книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

§ 3)	ПРИВЛЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ	281
Для	значений h > 0 из выражения (21) численным интегри­

рованием устанавливается монотонный характер функции k(h) для тех значений h, при которых к < 3.

Монотонный характер возрастания k ( h) при тех значениях h, при которых к 5= 3, следует из выражения для dk/dh. Именно,

после надлежащих вычислений можно получить следующее вы­
ражение для dk/dh:	Л
	Г 2у (к — 3 cos ф ) J
dk	j (/-cos<p)s
dh	я
	1Т - * -
	J у — COS ф

Это выражение заведомо положительно для к ^	3, так как для
h > 0 будет у2 —cos ф > 0.	152. Уравнения
График кривой k = k(h) представлен на рис.
(21) и (22) дают для каждого h — ho то значение /с = /со, которо­

му соответствует кривая ^ = i|)(fe, ко) в плоскости (ф, h), имею­ щая экстремум при h = h0. Так как k — k(h) — монотонная функ­

ция в	каждом из интервалов —2 / 3 ^ h < 0 и 0 < h < °°, то,	оче­
видно,	для каждого фиксированного к = к0 кривая ф = ф(й,	к0)

в плоскости (i|3,		h) может	иметь не		более одного экстремума в
каждом из интервалов (иначе различным h						соответствовало		бы
одно значение к\		это невозможно		в силу монотонности к (h) ). Рас­
смотрим возможные случаи поведения ${h,						Для	различных
значений параметра.			в	этом	случае	i|/(— 2/3,		и
1)	к = ' к {> 3.	Так как					к {) > 0
г|:(h,	А:! ) > 0 в интервале —2/3 < h <				0 (множитель к — у2 в (12)

положителен), то в этом интервале нет ни одного корня ф(й, к).

Так как i|;(0, k {)>Q, a		ifi(A, к х)	для достаточно		больших		h от­
рицательно,	всегда существует		корень	ф(й, к {)	в	интервале
0 < / г < ° ° .	Этот корень	единственный,		так как	ty(h,	к)	может

иметь здесь только один экстремум (максимум).

282

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

[ГЛ. 15

2)

Г 8п

<

к = к2<

3 .

В

этом

случае

ф' ( — 2/3,

к2) <

О,

ф(0,

к2) > 0 . В интегвале — 2/3 < h < 0

функция ф(/&,

к2) имеет

один

экстремум

(минимум), в

интервале

0 < h < °°

функция

ф(й,

к2) имеет один экстремум (максимум). В каждом из ин­

тервалов ф(й,

к2) имеет по одному корню.

3) к* <

к =

А:3

< Г4(1/4)

(к*

«достаточно близко»

к значению

опять

ф '

(—2/3, / с з ) < 0 ,

но ф ( 0 ,

к з ) < 0

и

ф' (h,

кз) >

0 для достаточно малых h,

В интервале — 2/3 < h < О

функция ф(й, кз) не имеет корней. Если кз лежит достаточно

близко к значению —2Г4/ -7 -), при котором ф(/г, к) проходит через

8л

начало координат, то кривая ф(А, кз)

должна пересекать для по­

ложительных h ось h. Так как для достаточно больших h будет

Ф(к,

кз) < 0 , то должен существовать

и

второй корень

функции

ф(й, кз). Таким образом, в интерва­

ле 0

< h <

°° функция ф (h, кз) имеет

два

корня

(не

может

быть

более

	двух корней,		так как		ф (h,		кз)	име­
	ет один экстремум).								0 < к =
	4)		опять		нет
	—2/3 < h < 0						корней.
	В интервале		0 < h <		°°	также		их
	нет, так как		по самому определению
	величины к*		только		для	значений
	к > к *	кривая ф(&,		к),		пересекаю­
	щая ось ф в точке с отрицательной
	ординатой, пересекает				далее		ось		h.
	Существование такого				значения			к =•
	— к* следует		из того, что для к ^						О
будет ф '(—2/3, к)< О, ф(0, к )< 0 ,		ф' (h,	к)< 0 для малых					h	и
ф(А, к)	не имеет действительных корней5).			изображены				на
Рассмотренные случаи поведения ф(&, к)
рис. 153. Из выражений (9) и (10)		следует также, что с/ф/d/c > 0
для всех к, отличных от нуля. Отсюда следует, что ф(й, к) обра­
зует для к¥= 0 в плоскости (ф, h)		семейство непересекающихся
кривых, непрерывно зависящих от параметра к. Это обстоятель­
ство позволяет легко проследить зависимость корней ф(&, к).
Для к > 3 существует единственный			положительный				корень
ф(й, к). С убыванием к этот корень убывает.
5)	Значение к*, очевидно, может быть вычислено из условий ih(/i								k) =
= 0, ф'(Л, к) = 0.							’	'

через значение h = 0 и затем

§ 3]	ПРИВЛЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ		283
При	/с =■ 3 ось h становится касательной к кривой		т|;(Л, к) в
точке h = —2/3		(i|/(—2/3, 3) = 0), и при дальнейшем	убывании
/с от корня h =		—2/3 отделяется корень, возрастающий	с убыва­

нием к. Этот корень с убыванием к продолжает дальше возрастать, проходит при к = ^1 Г4 /1

становится положительным. При к = к* для положительного h = = h* оба положительных корня сливаются и при дальнейшем убывании к исчезают.

Отрицательные корни h = ho соответствуют неустойчивым пре­ дельным циклам, охватывающим состояние равновесия (так как, как легко убедиться, для них i|/(fto, к)> 0).

Положительные корни соответствуют предельным циклам, охватывающим цилиндр. Легко убедиться, что меньший корень

соответствует неустойчивому,				а больший — устойчивому предель­
ному	циклу	(это	обстоятельство вполне наглядно отражено на
рис.	153).	Для	меньшего	корня if>'(ft,	к) > 0, для	большего
V(ft,	к)< 0.		соответствует влипанию		предельного	цикла в
Корень		h = 0

сепаратрису, идущую из седла в седло. При этом значении h про­ исходит превращение цикла, охватывающего состояние равнове­ сия, в предельный цикл, охватывающий цилиндр.

Слияние положительных корней при h — h* соответствует слиянию устойчивого и неустойчивого циклов в один полуустойчивый предельный цикл.

На основании проведенного рассмотрения мы можем сделать следующее заключение о возможной качественной структуре раз­

биения на траектории.				р а в н о в е с и я .	При р ¥= 0,	но	достаточно
а)	С о с т о я н и я
малом,		состояния	равновесия в точках (—я/2, 0)			и	(я/2, 0) ос­
таются		простыми	седлами. Состояние		равновесия в точке (0, 1)
превращается в фокус — устойчивый,					если к < 3,	неустойчивый,
если	к > 3.			с е п а р а т р и с .	Сепаратрисы, связанные			с
б)		П о в е д е н и е
седлами в точках			(—л/2, 0) и (я/2,		0), могут идти		из седла	в

седло только при значении параметра к, соответствующем «вли­ панию» предельного цикла в сепаратрису; в других случаях се­ паратрисы могут иметь своими предельными точками либо состоя­ ние равновесия (0, 1), либо предельные циклы, либо могут ухо­ дить в бесконечность. Поведение сепаратрис однозначно опреде­ ляется характером и распределением циклов.

в) П р е д е л ь н ы е	ц и к л ы .		Поведение	предельных циклов
определяется поведением		корней	функций	i|?(fe, к)	в зависимо­
сти от к (напомним, что		& = Я/ц,	где К пропорционально тяге
пропеллера, а р — коэффициенту лобового сопротивления).
На рис. 154, 1—7 изображены возможные случаи разбиения
фазового пространства	на	траектории. Рис.		154,1	соответствует

284

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

[ГЛ. 15

случаю ц = 0 (отсутствует лобовое сопротивление и тяга про­ пеллера). Последовательность рисунков от 2 до 7 соответствует последовательной смене качественных структур разбиения ци­ линдра на траектории при возрастании параметра к от нуля до

Рис. 154

оо (рис. 4а и 46 топологически эквивалентны; рис. 46 иллюстри­ рует превращение рис. 4а в рис. 5), т. е. при различных соотно­ шениях между величиной силы тяги пропеллера и лобового со­ противления. Заметим еще, что все рисунки для наглядности даны со значительным количественным искажением масштаба. Точки + я/2 и —я/2 нарисованы схематично.

Г Л А В А 16

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИЕМОВ, ОПИРАЮЩИХСЯ

НА ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИИ

§ 1. Квадратичное дифференциальное уравнение.

1. Оценки сверху числа предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра. Квадратичная система общего вида при наличии в начале координат фокуса или центра всегда может быть приве­ дена к виду

' х	=> — у + X ix — Хзх	2 + (2%2 + 'къ) х у + Ябу 2,
у	= * х + %\у + %2х 2 +	( 2%з + %4) х у — Х2У2.	^

Решение вопроса о числе предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия в системе (А), зависит от структуры коэффициентов функции последования в окрестности состояния равновесия и требует знания всех условий центра.

Полагая х = р cos ср, у = р sin <р, переходим в системе (А) к по­ лярным координатам и ищем решение системы в виде ряда по степеням начального значения ро. Отрезок прямой ср = 0 для всех достаточно малых р будет отрезком без контакта для траекторий системы. Полагая в найденном решении ср =■ 2я, получим на не­ котором достаточно малом отрезке ср = 0, 0 ^ ро ^ z функцию последования

р — Po^i (2JT, Я|)

р„и2(2л, Я|)

•••-ЬРо^&(2л, Я$)

. . .

(1)

Коэффициенты функции последования, как следует из их по­ строения, есть целые функции параметров Я,, обращающиеся в однородные многочлены при Xi =■ 0. Для систем (А) известны все случаи центра (см. [147, 68*, 67*, 14*]), и они могут быть получены из условий обращения в нуль первых семи коэффици­ ентов функции последования (трех последовательных ляпуновских величин):

а 3 =	Я3 (Я3	Я6),
К5 “	~2^ ^2^4 (^3 -- ^б) (^4 + 5Я3 — 5Я6),

“ V = - • § - К)2ihh - 2К - >4).

286	КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16
Так	как значения Я.-, удовлетворяющие условиям Xi ^ а з =

= « 5 = а.7 = 0, должны обращать в нуль и функции и*(2я, Я{) при

к > 7 ,	то ик можно представить в виде
Uh(2n,	= Я10^1) + a 30ft3) + a 50ft5)+
	+ Х2Х4 (Я3 —• Я6) (Я3Я6 — 2Я6 — Я2) 0ft.

Отметим, что в выражение для « 7 множитель (Яз —Яб) входит в квадрате. Можно показать, что 0ft для любого к > 7 содержит множитель (Яз — Яб) [...]. Это позволяет ввести в выражение для ик(2л, Я,-) третью ляпуновскую величину а7 и представить функ­ цию последования (1) в виде

Р — Ро =

Ро (2 л Я ^ + «зфдРо + « 5ф5Ро +

“ тФтРоХ

(2)

где ф,- — ряды

по

степеням ро с коэффициентами в виде

целых

функций параметров Я<и такие, что

ti(Ai,o) = 1 + Якр(Я1 ),

ф,-(Я{, 0 )= 1,

}¥=1.

В достаточно малой окрестности начала координат положи­

тельные простые корни уравнения

2яЯ[ + азр2 + asp4 + а 7р6 = 0

(3)

с любой точностью аппроксимируют корни

(2)

при р = ро.

Рассматривая (2) и (3), нетрудно увидеть, что в окрестности

состояния равновесия (вблизи

границы

области устойчивости)

в зависимости от знаков ляпу-

новских

величин

может

быть

не более трех предельных цик­

лов [14,

69]. Особенности в по­

ведении

системы

(А)

вблизи

тех точек границы области ус­

тойчивости,

где

обращаются в

нуль первая и вторая ляпунов-

ские

величины,

определяются

знаком

третьей

ляпуновской

величины а 7.

В

возможностях,

которые

здесь

возникают,

мож­

но ориентироваться, рассматривая функцию последования

(2) и

уравнение (3).

для

а 7 > 0

представлена

окрестность

точки

На

рис. 155А

пространства параметров, в которой выполняются

условия

A,i =

= аз =

as = 0.

Область

устойчивости

состояния

равновесия в

начале

координат

располагается снизу

от плоскости A,i = 0.

Гра­

ница области устойчивости A,i = 0 разбивается на куски, помечен­ ные на рисунке цифрами 0, 1, 2, соответственно числу предель­ ных циклов в окрестности состояния равновесия при значениях

§ 1] КВАДРАТИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 287

параметров на границе области устойчивости. Эти куски выде­ ляются условиями:

0 )	С С 5 > 0	ИЛИ	С С 5 < 0 ,	а з > / ( а 5 ,	а ? ) ;
1)	а з < 0	или	аз = 0,	a s < 0 ;
2)	а 5 < 0 ,	0 < а з < / ( а 5 , &т).				as = 0 имеет
Функция		/(as, СС7 ) в		окрестности значения
асимптотическое представление
			[4г|77 (0, a,)]-1 а® =		[4а,]-1 а\.	(4)

В кусках 0 ж 2 состояние равновесия неустойчиво, на куске 1 устойчиво.

При изменении Xi от значения Xi = 0 может появиться из состояния равновесия еще один предельный цикл: при возраста­ нии Xi от значения Xi, взятого на куске 1, появляется устойчи­ вый предельный цикл, при убывании Xi от значения Xi = 0 , взя­

' У.

_____		Щ
JJ	я	v »v V ч-			-
- /		\ \ \ \ 1		*"D )	1
		\ч	Ч
		\		- " 'У
	а				5

того на	кусках 0	или 2,— неустойчивый.		Возможные		качествен­
ные структуры в окрестности состояния				равновесия		для	случая
а 7 > 0 представлены на рис. 155Б.					разбиение границы
На рис. 155В		представлено	для а 7 <	0
области	устойчивости Xi = 0 в		окрестности		точки	аз = as = 0 .
Граница	области	устойчивости	A,i = 0	разбивается		на	куски
0, 1, 2 соответственно числу предельных				циклов в		окрестности
состояния равновесия, выделяемых условиями:

288	КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ							[ГЛ. 16
0 )	as «£ 0	или аь > 0 , аз < /(а 5, ai) ;
1)	а з > 0	или аз = 0 ,	a s > 0 ;
2)	а5 > 0,	/(а 5, а 7 )< а з< 0 .		значения		as = 0		имеет
Функция		/(а 5 , а?) в	окрестности
асимптотическое представление (4). На				кусках 0		и 2	состояние
			равновесия		устойчиво, на			кус­
			ке 1 неустойчиво.				от значе­
			При убывании
			ния Я.1 = 0 , взятого на куске 1,
			появляется		из состояния			рав­
			новесия неустойчивый предель­
			ный цикл, при возрастании A,i
			от значения Ал = 0 , взятого на
			кусках 0 или 2, появляется
			цикл	устойчивый. Возможные
			качественные структуры					в ок­
			рестности		состояния		равнове­
сия для случая а 7 < 0 представлены на рис. 155Г.
2.	Квадратичные системы с четырьмя предельными циклами.

Примеры квадратичных систем с четырьмя предельными циклами

Рис. 155Г

были даны в работах [62, 6 6 ]. Топология этих систем одинакова: седло на экваторе сферы Пуанкаре и два простых фокуса на плоскости с распределением предельных циклов вокруг фокусов

g l ]

КВАДРАТИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

289

3 и 1. В подпространстве параметров системы, имеющей особую точку типа центр, могут быть выделены области, вблизи которых существуют квадратичные системы с четырьмя предельными циклами как с вышеописанной, так и с другой топологической структурой, содержащей два седла и узел на экваторе. Сепаратри­ сы одного из седел идут к предельным циклам с распределением 3 и 1 вокруг фокусов, сепаратриса другого седла идет к узлу на экваторе.

Рассмотрим систему

х = %х+ кх2+ тху + пу2, у = х + ах2 + Ъху.

(5)

Пусть 'к = а = т = 0; тогда система (5) в Do, определяемом ус­ ловиями

к(п+ Ъ )> 0, л(л + Ь)<0, п (Ъ - к )< 0 ,

(D0)

имеет топологическую структуру с двумя состояниями равновесия на плоскости (х, у) (типа центр) в точках (0, 0); (0, 1/п) и од­ ним седлом на экваторе сферы Пуанкаре (рис. 156А,а), сепа­ ратрисой которого является интегральная прямая Ъу + 1 = 0, от-

а (Ъ,Ь,п)е.В0

s Cbj^rDeB,

Рис. 156А

деляющая части полуплоскости (полусферы), заполненные замк­ нутыми кривыми.

В D\, определяемом условиями

А(га+Ь)>0, 7i(n + b )< 0 , n(b —к ) > 0,

(D|)

топологическая структура отличается от структуры в Do состоя­ ниями равновесия на экваторе. .В Di на экваторе два седла и узел (рис. 156А, б). Части полусферы, заполненные замкнутыми кривыми, отделяются в этом случае сепаратрисами, идущими из

19 Н. Н. Баутин, Е. А, Леонтович

290 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 16

седла в седло:

		(к + п) (Ь — к +	п)
		кп (Ъ— 2к)2	( 6)
	Будем рассматривать систему (5) при условиях А:
	Я = 0,	т ( к + га) — а ( 2 к + Ъ) = 0, а Ф 0, т Ф	0
	(в точке (0, 0) первая ляпуновская величина равна нулю).
	Л е м м а 1.	Существует множество GczD\, в каждой точке ко­

торого сепаратриса (6) является кривой без контакта для траек­

торий системы (5) при условиях А.	от F(x, у)	по t, взятая в
Д о к а з а т е л ь с т в о . Производная
силу уравнений (5) при условиях А,	обращается	в нуль на се­

паратрисах (6) лишь в точках их пересечения с кривой

х2{(Ъ — 2к) [(и(/с + п) — (2к + Ъ) (Ь — к)]у + (к + п) (Ъ — к + и)} э

^ х 21(у) = 0.

Гипербола (6) будет кривой без контакта, если прямая 1(у) = 0 ее не пересекает (на х2 = 0 контакт ложный). Это выполняется

а Ъ - З К - 5 п > 0

б Ъ-Зк-5п$0

А=<?/л=-д—j а , 0 < а < а 0,Ъ < 0, ( Ъ,к} п)е в

Рис. 156Б

при условиях У1(0)< У < У 2(0), где 1(у) = 0, a yi(0), у2(0)— ко­ ординаты вершин гиперболы. Одно из этих неравенств всегда вы­ полняется, другое сводится к

(2к + Ъ ) ( Ь - к) (6к2 + 2га2 + 4*га - Ъ2)—(к + п )3п > 0.				(7)
Множество	G выделяется условиями (7) и б с Д		(рис. 156В).
Л е м м а	2.	При условиях А существует положительная вели­
чина ао(Ъ, к, га)		такая, что при (Ъ, k, n)<=G, | а | < я о	система	( 5 )

имеет хотя бы один предельный цикл вокруг точки (0, 1/га), а при