книги / Математика без формул

торую порцию кофе: абсцисса показывает, сколько в порции молока, ордината — сколько чистого черного кофе.

Точки вертикальной оси на нашей диаграмме — это порции черного кофе без всякой примеси молока. Точки горизонтальной — порции молока без примеси кофе. Точки лучей, исходящих из начала координат, — это порции кофе одного и того же состава, хотя и различ­ ного объема. Получаются они одна из другой пропорци­ ональным увеличением молочной и кофейной компо­ ненты.

В таком увеличении нетрудно углядеть одну из двух операций, которые мы ввели на множестве порций кофе, — операцию умножения на число.

А как отразить на диаграмме операцию сложения порций кофе? Соответствующий метод, называемый правилом параллелограмма, несложен и понятен из чертежа. Из начала координат проводятся стрелки до тех точек диаграммы, которые соответствуют той и дру­ гой из складываемых Порций. Этот уголок достраивает­ ся до параллелограмма. Возникшая при этой недоста­ вавшая вершина-параллелограмма представит собой результат слияния двух складываемых порций в одну.

Читатель, знакомый с наукой механикой, наверняка подметил в описании наших действий сходство с при­ емом, который применяется для сложения сил и скорос­ тей.

В чем причина столь неожиданного сходства между кулинарией и механикой? Этих причин две, и они до­ вольно просты.

Во-первых, подобно тому, как мы могДи увеличивать и уменьшать объем порций кофе, не меняя его состава,

271

мы можем увеличивать силы и скорости, не меняя их направления.

Во-вгорых, подобно тому, как мы могли сливать две порции кофе в одну, мы можем складывать силы и скорости. Иными словами, когда на тело действуют две независимые силы, мы можем заменить их одной, рав­ нодействующей. Когда тело участвует в двух независи­ мых движениях, мы можем рассчитывать его суммарную скорость.

Применение подобных приемов, как мы увидим вско­ ре, не ограничивается механикой и кулинарией. Их можно применять к элементам любого множества, для которых определены операции сложения и умножения на число

Обе операции можно определить каким угодно обра­ зом — вычерчивая ли диаграммы на бумаге, сливая ли растворы Важно лишь, чтобы в результате той и дру­ гой операции получались элементы того же множества.

„Важно еще и то, чтобы выполнение этих операций подчинялось определенным аксиомам, о которых речь пойдет ниже

Такое множество называется линейным пространст­ вом.

Элементы этого множества могут иметь какую угодно природу. Термин «линейное пространство» своим гео­ метрическим звучанием обязан не их форме или распо­ ложению, но лишь характерным особенностям их отно­ шений и действий, над ними совершаемых, а также возможности иллюстрировать эти отношения и дейст­ вия с помощью наглядных образов. Уже наша кофейная диаграмма была убедительным тому примером.

Состав порций кофе мы указывали точками в декар­ товой системе координат. Поясняя их сложение, прово­ дили стрелки из начала координат в соответствующие точки Такими же стрелками, такими же направленными отрезками в физике изображаются силы, скорости и другие величины, именуемые векторами. -По аналогии элементы любого линейного пространства тоже называ­ ют векторами (реже точками), а вместо термина «линей- ■ное пространство» употребляют также термин «вектор­ ное пространство». Буквы латинского алфавита, которы-

272

ми обозначаются элементы линейного пространства часто отмечают стрелочками или черточками над ними

Вглядитесь еще раз в чертеж которым мы пояснили правило параллелограмма А теперь поглядите на сле­ дующий рисунок Вариация на ту же тему, однако здесь несколько больше деталей Теперь ясно видно, что в суммарной порции столько же черного кофе и молока, сколько их было в складываемых порциях

А еще из нового чертежа видно, что правило парал­ лелограмма можно переиначить Проведя первый век­ тор-слагаемое из начала координат, второй можно про­ вести из конца первого; замкнув начало первого вектора и конец второго, мы получим искомую сумму

Этот метод предпочтительней,- когда приходится складывать много векторов Их удобно выстраивать це­ почкой, стыкуя конец каждого из суммируемых векторов

сначалом следующего, а затем замкнуть начало первого4

иконец последнего вектора

Рисунок, подсказавший нам удобную замену для пра­ вила параллелограмма, демонстрирует еще и нагляд­ ный геометрический способ вычитания векторов чтобы получить разность векторов, нужно провести направлен­ ный отрезок из конца вектора-вычитаемого в конец вектора-уменьшаемого

Систематизируя опыт механики и других областей физики, применяющих понятие вектора, математика вы­

273

работала так называемые аксиомы линейного простран­ ства.

Вот одна из них: векторы можно складывать в любом порядке — результат будет один и тот же. Например, сливая две порции кофе, можно прилить вторую к пер­ вой, а можно и первую ко второй. Это — так называемый переместительный закон сложения.

С?+\7=\7+ср

(с? +U)+D=o>+(U+[?)

Вот другая аксиома: при сложении векторы можно объединять в любые группы. Например, сливая три порции кофе, можно сначала слить первую со второй и затем влить туда третью, а можно сначала слить вторую с третьей и затем влить туда первую. Результат опятьтаки будет одинаковый. Это — так называемый сочета­ тельный закон сложения.

Не нужно думать, что тот и другой закон сами собой разумеются для элементов всякого множества, а кото­ ром определена операция сложения.

Переместимся из кухни в химическую лабораторию и заменим кофе и молоко на воду и концентрированную серную кислоту. Казалось бы, чтобы получить разбав­ ленный раствор кислоты, можно прилить ее к вЪде, а можно поступить и наоборот — прилить к ней воду. Однако техника безопасности предписывает именно первый способ и категорически запрещает второй. Дело в том, что при смешивании концентрированной серной кислоты и воды выделяется много тепла, кислота вски­ пает, когда к ней приливают воду, разбрызгивается и грозит обжечь того, кто наивно полагает, что перемес­ тительный закон выполняется при всяком сложении.

НгО + H2SO4 = раствор серной кислоты

H2SO4 + НгО = опасно !!!

274

Итак в химической лаборатории при смешивании реактивов не всегда-выполняется первая из названных нами аксиом сложения.

Не всегда выполняется здесь и вторая аксиома Хи­ мики знают как готовить водный раствор кристалличес­ кого йода йод сначала нужно растворить в спирте, а затем полученный раствор разбавить водой.

Изменив порядок сложения, мы не придем к тому же результату с водой йод образует взвесь, которая уже не превратится в раствор от добавки спирта.

(Н2О + J2) + С2Н5ОН = взвесь

Н2О + (J2 + С2Н5ОН) = раствор

Мы видим, что аксиомам линейного пространства подчиняется не все, что складывается и умножается на числа — например химические реактивы.

•

Аксиом линейного пространства всегсГвосемь. Две из них мы уже назвали.

Третья требует, чтобы среди векторов был нулевой, то есть такой, от прибавления которого к любому дру­ гому вектору тот оставался бы неизменным. В нашем примере линейного пространства, во множестве чашек кофе нулевой вектор указать нетрудно — это пустая чашка. Нетрудно указать его и на кофейной диаграм­ ме— это начало координат. (Кстати, из третьей, четвер­ той и пятой аксиом линейного пространства можно вывести — попробуйте! — что умножение любого векто­ ра на нуль дает нулевой вектор. Этот вывод пригодится нам в дальнейшем.)

Четвертая аксиома: от умножения вектора на единицу он не изменяется. Пятая: умножить вектор на сумму чисел — это все равно, чтр умножить вектор порознь на каждое из этих чисел, а результаты сложить,. Шестая умножить число на сумму векторов — это все равно, что умножить его на каждый вектор по отдельности, а затем сложить результаты. Седьмая: последовательное умно­ жение вектора на два числа можно заменить однократ­

275

ным умножением на произведение этих чисел. Вось­ мая...

Впрочем, прервем на минутку этот монотонный пере­ чень.

•

Рассказывают, что английскому физику Полю Дираку однажды предложили шуточную задачу на смекалку.

Вот она, эта задача. Три рыбака ловили рыбу. Ловля закончилась затемно, и рыбаки решили разделить до­ бычу утром при свете дня. Один рыбак проснулся рань­ ше других и решил, не будя остальных, взять причитаю­ щуюся ему треть и уйти. Число рыб на три не делилось, и чтобы это сделать, пришлось выбросить одну. Рыбак ушел, взяв свою долю. А потом проснулся другой и, ничего не подозревая, с теми же намерениями, что и первый, принялся вновь делить добычу на три части. Для этого ему, как и первому, снова пришлось, выбросить одну рыбу. Забрав свою треть, ушел и он. Последний поступил так же, как и предыдущий. Спрашивается, сколько рыб поймали рыбаки? Из всех возможных отве­ тов указать наименьший.

Ответ задачи — двадцать пять рыб. Можете прове­ рить.

Однако ответ Дирака был другим и, как ни странно, правильным. Дирак ответил: рыбаки поймали минус две рыбы. Нет, нет, не торопитесь с возражениями. С точки зрения математики Дирак прав, во-первых, в том, что указал меньшее число (минус Два действительно мень­ ше чем двадцать пять), а во-вторых, его ответ действи­ тельно удовлетворяет условию задачи. Первый рыбак из общего числа рыб, указанного Дираком, выбросил, то есть вычел, одну и их стало минус три. Рыбак забрал свою минус одну рыбу и осталось минус две. Второй и третий повторили эту операцию.

Конечно, ответ Дирака, как говорится, не имеет фи­ зического смысла. Но нам, с нашими разговорами о линейных пространствах, ценнее тот факт, что Дирак в своих рассуждениях не делает принципиального разли­ чия между положительными и отрицательными числами.

276

Не делают между ними различия все те, кто имеет дело с линейными пространствами. Говоря об умноже­ нии вектора на число, под числом подразумевают любое из положительных и отрицательных.

Умножить вектор на отрицательное число... Напри­ мер, умножить чашку кофе на минус единицу... Что это такое? Сразу не сообразишь.

Но мы не зря сформулировали аксиомы линейного пространства. Возьмем ту, которая идет у нас пятой по счету: «умножить вектор на сумму чисел — это все равно, что умножить вектор порознь на каждое из этих чисел, а результаты сложить»

Умножим чашку кофе на
сумму	единицы		и минус
единицы.		Умножение
можно произвести порознь
и получить сумму чашечки,
умноженной		на	единицу
(при этом она			останется
собой) и чашечки, умно- —
женной на минус единицу
(что это такое, мы сейчас и по дираковски				I
попытаемся понять). А те­
перь, следуя названной ак-				-- 1
сиоме,	просуммируем

числа до умножения. Еди­ ница, сложенная с минус единицей, дает нуль. Нуль,

умноженный на любую чашечку кофе, дает пустую ча­ шечку, нулевой элемент нашего множества.

Итак мы приходим к выводу, что если к любой чашечке кофе прибавить точно такую же, умноженную на минус единицу, то в результате получится нулевая, пустая чашечка.

Для кулинара это, быть может, удивительный факт, для механика — само собой разумеющийся, наблюдае­ мый, скажем, при сложении сил. Умножение любой силы на минус единицу в механике трактуется как смена направления силы на противоположное. Две взаимно противоположные силы при сложении дают нулевую: приложенные к телу, они действуют на него так, будто никакая сила к нему не приложена. Для всякой сиЛВ| можно подобрать ей противоположную.

277

Придавая подобным фактам строгое математическое оформление, скажем так: для любого элемента линей­ ного пространства должен существовать противополож­ ный элемент, такой, что оба элемента в сумме дают нулевой.

В этом и состоит восьмая аксиома линейного про­ странства.

Подчиняясь ей, давайте и мы наряду с обыкновенны­ ми «положительными» чашечками кофе рассматривать и «отрицательные». Сложение чашечки кофе с противо­ положной будет давать в результате нулевую, пустую чашечку. Умножение чашечки кофе на минус единицу будет давать противоположную чашечку, минус одну чашечку кофе.

Кофе по-дираковски — так мы будем его называть.

•

После утомительного разбирательства с умножением чашечек кофе на отрицательные числа позвольте, чита­ тель, развлечь вас небольшим фокусом.

Задумайте три различных рецепта-кофе. Приготовьте по ним три порции кофе любого объема. Готово? А теперь — внимание! Мы отливаем от порции, приготов­ ленной вами по первому рецепту, некоторую часть в отдельную чашечку, в следующую чашечку отливаем немного от второй порции, еще в одну — чуть-чуть от третьей. Затем сливаем в первую чашечку содержимое второй и начинаем медленно подливать туда же кофе из третьей. Смотрите внимательнее! Свет на арену, бара­ баны — дробь! Струя кофе льется в чашку, но чашка пустеет! Вот упала последняя капля, и в чашке обнажи­ лось дно! Чашка пуста!

Вы изумлены? А между тем фокус несложен. Мы откроем вам секрет, и тогда вы сможете с неизменным успехом демонстрировать его знакомым и родственни­ кам.

Правда, для большей наглядности нам придется об­ ратиться к геометрической интерпретации, к той кофей­ ной диаграмме, которую мы строили уже не раз.

278

Три порции кофе, приготовленные вами по задуман­ ным рецептам, отложим на диаграмме в-виде векторов. Эти порции, как видно, совершенно различны по объему и составу, о чем свидетельствуют разная длина и разный

ски. Она составлена в той же пропорции. Соответствую­ щая ей точка лежит на том же луче, .проходящем через начало координат, точнее, на его продолжении за нача­ ло координат.

Теперь начнем складывать эти стрелки-векторы. Будем делать это последовательно, как сливали чашки кофё, — приставляя к концу первой стрелки начало вто­ рой, а к ее концу — начало третьей.

Смотрите: конец третьей стрелки совместился с на­ чалом первой! Мы действительно получаем в сумме нулевой вектор, пустую чашку.

Вы разочарованы? Слишком просто? Что ж любой фокус теряет свою загадочность после объяснения.

Однако наш фокус, утратив после объяснения долю таинственности, приобрел математическую содержа­ тельность.

Мы сложили три вектора, предварительно изменив их длину, то есть умножив каждый на некоторый коэффи­

279

циент. Сумма такого вида называется линейной комби­ нацией векторов.

Один из коэффициентов, употребленных нами, был числом отрицательным, но это не должно нас смущать — ведь мы отменили знаковую дискриминацию чисел, на которые умножаем векторы

Нам удалось составить такую линейную комбинацию наших векторов, которая оказалась равной нулю. Векто­ ры, из которых можно составить нулевую линейную комбинацию, именуют линейно зависимыми. В против­ ном случае, если сделать это удается лишь тривиальным образом, лишь взяв в качестве коэффициентов одни нули, ректоры называются линейно независимыми.

Своим фокусом мы доказали, что любые три вектора нашего абстрактного кофейного пространства являются линейно зависимыми.

В то же время в нашем кофейном пространстве всегда можно найти два линейно независимых вектора. Возь­ мем порцию кофе по-варшавски, обильно сдобренного молоком, и порцию кофе по-турецки без всякой приме­ си молока. В каких количествах ни подливай второй кофе к первому, положительных или отрицательных, чашка не будет пустой: молочная составляющая оста­ нется неизменной по величине и в нуль не обратится, так что на диаграмме вектор, изображающий сумму отдельных порций, не упрется в начало координат; сде­ лать это можно, лишь взяв оба кофе в нулевых количе­ ствах.

Если в линейном пространстве существует N линейно независимых векторов, а любые (N +1) зависимы, гово­ рят, что пространство N — мерно.

Итак, наше кофейное линейное пространство двумер­ но. Как говорят его размерность равуа двум.•

•

Сейчас мы дадим еще одно истолкование фокусу, проделанному в предыдущем разделе.

Согласитесь: он доказывает, что из трех различных порций кофе две всегда можно слить в таких количертвах, что сумма будет тождественна третьей порцйи

280