книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 2] ПРИМЕРЫ РАССМОТРЕНИЯ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА 261

выражение для ^(й). Так как в рассматриваемом случае

р - о „,			2 f>by
ТО	П
2
где, очевидно, г/ = У2А.
Мы получаем
г|? (h) = 2л		( у -	У Ш - -2'-Р ^ V
Т W		у	1 + Р22/г ,1

или, вводя обозначение т) = V2A, будем иметь

ф(т])= 2п{у — т) — 2Ьрт) [1 +((3т])2] -1}.

(2)

Для того чтобы найти значения h, при которых от кривой кон­ сервативной системы рождается предельный цикл, нужно, оче­ видно, рассмотреть уравнение (которое мы получим, если при­ равнять нулю числитель %I (T]) выражения (2))

^1(Л) = (У — Л) [1 +(Рт])2] — 2Ь$г\ =
= —р2т]3 + 7Р2т)2 — (1 +		2Ьр)т] +	7 = 0. (3)
Это — кубическое уравнение, которое	может	быть	исследовано
известными методами. Мы, однако,	не будем останавливаться

на его исследовании подробно, а покажем только, что существу­ ют как значения параметров Ь, у и р, при которых это уравне­ ние имеет только один корень, так и значения параметров, при которых это уравнение имеет три корня. Очевидно, случай, ког­ да уравнение (3) имеет один корень, соответствует случаю (при достаточно малых ц), когда существует один устойчивый пре­ дельный цикл, а случай, когда это уравнение имеет три корня, соответствует случаю, когда система (1) имеет три предельных цикла — два устойчивых и между ними неустойчивый.

При граничном значении ^ = 0 (по смыслу константы к всег­ да к > 0) уравнение (3) превращается в уравнение

[—р2т)2 —(1 + 2Ьр)]т) = 0 ,

имеющее единственный действительный корень г| = 0. Очевидно, уравнение (3) будет иметь единственный действительный корень и при всех достаточно малых ^ > 0. При достаточно больших

т) > 0 "Ч?1 ( л ) 0 (член наивысшей степени по ц есть —Р2т)3; при т) > 0 он отрицателен). В нуле т)о функции I|>I (T)), очевидно,

262	ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА	1ГЛ. 15
ij?! (т]0) < 0,	что и означает, что соответствующий предельный цикл
устойчив.

Для доказательства существования значений параметров, при которых у системы (1) существует три цикла, найдем сначала

значения параметров, при которых уравнение ^(Л)= 0 имеет трехкратный корень. При этих значениях параметров должны

удовлетворяться следующие три уравнения:

% (л) =

— Р2Л3 + VPV — (1 + 2ЭД ц + у = О,

(4)

% (л) =

— 3PV

+

2уР2г|— (1

+

2ЬР) = 0,

^ ( TI) = - 6 P 2TI + 2YP2 = 0.

Из последнего уравнения находим

Ло =

Ч/З.

Подставляя это значение

%

в

первые

два

из

уравнений

(4)

(и сокращая первое уравнение на у), получаем следующие два

соотношения для параметров, при которых г|з(ц) имеет тройной

корень

(а система

(1)— трехкратный цикл):

—

■ РY —1-+о2Ь-р ■+ 1 = О,

1

V2P2 — (1 +2ЬР) = 0.

<5)

Отсюда мы получаем значения для PY

и

1 + 2&р, при которых

выполняются

условия

(4)

(т. е. уравнение

г|)(т]) = 0 имеет

трех­

кратный корень):

рY

= 27,

1 + 26р = 9.

Представим

теперь

ifi (h)

в следующем виде, раскладывая

api (ц)

по степеням

ц — цо

(Ло = ч/З)

и

принимая

во

внимание,

что

(По) =

0:

-г/* . .

Фх (Л) =

(Ло) + (Л — Ло) Wi (Ло) +

(Л — Ло)3.

(6)

где

(г|0) =

— бр2 Y 0,

когда р Ф 0.

Но, очевидно, мы всегда можем, принимая во внимание выра­

жение

(5) и полагая

1 + 2ЬР

=

1 +

JL в2у2

3

1

^

27

р

у

’

т. е. выбирая

1 +

26р

так,

чтобы

xpi (г]о) =

0,

взять Рч

таким,

чтобы

л2,,2

^ (ло)= -j V T

-

(1 +

т

=

1

у2р2 -

3 (

1

+

Р У

- 3

9

§ 2]		ПРИМЕРЫ РАССМОТРЕНИЯ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА							263
было	бы	не	равно	нулю	и знака,	противоположного		знаку
фх (т]0). Тогда, очевидно, уравнение						(6), которое	принимает		вид
						~гт
		Фх (il) =		Ф>1 СПо)(Л — Ло) +		' --3, — (Л — Ло)3.
будет	иметь,		кроме	т] = цо,	еще два	различных	корня, т]х и		т]2 .
Нетрудно,		принимая		во внимание вид грх (ri), а			значит,	и знак

Фх(т10), убедиться в том, что больший и меньший корни соответ­

ствуют устойчивым предельным циклам,	а средний — неустойчи­
вому предельному циклу.	описывающая динамику
П р и м е р 2 (динамическая система,
синхронного мотора в простейшей идеализации).		Соответствую­
щее дифференциальное уравнение имеет вид
Ф + bcp + sin ф = у, у > 0 ,	Ь > 0.	(7)
Полагая Ъ = р&о, У = P-То и записывая уравнение		(7) в виде си­
стемы, получаем

ф = У = дН/ду = Р(ф, у),

у = —sin ф + р (Уо — Ь0у) = —ЗЯ/Зф + щ = Q (ф, у, р ),

где Я(ф, у ) = у212 — cos ф, q — у0 — Ь0у. Семейство кривых

у212 — cos ф = h

имеет вид, представленный на рис. 138, а.

Значениям h из интервала —1 < h < + 1 соответствуют зам­ кнутые траектории, охватывающие состояние равновесия типа

центра,	значениям h из	интервала	1	< h <		<» — замкнутые	тра­
ектории,	охватывающие цилиндр; при			h = 1		сепаратрисы седла
образуют петлю, охватывающую цилиндр (см. рис. 138, а).
По критерию Бендиксона (Яф + Qy =					— рЬ0 =7^0) циклов,		ох­
ватывающих состояние равновесия,			нет.		Функция Понтрягина
для верхнего полуцилиндра имеет вид
	+ я	+ я
	ф (A) = j q Зф =	j [то — Ь0 У 2 (cos ф + А)] Зф.
	— Я	— я

Для нижнего полуцилиндра соответствующая функция будет от­ личаться знаком перед радикалом и, следовательно, всегда будет положительной. Поэтому на нижнем полуцилиндре циклов нет.

Полагая и2 = 2/(h+ 1), мы получим

ф(А) = ^ (и ) =

Я/2

= 2лу0 — Ъ0 / 2 ^ 3 - j У 1 — х 2(sin 0)2 30 = 2луо

о

264

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

1ГЛ. 15

где Е — полный эллиптический интеграл второго рода:

Е = £ (1 - £1 _	4 1 6 X'	(8)
Далее мы имеем
d E	E — F
d x	х
где F — полный эллиптический интеграл первого рода и

f - | ( * + X + 4 4 6 • < * + • • • ) •			(9)
Используя разложения (8)	и (9), мы, очевидно, получаем
d E	E — F	:о.
d x	х
Для существования циклов необходимо, чтобы
iKA) = 4r (x) = 0
или
| - ^ х	= £(х).
о

Очевидно, нули этого уравнения будут абсциссами точек пересечения кривой z = Е(х) и прямой г = п У х (рис. 139). Урав­

нение может иметь не более одного корня х = хо, так как

			Рис. 140
dE/dx < 0 при х Ф 0. Из	условия	хо = 1 находим границу обла­
сти существования предельного цикла:
Л VQ	*	т	л
	или		=

Плоскость параметров представлена на рис. 140. Заштрихо­ ванная область соответствует значениям параметров, при кото­ рых есть цикл.

§ 2]	ПРИМЕРЫ РАССМОТРЕНИЯ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА		265
	П р и м е р	3 (фазовая автоподстройка частоты). Рассмотрим
динамическую		систему
	dq>/dt = у	= Р, dy/dt = —sincp + у —Х(1 —d cos ф)у = Q,	(10)

которая является одной из моделей фазовой автоподстройки ча­ стоты. Мы рассмотрим эту систему в предположении, что у и % малы. Заменяя ч на p"fo и X на рХ0 ( р > 0 ) , получим систему с малым параметром р:

dq>/dt = y, dy/dt = —sin ф + р [4 0 — Хо( 1 — cos ф) i/], (И )

которую рассмотрим методом Понтрягина как близкую к кон­ сервативной, получающейся из (11) при р = 0.

При р = 0 система (И ) имеет интеграл

# ( Ф, У) = У21%— cos ф = h

и семейство кривых имеет вид, представленный на рис. 138, а. Если систему (11) записать в виде

dy/dt = Ну, dy/dt = — Яф + р<7 (ф, у),	^12у
q = То — (1 — d cos ф) у,

то значения константы h, выделяющие кривые консервативной системы, вблизи которых при малом р на верхнем и нижнем полуцилиндрах будут предельные циклы системы, соответствен­ но определяют как корни уравнений

гМ /г)= 0, ф2(й) = 0,

т. е.

яя

t i ,2	W = I qdy — pdy = J				[Vo — \	(! — d cos ф) У] dcP,		P = 0.
		—Я		—Я
Для	(h) уравнения замкнутых кривых Ch						( h > 1), охватываю­
щих	цилиндр, будут			у = +V2(cos ф + h),			а для Фг (h) —будут
у = —V2(cosa> + fe)-				1), мы получим
Полагая уг = 2/ (h +
		Я
"vpi.a (h) =		j [Vo +	(1 — d c o s		ф) V %(cos ф +		й)] dy ==
		— Я
	=	2лТо =F	{4 г - Ц ?		[2(*2-	1) F +	(2 - * 2т )	=
					= 2я7о +			(13)

Здесь F(я/2, х) и Е ( л/2, х )— полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода и х изменяется в интер­ вале 0 =£! х 1. Верхний знак соответствует индексу 1 в обозна­ чении ^ 1 ,2 , а нижний — индексу 2.

266

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

[ГЛ. 15

Значения константы h, выделяющие кривые Ch консерватив­ ной системы, охватывающие состояние равновесия, определяются как корни уравнения

Здесь

■фз(й) =

0.

(14)

'h W =

dy =

J

j — Я0(1 — fl'coscpjd'qjfl'i/

ch

Ch

и Сь. — одна из кривых у2 = 2 (cos <р + k)

при —1 < h < 1.

Как нетрудно видеть,

Ь

________

Ы Ь ) = - 2 У 2 % 0 J ( l - d

cos ср) У cos ф + h Лр,

“ *в

где фо — корень уравнения

cos фо + h = 0

(геометрический

смысл

Фо см. рис. 141).

(в интервале —1 < h <

1), для функ­

Полагая (1 + h)/2 = х

ции Понтрягина я|)з(Л) окончательно получаем

Ч»»(А) -

-у- к т

- K 2)F + (2х2 -

1) Е] d -

3 [Е -

(1 -

х2) /?]} =э

- Т , ( х ) . (15)

Корни

уравнений

4ri(x) =

0,

Ч/,2(х) =

0,

Ч,з(х) =

0

зависят

от

параметров уо, Ко, d. Пространст­

во параметров можно разбить на

области,

соответствующие

различ­

ным

возможным

распределениям

корней

уравнений.

Каждому

та­

кому

распределению будет

соот­

ветствовать

определенная

струк­

тура

разбиения

фазового

прост­

ранства

на

траектории.

Условия

появления

или

исчезновения

корней

(бифуркации)

дают

урав­

нения

граничных

поверхностей,

разбивающих пространство

пара­

метров на области.

поведения

Для

исследования

функций

Понтрягина

вычислим

Принимая

во

внимание,

их производные по х.

что

dx

х [ i —x2

J’

dx

x K

>'

из (13)

получим

< a ( * ) = ±

8

^

+

A

o

l( x)j.

(16)

§ 2]	ПРИМЕРЫ РАССМОТРЕНИЯ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА								267
Здесь,	как	и в (13),		верхний знак		соответствует		индексу 1 и
введено обозначение
			Ф1 (х) = (2 — H2)F — 2Е.						(17)
Заметим, что <I>i(x) для х¥=0 всегда положительно									(прило­
жение	I).
Вторая производная будет
< а(х) = ±		8 ^	Е		3F	( 8 - 3 H*)F	+	7х
					„з			1
		( 1 - * S)							(18)
Для Чгз(х)		находим
	Т з (« )= 16А,0х [2<*£ — (1 + d)Fh								(19)

16А.

^3 (х) = -Г—V {Л КЗ - 4х2) Е - 2 (1 - х*) F] - Е}. (20)

1— х

Вдальнейшем будем считать фиксированным “уо и проследим за возможными бифуркациями в плоскости параметров (А,о, d).

1.Бифуркации, связанные с поведением функции Y i (х). Рас­ смотрим поведение Y 1 (х) на интервале 0 ^ х ^ 1. Используя

разложения

	F = ^ - ( l +			^ + _ 9 _ И4 +				)
				4 + 4-16			+ • • • ) ’		(21)
	Е	__ 5. ( 1 _ — — 3 х4 —						)
		—	2 У1	4	4-16			‘ ” Г
	для малых х из	(13)	находим				•4		— 4лА„
	Т 1(х) =			4я	ltd	X +
		2яу0- ^ 0 (1Г -							(22)

где невыписанные члены уже не содержат х в знаменателе. Из

(22) следует, что
4Y (0)------0 0 .					(23)
Заметив, что F( 1)= °°, но	(1 — n)F2	0	при	х -*■1,	из (13)
находим
Т 1(1) = 2яуо + т ^ о ( ^ - 3 ) .					(24)
Представим выражение для 4ri(x) из		(16)	в виде
81	d) F — 2Ed +		(1 -	v?)\Fd],	(25)
¥1 (х )------£ [(х2 +

268

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

[ГЛ. 15

из (25) получаем

4^(1) = + 00,

у'1(\) = т 0,

^ ( 1 ) = - ° ° ,

d + 1 > 0,

з ч

+

О II

d + 1 < 0 .

(26)

(х) может иметь не более одного экстремума
(максимума). Это	будет	следовать	из	того,	что при условии
^ i ( xo) = 0 будет	всегда	4ri(xo) < 0	. Из	(16),	(17) Ьидно, что
4ri(x0) обращается в нуль		при значении

	d =	(2 — Хц) F — 2Е ‘			(27)
Для ^ (х ,,) из (18)	и (27)	находим
=	1 4	[я а - ( ! - * ; ) ^ 2]	< 0	,	(28)
	—

так как выражения в квадратных скобках положительны в ин­

тервале 0 < х <		1	(приложения I и II).
Сопоставляя		(23),		(26) и (28),,		заключаем, что при d + 1 > 0
функция	'Fi(x)	будет монотонной				(возрастающей);	при d + 1 <
< 0 она будет иметь один максимум.							представлены
Возможные		типы		поведения	функции 'Ei(x)
на рис.	142.		и	4ri ( l ) > 0 ,	то	существует единственный ко­
Если	d + l > 0
рень х = Xi функции 'Е 1 (х),					соответствующий		предельному

		Рис. 143			Рис. 144
циклу, охватывающему верхний фазовый полуцилиндр					(устойчи­
вому, так как	г/Ч^(Xj)>	О).	(24)	следует, что	при возра­
Если при этом d — 3 < 0, то из
стании Хо значение ^ ( l )		может	стать	отрицательным, и тогда
функция 'Ei (х)	корней иметь не		будет.	Значениям параметров,

§ 2]

ПРИМЕРЫ РАССМОТРЕНИЯ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА

269

при

которых

4ri(l) = 0,

соответствует

стягивание

устойчивого

предельного

цикла к

петле

сепаратрисы

седла,

охватывающей

верхний фазовый полуцилиндр (рис. 143).

0),

то при 4ri ( l ) >

Если d + l < 0

(и,

следовательно,

d —3 <

> 0

опять существует

единственный

корень

^ ( х ) ,

но

теперь

функция ^ ( х )

имеет

один

максимум

и

при

перемене

знака

^ [ ( l )

(при

возрастании

Хо)

из точки

х =

1

появляется

второй

корень

функции

'Pi(x),

соответствующий

неустойчивому пре­

дельному циклу на верхнем фазовом полуцилиндре.

На верхнем фазовом полуцилиндре будет два предельных цикла (рис. 144).

При дальнейшем возрастании X эти циклы сближаются, сли­

ваются в двойной (полуустойчивый) и затем исчезают.
Бифуркационная		кривая,		соответствующая				существованию
двойного цикла, определяется условиями
		Чг1(х) =		0,	¥ х(х) =		0,
или в параметрическом виде
	d = —х2Е/Фь					Хо-2ято/Фо,			(29)
где Ф0 и Oi — то же, что в			(13)		и (17).
Нетрудно обнаружить, что бифуркационная кривая двойных
циклов (28) при х -►0 уходит					в	бесконечность		(прямая Х0	0
будет асимптотой), а при х				1 имеет предельную точку d = —1,
Хо = 3.тг'о/16, расположенную				на		бифуркационной		кривой петель
сепаратрис
	¥ 1(l)^ 2 n y 0 +				|-X 0( d - 3 ) = 0.				(30)
2. Бифуркации, связанные с поведением функции ЧГ2 (х). Для
Чг2 (х) из (13)	имеем
	Чга(0)=+оо,							(31)
	Ч М 1)= 2 n 4 o -(8 /3 )X o (d - 3).							(32)
Из (16) видно,	что	'РгМ	отличается от				^ ( х )	только знаком.
Поэтому в силу (26)		будет
	'Рг (х) = +			оо	при d +		1 •< 0.
Кривая ^Р2 (х)	будет иметь		экстремум (минимум)					лишь для	от­
рицательных значений d, но из					(13) непосредственно обнаружи­

вается, что в этом случае хРг(х) обращаться в нуль не может, так как квадратная скобка в (13) положительна (прило­ жение III).

Функция гРг(>с) будет иметь единственный корень, соответ­ ствующий устойчивому предельному циклу, охватывающему

270

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

[ГЛ. 15

нижний

фазовый

полуцилиндр, если 4 ( 1 ) < 0. Из

условия

4^2(1) <

0

вытекает,

что

d — 3 > 0

и,

следовательно,

выражение

(33)

при

убывании % может менять

знак.

Обращению

в

нуль

величины

4*2(1)

при

убывании

% соответствует

стягивание

устойчивого предельного цикла к сепаратрисе сед­

ла, охватывающей нижний фазовый полуцилиндр

(рис.

145).

3.

Бифуркации,

связанные

с

поведением

функ­

ции ЧГз(х). Перейдем теперь к рассмотрению пре­

дельных циклов, рождающихся на кривых центра.

Из

(15)

непосредственно

обнаруживается,

что

при

d < 0 функция 4 ( х )

обращаться

в

нуль

не

может,

так

как выражение

в

квадратных

скобках

в (15) положительно (приложения I и IV). По

критерию

Бендиксона

при

0 < d <

1

циклов

нет

Рис.

145

(■р ;

+

Q 'V

0),

поэтому

4 ( х )

при

0 < d > < l

кор­

ней также

не имеет.

Проследим

поведение

4 ( х )

Из

(15),

при

d 5s 1.

получаем

(19) и

(20)

4 ( 0 ) =

0,

4 ( l ) =

16

3 ),

(33)

- f M d

Ti(0) =

0,

4 ( 1 ) =

- ° ° ,

(34)

Т'з(0) = 8л> .(й-1).

(35)

Из (34)

и

(35) следует, что при любых положительных

d > 1

у кривой 4 ( х )

в

интервале 0 <

х < 1 существует

по

крайней

мере один экстремум. Нетрудно убедиться, что экстремум

(мак­

симум)

может быть только

один.

Мы

будем

иметь,

очевидно,

4

(х0) =

0,

если

ко такое, что обращается в нуль выражение в

квадратной скобке в (19), т. е. если

d = - 2 ^ F > L

(36)

Нетрудно видеть, что при условии

(36) будет

4

( Хо) =

1 4

Д - = . [ 2 ( 1 - х ; ) ^ - ( 1 - х 5 )

F * - E * ] < 0,

1—*0

так как квадратная скобка знака не меняет (дискриминант от­ рицателен) и 2Е — F > 0.

Так как 4 ( хо)<0> то экстремум кривой 4 ( х ) является максимумом.

Вид кривой при различных d приведен на рис. 146. При d > 3 кривая не пересекает ось х — циклов нет. При d = 3 будет

4 ( 1 ) =	0 , 4 (1 ) =	— оо — это соответствует	возникновению пре­
дельного	цикла,	охватывающего состояние	равновесия. При