книги / Математика без формул

подгоняемым толчками анкерного механизма: закоро­ ченные витки спирали, замкнутая кривая, незатухающие колебания.

Вновь все наглядно, просто, понятно.

Недаром Платон говорил, «Геометрия приближает разум к истине».

•

Где-то на предыдущих страницах мы поставили жа­ риться омлет. Теперь он уже готов, и мы приглашаем вас его отведать.

Что, недосолили? Естественно: пространство, в кото­ ром мы готовили омлет, было трехмерным — яйца, мо­ локо, мука. Для соли не хватило измерений.

Похоже, что высококачественные омлеты можно гото­ вить только по четырехмерным рецептам.

До сих пор наши абстрактные пространства не отли­ чались большим Числом измерений. Кофейная диаграм­ ма была двумерной, цветовой фунтик — трехмерным’ Мы подбирали столь простые примеры исключительно ради наглядности.

Реальная жизнь сложна, И не всегда ее удается втис­ нуть в рамки двух или трех измерений, не теряя соль исследуемых проблем.

Кулинарные рецепты в абстрактных пространствах — это, конечно, шутка. Но вот, например состав сплава,

301

оптимальное сочетание его компонент — это уже про­ блема серьезная. Решая ее, металловеды обращаются к многомерным пространствам.

На фотографии — шлифы трех сплавов. Образованы они одними и теми же металлами — свинцом и сурьмой. Но процентное соотношение компонент — различно.

Это и обусловило заметные различия в структуре спла­ вов. Различия в структуре определяют существенные различия в свойствах, будь то твердость, электропро­ водность или что-либо иное.

Зависимость этих свойств от состава сплавов помо­ гают проследить так называемые диаграммы состояния. Если компонент сплава всего две, то всю информацию о его составе можно разместить на одной оси коорди­ нат — скажем, оси абсцисс. На ней нужно откладывать процентное содержание одной из компонент. Дополне­ ние до 100 процентов укажет содержание другой.

Структуру сплавов различного процентного состава диаграмма описывает, рассказывая о том, что происхо­ дит при затвердевании жидкого сплава. Именно поэтому по ее вертикальной оси откладывается температура.

400	А	ОТ		О		Вот		диаграм-
						ма	состояния
о	1	1		1
	1	! жидкий сплав j
	1				^	для сплава свин­
СО	1	1		»
	1					ца	и	сурьмы
Я 350
	t
с:	1					Одна		из	линий
с	г	1
о	»					диаграммы го­
£ 300	1	!		\
	1		Ж			ризонтальная,
F	1	1		»
	1	»	S	»		другая		раскину­
со		*	ж	»
C L		1	солидус	1
0)		s j /		!		ла над ней свои
С
5	i	"[точка эвтектики »				ветви		подобно
о	1
н	t	j твердый сплав j				крыльям			дико­
	i
200	«_					винной			П Т И Ц Ы
	ю		20		30
						Солидус			—	так
	Содержание сурьмы				%
						называется				пер­
вая линия. Ликвидус — вторая. Их общая точка —										точка

эвтектики. На нее-то мы и обратим внимание в первую

302

очередь. Заметим ее координаты: температуру и про­ цент сурьмы в сплаве.

Если начать охлаждать жидкий сплав такого состава, то при достижении отмеченной температуры начнут одновременно образовываться кристаллы сурьмы и свинца. В результате возникает та мелкокристалличес­ кая структура, которая видна на среднем снимке, — ее называют эвтектикой.

Иное дело, если процент сурьмы окажется большим. Тогда затвердевание сплава будет изображаться на диаграмме нисходящей вертикалью, лежащей справа от точки эвтектики и пересекающей сверху вниз обе линии — ликвидус и солидус. Достигнута первая — на­ чали выпадать кристаллы сурьмы. Опустились до вто­ рой — между кристаллами сурьмы стали одновременно образовываться кристаллы обоих металлов. В итоге возникает структура, показанная на правом снимке.

Нечто подобное (но, как говорится, с точностью до наоборот) будет происходить, если большим по сравне­ нию с эвтектическим окажется процент свинца. Тогда в начале станут выпадать его кристаллы, а затем одновре­ менно — кристаллы сурьмы и свинца. Возникает струк­ тура, представленная левым снимком.

Даже беглый рассказ обо все этом занял немало места. А ведь мы обратились к предельно простому, если угодно, хрестоматийному примеру, который при­ водится обычно в пособиях по металловедению. Спла­ вам, применяемым в технике, свойственны более слож­ ные диаграммы состояния. Однако сложность не скра­ дывает их основного достоинства: специалисту доста­ точно лишь взгляда, чтобы по хитроумному рисунку линий на диаграмме узнать о структуре и свойствах сплава того или иного состава. Небольшая картинка делает ненужными многие страницы словесных поясне­ ний.

Говоря о рисунке линий, мы разумеется, по-прежнему имеем в виду двумерные диаграммы состояния, пригод­ ные для описания лишь двухкомпонентных сплавов. Но ведь сплавы, которые используются в современной тех­ нике, насчитывают и три, и четыре, и больше компонент. Их свойства тоже желательно представлять наглядными графическими образами. В случае трехкомпонентных

зоз

сплавов еще помогают трехмерные графики, по­ добные приведенному на 1 этой странице с их слож­ ными поверхностями А если компонент больше? Диаграммы неизбежно оказываются четырехмер­ ными, пятимерными и т.д. К подобным многомер­ ным построениям подхо-

гдит и химик, и биолог, и представители других наук, когда им приходится изучать многокомпо'нентные системы.

Нет, не математический снобизм, не жажда изыс-

Вканной игры ума, а запро­ сы самой жизни, наука и практика сегодняшнего дня заставляют осваивать целину многомерных про­ странств — пространств N измерений.

Высь, ширь; глубь Лишь три координаты Мимо них где путь? Засов закрыт

СПифагором слушай сфер сонаты Атомам дли счет, как Демокрит Путь по числам? — Приведет нас в Рим он (Все пути ума ведут туда!)

То же в новом — Лобачевский, Риман, Та же в зубы узкая узда1

Но живут, живут в N измереньях Вихри воль, циклоны мыслей, те,

Кем смешны мы с нашим детским зреньем,

Снашим шагом по одной черте!.

ВБрюсов, «Мир N измерений»

•

Вам никогда не приходилось бывать в N-мерном про­ странстве?

Не спешите отвечать «нет» Ведь если N равно трем, загадочное N-мерное пространство приобретает вполне привычные очертания. В таком трехмерном пространст­ ве мы живем и работаем. Двумерное пространство тоже хорошо знакомо нам — это чертеж, картина, диаграмма. Одномерное пространство — это луч солнца, натянутая нить, прямая на листе бумаги. Мы уже говорили об этом, рассказывая про различные системы координат. Здесь же добавим, что в математике употребителен также термин «нульмерное пространство»: так говорят про точку, «не имеющую частей», как ее определял Эвклид.

Ну, а если N больше трех? Что можно сказать о свойствах такого пространства? Какую форму имеют многомерные тела? Можно ли их изобразить, измерить?

Оказывается, можно. Каким бы числом измерений ни обладало пространство, есть в нем что-то такое, что роднит его с другими пространствами, в частности — с хорошо известными нам одномерным, двумерным, трех­ мерным. Если знать эти общие свойства, эти аналогии, можно многое порассказать о пространстве любого числа измерений.

Ради краткости рассуждений и наглядности выводов будем рассматривать в каждом из них самые простые фигуры и тела.

Начнем с одномерного пространства, с прямой. Сколько ни думай, фигуры проще, чем отрезок, здесь не придумаешь. На двумерной плоскости простейшая фи­ гура, сложенная из одномерных отрезков, — это тре­ угольник. В трехмерном пространстве простейшее тело, составленное из треугольников (простейших фигур дву­ мерного пространства), — это тетраэдр, треугольная пирамида.

Тут уж можно сказать и о первой аналогии. И отрезок, и треугольник, и тетраэдр можно получить, в сущности, одним и тем же способом: в пространстве вводится декартова система координат, и начало ее отсекается.

305

Возьмем за начало координат некоторую точку на плоскости, проведем из нее луч, и отступив от нее на некоторое расстояние, отделим ее булавкой — у нас получится отрезок. Если перед нами плоскость, от одно­ го из ее секторов, ограниченного осями координат, острием ножа отрежем кусочек, содержащий начало, — получится треугольник. Если теперь у нас част!? трехмер­ ного пространства, лежащая между осями X, Y, Z — отпилим ножовкой уголок, и тетраэдр готов.

Читатель уже заметил, вероятно, что размерность наших инструментов, а значит, и наших сечений, на единицу меньше размерности пространства. Кончик бу­ лавки — нульмерная точка, острие ножа — одномерная прямая, полотно ножовки — двумерная плоскость. Так что, собираясь в путешествие по Л/-мерному простран­ ству, не забудьте захватить с собой (N — 1 )-мерную «ножовку». И если на глаза вам попадется кусочек N- мерного пространства, заключенный между N осями координат, не упустите случая обзавестись сувениром, отпилите начало координат. В руках у вас окажется простейшее из тел N-мерного пространства, Л/-мерный симплекс, как говорят математики.

Его сходство с меньшими братьями, треугольником и тетраэдром, чувствуется сразу: он тоже ограничен, со­ стоит из одного куска, у него тоже есть угловые точки.

Кстати, сколько их? Давайте займемся подсчетами. Пользуясь методом аналогии, пересчитаем вершины, ребра и грани Л/-мерного симплекса.

Как повелось, сначала изучим отрезок. У него две «вершины» и одна сторона. У треугольника три вершины, три стороны и одна грань — ограниченная сторонами часть плоскости. У тетраэдра таких граней четыре, а ребер и вершин •— соответственно шесть и четыре, к Тому же у него есть и трехмерный элемент — объем.

306

Ряды чисел, упомянутых нами для каждой фигуры, выпишем построчно. К каждой строке добавим по еди­ нице слева.

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Как видим, добавка единицы была умышленной: наша табличка приобрела вид так называемого треугольника Паскаля. Конструкция этого треугольника весьма про­ ста: выписываем в строчку 1 2 1, под каждой парой чисел записываем их сумму и с боков приписываем по единичке, затем точно также составляем следующую строку и т.д. Именно по этому правилу в нашей табличке и возникла четвертая строка. Она, как нетрудно дога­ даться, описывает четырехмерный симплекс. Пропуская добавленную единицу, читаем: у него пять вершин, де­ сять ребер, десять двумерных граней (треугольников), пять трехмерных граней (тетраэдров) и один четырех­ мерный элемент (его объем).

Быть может, вас озадачивает, что гранями четырех­ мерного симплекса служат тетраэдры? Это можно по­ нять, развивая аналогию: сторонами двумерного сим­ плекса, треугольника, служат простейшие одномерные фигуры, отрезки, гранями трехмерного симплекса, тет­ раэдра — треугольники... Так что ничего неправдопо­ добного в нашем сообщении о трехмерных гранях четы­ рехмерного симплекса нет.

Выписывая одну за другой строки треугольника Пас­ каля, можно добраться до любой N-ной, числа которой расскажут про форму интересующего нас симплекса!.

Метод аналогий\позволит вычислить и его объем. Вспомним, как вычисляется площадь треугольника, объем тетраэдра По очень простой формуле: «основа­ ние на высоту, деленное на ...» На что же именно? У двумерного треугольника — на два, у трехмерного тетраэда — на три... Так и хочется сказать: у четырехмер­ ного симплекса — на четыре. А почему бы и нет? Анало­ гия подсказывает недвусмысленно: чтобы вычислить

307

четырехмерный объем четырехмерного симплекса, надо умножить его высоту на объем тетраэдра, лежаще­ го в основании, и результат разделить на четыре. Отсю­ да уже недалеко до формулы, по которой отыскивается объем любого N-мерного симплекса:«основание на вы­ соту, деленное на N».

Конечно, аналогия не принадлежит к числу строгих методов исследования. Это, скорее, один из творческих приемов, которые наряду с логикой составляют неотъ­ емлемую черту математической деятельности.

Слепо доверяться аналогиям нельзя. Например, они вряд ли дадут верные указания в вопросе о числе пра­ вильных фигур и тел в пространстве той или иной размерности. На двумерной плоскости их бесконечно много — равносторонний треугольник, квадрат, пра­ вильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д. В техмерном пространстве — всего-навсего пять: тетра­ эдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В четырехмер­ ном — уже шесть. А во всех пространствах с большим числом измерений — по три штуки в каждом. Законо­ мерности в этом не видно никакой.

Заметим, однако, что все приведенные до этого ре­ зультаты верны: их можно подкрепить безупречными доказательствами.

—Послушайте, сосед! Вы не могли бы мне помочь?

—Пожалуйста. А в чем дело?

Так начался разговор двух садоводов-любителей.

—Я тут принялся удобрять сад и запутался в расче­ тах — сколько какого удобрения взять для смеси. А вы,

язнаю, математик. Так не помогли бы вы мне?

—Попробую. Но в чем, собственно, задача?

—В справочнике написано, что на сотку нужно вно­ сить калия, азота и фосфора по 600 граммов, не меньше. А у меня — аммофос и нитрофоска. Как бы их скомби­ нировать поудобней?

—Такие задачи мне знакомы. Но скажите — сколько

вкаждом удобрении калия, азота и фосфора?

—Вот вам табличка — все в процентах:

308

аммофос	калий	азот	ф осф ор
	О	12	50
нитрофоска	17	12	10

— Прекрасно! Это будут наши исходные данные. Теперь если вы не возражаете, давайте немного пори­ суем. Вот оси координат. Любая точка с координатами х и у в этом уголке соответствует смеси из х килограм­ мов нитрофоски и у килограммов аммофоса. Теперь взгляните на первый столбец таблички: в аммофосе нет калия.

— Значит все 600 граммов калия придется набирать за счет нитрофоски.

— Но в ней всего 17 процентов калия. Значит, нитро­ фоски нужно взять по крайне мере... ноль шесть разде­ лить на ноль семнадцать... Это будет примерно три с половиной килограмма. В них при семнадцатипроцент­ ном содержании калия его будет примерно 600 граммов. Я привожу на графике вертикальную прямую через точку

горизонтальной оси х = 3,5. Все, что левее этой пря­ мой, — это недостаток калия. Нас будет интересовать лишь область правее прямой. Я заштрихую ее.

309

— А как быть с азотом? Его в каждом удобрении поровну, по 12 процентов. Значить, можно брать либо то, либо это?

— Верно. Либо пять килограммов аммофоса, либо столько же нитрофоски. При двенадцатипроцентном со­ держании азота и там и тут его будет ровно по 600 граммов.

—А, может быть, взять поровну? По два с половиной кило?

—Пожалуйста. И если какого-то удобрения вы захо­

тите взять долей меньше, для восполнения азота нужно будет добавить в смесь такую же долю другого удобре­ ния. Согласны?

—Еще бы!

—Тогда поглядите на чертеж. В результате таких вариаций на нем возникнет прямая. Точки на ней и выше — это смесь с нужным и избыточным количеством азота. Я заштрихую эту область. Честно говоря, мне было бы проще выразить эту прямую уравнением: 0,12х + 0,12у = 0,6. Понять это совсем нетрудно: 12 процентов азота, которые содержатся в х килограммах нитрофоски, плюс 12 процентов азота, которые содер­ жатся в у килограммах аммофоса, должны составлять вместе необходимые нам 600 граммов, то есть шесть десятых килограмма. Обратите внимание: всякий раз, когда координаты х и у умножаются на постоянные

коэффициенты, складываются и приравниваются посто­ янному числу, получившееся уравнение соответствует прямой на координатной плоскости.

—Если я вас правильно понял, то из третьего столбца таблицы тоже получается прямая?

—Вы ловите мою мысль на лету.

—И снова нас будет интересовать область над пря­

мой?

—Верно. А теперь совместим все три рисунка. Очер­ тим область, в которой все три штриховки перекрыва­ ются. Ее называют областью допустимых значений. Какую точку на этой области вы ни возьмете, в смеси такого состава можно гарантировать не менее чем по 600 граммов калия, азота и фосфора. Вот вам мой ответ.

310