книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 2]	ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ				251
положительной для особой точки		на	внутренней ветви		кривой
(7)	и отрицательной для особых точек на внешней ветви.
	Возьмем в качестве топографической системы Пуанкаре се­
мейство окружностей х2+ у2 = С и составим				производную dCjdt
вдоль траекторий системы
	Т Г - 2 *Ж + 2 * 1	“	2 И » +	Р '< ‘ - Л ' -

Как видно, производная dC/dt меняет знак на кривой (7). Две крайние кривые топографической системы, касающиеся контакт­

ной кривой (изоклины (7)), образуют кольцо, на внешней и вну­ тренней границе которого производная dC/dt имеет разные зна­ ки. Очевидно, что при больших р будет dC/dt < 0. Таким обра­

зом, на	внешней		границе кольца		dC/dt< 0, а на внутренней
dC/dt > 0. Через обе границы траекто­
рии входят внутрь кольца; Особая точ­
ка на внутренней ветви кривой (7)
лежит внутри цикла без контакта, ее
индекс	Пуанкаре,		следовательно,		ра­
вен + 1, и точка может быть лишь					уз­
лом либо фокусом. Так как для нее
выражение (9) положительно, то фо­
кус или узел неустойчивы. Две другие
точки лежат в кольце между циклами
без контакта,		следовательно,		сумма ин­
дексов	этих	точек равна		нулю,	и

одно из них седло. Вторая точка устойчива, так как для нее

выражение (9)	отрицательно.	траекторий
Проследим	изменение качественной структуры
в зависимости	от параметра а. При а — 0 прямая	х = 0 будет

интегральной кривой. Качественная картина траекторий опреде­ ляется однозначно и будет такая, как на рис. 134.

252

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ ИССЛЕДОВАНИЯ

[ГЛ. 14

При возрастании а точки (седло и устойчивый узел) будут сближаться, но до момента слияния качественная структура не может измениться, так как не меняются число и характер осо­ бых точек и поведение сепаратрис и так как внутри кольца не могут возникнуть предельные циклы за счет сгущения траекто­

рий. Последнее невозможно, потому что кривая Рх + Qy = О

лежит вне кольца (критерий Дюлака). При дальнейшем возра­ стании а точки сливаются и затем исчезают.

Из особой точки седло-узел и сепаратрисы седло-узла (см.

гл. 10, 11) рождается единственный (так как Px+Qy^O в седлоузле) предельный цикл (рис. 135 и 136).

§ 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре. В дальнейшем мы подробно остановимся на каче­ ственном исследовании классического уравнения движения са­ молета в вертикальной плоскости [45, 42, 75, 148], которое пос­ ле надлежащей замены переменных и параметров может быть записано в виде системы

dq>/dt = р — cos ф, dp/dt = 2р(А,— рр — sin <р)	(1)
(X и р — положительные параметры). Следующие примеры	по­
священы рассмотрению частных случаев этого уравнения.
П р и м е р 1.
d(f/dt = р — cos ср = Р, dp/dt = 2p(k— sincp) = @	(2)

(эта система получается из системы (1) при р = 0). Будем рас­ сматривать только часть фазового цилиндра, соответствующую (что соответствует смыслу этих переменных) р > 0.

а) К = 0. В этом случае мы получаем систему

dy/dt = р — cos ср, dp/dt = —2р sin ф

( 3 );

§ 3J

ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ЦИЛИНДРЕ

253

и, взяв в качестве интегрирующего множителя М = l/(2Vp), по­ лучаем интеграл системы

Н (р, ф) = P3/Z — P1/z cos ф = h,

ИЛИ

р ^ р — cos ф| = h2.

Состояниями равновесия этой системы являются

O i(-Ji/2, 0), 0 2(я/2, 0) и О3(0, 1).

Нетрудно убедиться в том, что состояния равновесия Oi и 0 2 — седла, а также, что для состояния равновесия 0з(О, 1) характе­ ристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, и система в окрестности этого состояния равновесия имеет аналитический интеграл, т. е. состояние равновесия — центр.

Нетрудно, кроме того, непосредственно проверить, что кривая

р = 3 cos ф

интегральная и является сепаратрисой, идущей из седла в седло. Наметив направления на траекториях, составляющих интеграль­ ную кривую р = 0, мы получаем картину траекторий, изображен­ ную на рис. 137, а 3).

б)	1 > Я > 0.	При Я < 1 у системы (2)				три состояния	рав­
новесия:			л/2, 0), 0 2(л/2, 0)		и 0з(фз, рз),
где	0\ (
					_______
			фз = arcsin Я,	рз =	V1 — Я2.
в)	При Я > 1	у	системы два	состояния		равновесия 0\	и 0 2.

Записывая для всех состояний равновесия соответствующее ха­ рактеристическое уравнение

и2 — ои + А = 0,

находим: 1) характеристические корни для состояния равно­ весия Of.

Xi = —1, и2 = 2(Я+1),

т. е. состояние равновесия 0\ — седло при всех Я 5= 0; 2) харак­ теристические корни для состояния равновесия 0 2:

xi= 1, х2 = 2(Я — 1),

т.е. 0 2— седло при Я < 1 и неустойчивый узел при Я > 1.

3) Здесь и далее для большей наглядности масштабы на рисунках не всегда соблюдены.

2 5 4

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ ИССЛЕДОВАНИЯ

|ГЛ. 14

При к = 1 будет Х2 = 0, т. е. значение к = 1 является би­ фуркационным. Состояние равновесия <9з(фз, рз), существующее при к < 1, является неустойчивым фокусом или узлом.

При к = 1 состояние равновесия Оз сливается с О2, образуя сложную особую точку, которая при к > 1 делается грубым не­ устойчивым узлом.

Рис. 137

Разность наклонов траекторий системы (2) при к > 0 и к = О есть

2р (А. — sin ф)	2р sin ф	2рк
р — cos q>	р — cos ф	р— COS ф ‘

При р — cos <р > 0 это выражение положительно, и, следователь­ но, выше сепаратрисы, и на сепаратрисе консервативной систе­

мы р = 3 cos ф, идущей из седла в	седло, поле	поворачивается
на положительный угол. Поэтому	нет циклов,	охватывающих
цилиндр.
Так как

§ 3 ]	ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ЦИЛИНДРЕ	255
то нет и циклов, охватывающих состояния равновесия		(критерий

Дюлака). Расположение траекторий представлено на рис. 137,6

и 137, в.	2 [150].
П р и м е р
d<p/dt = р — cos(p = P,			dp/dt = 2p(—рр — sincp) = ().			(4)
(Эта система получается из системы (1)				при А, = 0.)	При	ц = 0
мы получаем	систему	(соответствующую А = 0 предыдущего
примера), изображенную на рис. 137, а.				равновесия.	В точках
При р > 0 у системы три			состояния
0 \ ( —л/2, 0), 0 2(я/2, 0)		будут седла.
Если положить			0 < р < я/2,
	р = tg р,

то третье состояние равновесия будет Оз (—Р, cosp).

Оно является устойчивым фокусом или узлом. Так как

то у системы нет предельных циклов, охватывающих состояния

равновесия (критерий Дюлака).			и в
Сравнивая	эту систему	с системой (3), мы, так же как
предыдущем	примере, заключаем, что у системы (4) нет		пре­
дельных циклов, охватывающих цилиндр.
Расположение траекторий представлено на рис. 137, г.
П р и м е р	3.
d<p/dt = у = Р(ф, у),		dyjdt = Y — sin ф — 2/гг/ = <?(ф, У)-

(К рассмотрению этой системы сводится целый ряд задач: дви­ жение маятника с постоянным моментом, динамика синхронного мотора в простейшей идеализации, стабилизация скорости вра­ щения двигателя постоянного тока часовым регулятором и др. В дальнейшем она будет использована и как система сравне­ ния.) Эта система подробно рассмотрена в [162, 2, 3, 149, 39].

Приведем здесь исследование этой системы в простейших случаях:

a) Y = 0, h = 0; система имеет вид

d(f/dt = у, dy/dt = —sin ф.

Очевидно, она имеет интеграл

н (ф. у) = -J У2 — cos Ф = С.

Картина траекторий представлена на рис. 138, а.

256	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ ИССЛЕДОВАНИЯ		[ГЛ. 14
б)	к Ф 0. При у < 1 — два состояния равновесия:
	Оi ( a , 0 ) и 02(я — a i ,	0 ),
где sin oti = Tf; в точке 0 2— всегда седло.		Когда h = 0,	система
имеет аналитический интеграл

у2/2 — cos qp — КФ = С,

исостояние равновесия 0\ — центр. Картина траекторий на фа­

зовом цилиндре в этом случае имеет вид, представленный на рис. 138, б.

При ч = 1 состояния равновесия 0\ и 0 2 сливаются в одно двукратное состояние равновесия; центр и седло сливаются, образуя одну двукратную точку.

При	ч > 1 У системы нет состояний равновесия (рис. 138, в).
Так	как
	Р<р+ Qy = — 2h,
то при	ЬФ 0 система не имеет предельных циклов, охватываю­

щих состояние равновесия, и может иметь не более одного пре­ дельного цикла, охватывающего цилиндр, если такой цикл су­ ществует. Для того чтобы показать существование предельного

§ 3]

ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ЦИЛИНДРЕ

257

цикла, охватывающего цилиндр, достаточно указать два частных решения системы yi(<jp), 1/2 (ф) такие, что

У\(<Р + 2я )«£ т/ 1 (ф), Ы ф + 2л)> у2((р).

Первым из этих решений, как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку, лежащую выше изоклины го­ ризонтальных наклонов

v — sin 0

У = — 2 ^ -
Вторым решением 1/2 (6 ) в случае у > 1 ,	как нетрудно	видеть,
будет любая кривая, проходящая через	точку на оси	у = О
(рис. 138, г 4).

4) Использование системы при h = 0 как системы сравнения здесь не может дать необходимую информацию относительно существования циклов, охватывающих цилиндр, так как кривые, схватывающие цилиндр, не­ замкнутые.

17 H. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

Г Л А В А 15

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА)

§ 1. Общие замечания. В связи с использованием метода Понтрягина сделаем сначала некоторые замечания общего ха­ рактера.

Рассмотрим систему, близкую к консервативной (линейной или нелинейной):

х = Ну + рр,

У = — Нх + М,	(Ад)
х ~ Н'у, у ------ И'х	(А.)

— консервативная система и

Н{х, у )= h

— ее интеграл.

Относительно консервативной		системы		(Ао) предположим до­
полнительно, что	у нее только	простые		состояния	равновесия,
т. е. только седла	и центры. В §	7 гл.	11 было дано условие, не­
обходимое для того, чтобы у системы			(А„)	при малых р, сущест­
вовал предельный цикл, близкий к некоторой кривой					Ch0 (урав­

нение кривой Сло: Н (х, у) = й0) системы (Ао) (т. е. предельный цикл при р 0, стремящийся к Сло) . Это условие заключается

вравенстве нулю при h = ho функции

(h)= \ р dy — q dx. ch

Достаточное условие существования такого предельного цик­ ла — это

		я |Д й о ) = 0 ,	^ {Ъ,0 ) Ф 0.
Функция	яр (/t)	в § 7 гл. 11 была определена только			в	случае
кривой Ch	(Н(х, y) = h) консервативной			системы, ни	в	одной
точке которой		обе производные	Н х и Н у	одновременно		не об-

§ И	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ	259
ращались	в нуль, т. е. в случае, когда кривая	Сдо не проходит

через седло и не вырождается в точку (центр).
Однако при рассмотрении конкретных	примеров часто пред­
ставляет интерес также и рассмотрение	вырожденных случаев,
т. е. случаев, когда предельный цикл системы (А„) рождается

от петли сепаратрисы и из центра. Кроме того, обычно при рас­

смотрении конкретных задач функции р(х, у)		и q(x, у)		зависят
от параметров, отличных от р, и естественно		возникает		вопрос:
от каких из кривых Ch рождается	предельный		цикл	системы
(Ац) при различных значениях этих параметров?			проиллюстри­
Поэтому в конкретных задачах	(как это будет

ровано на примерах) исследование методом Понтрягина прово­ дится следующим образом.

Функция ф(/г), непосредственно определенная лишь для зна­ чений h, соответствующих интегральным кривым Ch без особен­ ностей (отличным от состояний равновесия и сепаратрис), дооп­ ределяется по непрерывности (когда это возможно) и для значе­ ний h, соответствующих центрам и сепаратрисам.

Предположим, что функция ф(й) доопределена для всех зна­ чений h, и пусть функции р(х, у) и q(x, у) зависят от некото­ рых параметров, например от двух параметров A,i и Ад. Очевидно, тогда и функция 1|з также будет зависеть от этих параметров:

Ф(А, А,ь Ад).

Естественно при рассмотрении вопроса о циклах системы (А„), сводящегося к рассмотрению нулей функции ф(й, Х\, Ад),

выделить следующие «бифуркационные»	(в полном		согласии
с ранее введенным смыслом этого термина)	случаи	и	соответст­
вующие им бифуркационные значения параметров Aj и А2.
1) Пусть при значении h0, соответствующем		интегральной

кривой системы (Ао), не имеющей особенностей, выполняются равенства

Ф (А0, ^г) = Фл(А0. ^г) =

В этом случае от кривой СЛ() консервативной системы может по­

явиться более одного предельного цикла (в простейшем слу­ чае два).

2) Пусть значение ho, при котором

Ф ( А 0, A,j, Ад) = О,

соответствует вырожденной в точку кривой консервативной системы. В этом случае предельный цикл рождается (при п|)д(й0, А,х, А2) = 0) из состояния равновесия типа центра консер­ вативной системы.

3) Пусть значение ho, при котором Ф(Ао, Ао, Ад) = О,

17*

260 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 15

соответствует сепаратрисе консервативной системы. В этом слу­ чае предельный цикл системы может рождаться из петли сепа­ ратрисы консервативной системы.

В дальнейшем при рассмотрении конкретных примеров есте­ ственным образом будут выделяться указанные бифуркационные значения параметров h.

Подчеркнем, что при использовании методов малого парамет­ ра (метода Пуанкаре или метода Понтрягина) не дается ника­

ких оценок для тех значений р,			при	которых у системы					(Ац)
существуют предельные циклы.
Этим методом можно получить лишь доказательство сущест­
вования таких значений р («достаточно малых»,						но	без всякой
оценки малости), при которых			система		(Ац)	имеет		предель­
ный цикл.	при	доказательстве существования р* > 0							тако­
Кроме того,
го, что при |р| < р* существует			предельный цикл,				родившийся
от одной или нескольких кривых			Ch	консервативной				системы,
предполагается,	что	рассматривается		о г р а н и ч е н н а я				ч а с т ь
п л о с к о с т и	(без	этого предположения			доказательство теряет

смысл). Если же необходимо рассмотреть всю плоскость, то нужно специально рассматривать рождение предельных циклов

из	бесконечности.
	Заметим еще, что так как в конкретных задачах выражения
для функции ф(/г)			и ее производных бывают столь сложны, что
их	аналитическое		исследование	представляется невыполнимым,
то	часто в задачах		используется	построение		этой функции вы­
числительным путем. Это сделано в примерах § 3.
	§ 2. Примеры		рассмотрения	методом Понтрягина			(полное
исследование).					которая	(при предположе­
	П р им ер	1. Рассмотрим систему,
нии малости		некоторых параметров)			может	служить	моделью
частотно-фазовой автоподстройки частоты (см. [136]):
							(1 )

Очевидно, эта система является близкой к очень простой консер­ вативной системе на цилиндре

ф = У,	У = О,
интеграл которой
н (ф, у ) =	у2/ 2	=	h.
На плоскости (ф, у) это — прямые,		параллельные оси ф, на
фазовом цилиндре все кривые замкнуты			(окружности). Составим