силу того, что при (X—•0 состояние равновесия Оз— центр, т. е.

для него А > 0,	о = 0, то,	очевидно, и при достаточно малых р,
для состояния Оз будет А >		0, т. е. Оз — фокус.
Отметим еще,	что для	значений параметра, при которых се­

паратриса идет из седла в седло, одновременно образуется два замкнутых контура из сепаратрис (среди которых есть части оси ф): контур, охватывающий состояние равновесия, и контур, охватывающий цилиндр. От первого из этих контуров может по­ явиться предельный цикл, охватывающий состояние равновесия,

аиз второго — охватывающий цилиндр.

Всогласии с методом Понтрягина для решения вопроса о циклах, охватывающих состояние равновесия, рассматриваем функции*

i|>i (h, к) = j j (рф + q'v) c?cp dy = j j (k — 3y2) dy dy,

(9)

где двойной интеграл распространен на площадь, ограниченную кривой Н (ф, y)=, h при — 2/3 < h < 0.

Для решения вопроса о циклах, охватывающих фазовый ци­

линдр, рассматриваем выражение
+я	я
ф2 (h, к) = j у (к — у*) с?ф =	2 j у (к — у2) с?ф,	(10)
—Я	о

где у определяется из уравнения #(ф , y) = h (см. гл.		12) при
h > 0.	к) и тр2 (h, к) мы доопределим по непрерыв­
Функции tyi(h,
ности до значения	h = 0, соответствующего сепаратрисе	(консер­

вативной системы), и доопределенную таким образом функцию будем обозначать через ф(Л, к). Все дальнейшее посвящено изу­

чению возможного характера функции ф(А, к)			при разных к.
Мы можем записать выражения для if>i(/i, к) и				к) в оди­
наковом виде.	(5)
Действительно, так как из
Ф = arccos		у3 — 3h
		^ — ,
то, очевидно, мы имеем, как нетрудно видеть,
to (h,k) = 2 j (к	Зу2) arccos ——		dy,	(И)
е4'(Л)			У

где e\{h) и в2(к) — корни уравнения

у3 — Зу =■ 3h, —2 / 3 < / i < 0

(при этом 1 < ei s; УЗ).

18*

276	ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА				[ГЛ. 15
Геометрический смысл е\(h)		и ег(й) (—2/3 ^ h < 0)			представ­
лен на рис.	150.				по частям,
Интегрируя стоящий в выражении (11) интеграл
мы получим
Vi(h, к)	у2) у arccos	"1 +	? f	(k~y2){2y3 + 3h) dy,.
Или			i	V 4 2- ( 3 h - y 3?
	( к -	У2) (2у 3 +	3h )	dy.	(12)
	>Ч2-(зh -
			у * )	*

Каналогичному виду преобразуется и выражение для tyiihi, к): Действительно, из (5) мы имеем

с?(р = —

у > Ч 2 - ( З й - / ) 2 d y ’

Очевидно, получаем
	Ч>2 №. к) = 2 ?	М Ж	+ й ) й	(13)
	J , V V - ( З А - у я) 2
	е2
(здесь	е*— положительный	корень	уравнения	у3 — Зу = 3h
« >	/ з ) . а е2 — положительный корень уравнения у3+ Зу = 3h,

которое получается, если в Н ( <p, y) = h подставить ф = л). Зави­ симость корней ei, ег, е2 от h изображена на рис. 151. (Часть кривой е\ (h) (начинающейся в точке А), лежащая слева от оси ординат, соответствует значениям h, — 2 / 3 < h < 0 , т. е. замкну­ тым кривым, охватывающим центр; часть этой кривой, лежащая справа от оси ординат, соответствует h > 0, т. е. кривым, охваты­ вающим цилиндр (см. рис. 151).)

§ 3]	ПРИВЛЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ	277
Подкоренное выражение в знаменателе, очевидно, может быть
записано в виде
V	- (ЗА - у3) 2 = - (р3 - 3у - ЗА) (г/3 + Зу -	ЗА).

Так как пределы интегралов в (12) и в (13) являются корнями подкоренного выражения, то оба эти интеграла несобственные,

видом аналитической зависимости от А нижнего предела интег­ рала. Так как

е-2(0) = е*2(0) = 0,

то равны предельные значения tfi (А, к) и ^(А , к) при А -*• 0, и мы можем рассматривать эти функции как значения одной и той же непрерывной функции -ф(А, к), определенной для всех

А> —2/3. Нетрудно

найти

значение

ifi(0,

к): оно просто

выра­

жается

через

значение

гамма-функции;

так

как е\(0) = УЗ,

«2 (0 ) = 0, то находим из (12)

Уз

X

X

=

4к / з |

V

i — .

■dx - 1 2

/

3 j

/

1 - :

-dx =

- 4 /

з

[

*

-

3

-

4., / в »

[

i

(1/4)

(1/4)

ел*5

Г

(14)

Покажем теперь,

что:

1) ф(— 2/3,

к) = 0

(независимо

от к);

2) для любого к можно выбрать столь большое А, что ф(А, к) будет отрицательно.

При А —2/3 в (12) не только длина промежутка интегри­ рования е\ —б2 , но также числитель и знаменатель стремятся к

278	ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА				[ГЛ. 15
нулю. Преобразуем		поэтому (12) с	помощью	подстановки у =
= е2+ (^i —ег)зт2Ф,		отображающей	интервал	ех—е2	изменения

у на интервал (0, л/2)		новой переменной Ф. Знаменатель в (12)
можно представить в виде
9у2 -	(ЗА - у3)2 = (у - е х) ( у - е2) (у -				е3) (ЗА -	3у - у3)
(е3— отрицательный корень			уравнения		г/3 —Зг/ ==• ЗА). Поэтому
		я/а
lim	4(А, А) =	lim	Г * (к ~		+ 3fe) _ йФ = 0.
Л-*-2/з			V (y — e3)(y3 + 3y — 3h)
Так как е2 < у < ех и при А			—2/3 и е2, и щ стремятся к едини­
це и знаменатель остается			положительным, а 2у3+ ЗА 0, то,
следовательно, lim г);(А,		А) = 0, если А		—2/3.		А,	обратимся
Чтобы	оценить значение		ф (А, к)	при	больших
к выражению (10)			Л
	ф (А, к) =		2 1 у (к — у2) d(p
			о
и заметим, что минимум кривой у(ф)				(см. рис. 150),			определяе­
мый в зависимости от А уравнением				у3 + Зу = ЗА,		неограничено
возрастает	с возрастанием А		(см. рис. 151). Таким			образом, при

фиксированном к для достаточно больших А подынтегральное вы­ ражение становится отрицательным, т. е. ф(А, к)< 0.

Сопоставляя этот результат с выражением для 4(0» &)* можем заключить, что для тех значений к, при которых 4(0, к)> 0, всег­ да существует по крайней мере один положительный корень

уравнения 4 (А, А) = 0.		изучения	поведения ф(А, к)		найдем
Для более	подробного
4 '(А, к). Функцию 4 (А, к)		удобно для этого взять в виде
	ei
4 (А, к) = 2 J* (к — Зу2) arccos у				~ 3ft dy.
	ег
Тогда получим3)		е3 — 3ft de,
„ ,	„ „ч		—
4 ' (А, к) = 2 {к — Зе2) arccos —
	— 2 (к — 3el) arccos		3h	+
	1			ft- З у 2
	ft— Зу2
+ 6 I V V - ( j , 3-3ft)2				9у2 — (у3 — 3ft)2	dy. (15)

3) ft входит и в подынтегральное выражение, и в пределы интегриро­ вания, поэтому нужно использовать соответствующую формулу дифферен­ цирования интегралов по параметру.

S 3]	ПРИВЛЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ		279
Так как	е\(h) и	е2(А)— положительные корни	уравнения
у3—Зу =' ЗА	(которое	получается, если в уравнение	(5) подста­

вить ф = 0), то, очевидно, находя производные dei/dA и de2/dA как производные от неявной функции, мы получим

de1	1	de2
dh	е2_| ’	dh
Эти выражения конечны для всех h¥= —2/3.				—2 / 3 < А < 0 .
Выражение (15) дает значение ф'(А, А) для
Для h > 0 получаем, дифференцируя			(10),
П			Л
ч/ {И, к) - 2 j V	- ЗУ) %	-	2 J * - е3»‘	Лф.	(16)
о			0

Последнее, выражение, разумеется, можно было бы преобразовать

к виду, совершенно	аналогичному		(15) (с заменой только		е2 на
е2), переходя к переменной у.
Выражения (15)	и (16)	определяют ф'(А, к) в интервалах
— 2/3 < h < 0 и h > 0. Нетрудно показать, что для к > 0
lim ф'(А,А) =		lim	ф' (h, к) =	+ с»;	(17)
Л-»+0		h-*—о
для к < 0
lim	ф' (h, /с) = lim		ф' (h, /с) =	— оо
Л-»+0		л->—о
и для /с = 0
lim ф'(А, 0) =		lim ф'(А, 0) = — 9я/2.
Л-»+0		Л->—0

Найдем также предельное значение ф'(А, А) при Л->- —2/3. Пре­ образуя опять (16) подстановкой

у = е2 + (ei — е2) sin2 Ф

и замечая, что

б! (—2/3) = е2 (—2/3) = 1

и, следовательно, у(Ф, — 2/3)=1, а также, что е3(— 2/3) = —2, получаем

Jl/2

lim ф'(А, А) = lim 12 ( А~~3г/ - Дф = п ~[/r2(fe—3).

^ V ( y - * 3) ( y 2 + 3 y - 3 h )

(18)

Выражения (15) — (18) определяют ф'(А, А) при А > 0 как од. позначную непрерывную функцию в интервалах

— 2/3 < h < 0, 0 < h < + о»,

принимающую при малых h положительное значение.

280	ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА	[ГЛ. 15
	Уравнение	(19)
	ф'(й, к) = 0
можно рассматривать как уравнение кривой в плоскости		(h, к).

Разрешая уравнение (19) относительно к (что, очевидно, возмож­ но, принимая во внимание выражение для о|/(h, к)), будем на

плоскости	(й, к) рассматривать эквивалентную							(19) кривую
					й = й(й).					(20)
Функция	й = й(й)		определена			для всех	й S* — 2/3,		за исключе­
нием й = 0.		Изучение		поведения кривой			к —k(h)		(или,	что	то
же, кривой		(19))	будет иметь для изучения поведения							кривой
■»|)(й, й) =	0 основное значение.
Воспользовавшись опять преобразованием
			У =		е2 + (ei — е2)sin2 Ф,
представим		функцию		й = й(й)		для значений		й,	2/3 *£ й < 0,
в виде
				Я /2		у2 d<&
			..	Г
					________________
				о	V(y —e3)(ya+3y —3h)						(2 1 )
			Я /2
						<1Ф
				оI У{У —е3)(у3 + Зу — 3h)
а для 0 < й < оо в виде					Я
						dcp
			к			d(p					(22)
					I
						- cos Ф
					о
В обоих случаях к			0 при й			0, но точка (к =		0, й =■ 0)		не при­
надлежит	кривой		k='k(h) (предельные				значения		я|/(0,	к)	при

перемене знака к переходят от + °° к — °°, проходя через значе­ ние —9л/2).

Для дальнейшего исследования привлечено численное интег­ рирование.

Численным интегрированием устанавливается 4) , что функция k=<k(h), определенная формулой (21), есть монотонная (убы­ вающая) функция при значениях —2 / 3 < й < 0 .

4) Очевидно, что при этом делается соответствующее допущение, что увеличение точности счета не изменит сделанные выводы.