книги / Математика без формул

Несложная перестройка предыдущих чертежей дает на­ глядную геометрическую интерпретацию этого вывода

у Порция кофе ^ гю-варшавски=

1 ст черного кофе+

2 ст молока

4

1 молоко, ст

Напрашивается вопрос, можно ли раз и навсегда взять две стандартные порции кофе, чтобы, сливая их в нужных количествах, получать любую задуманную? Тогда любой рецепт кофе можно будет записывать в предельно простом виде — парой чисел, указывающих эти самые количества.

«Помилуйте! — изумится любой кофеман. — А разве не так составляются рецепты кофе? Возьмем любой из них — ну, скажем, такой: для приготовления кофе поваршавски берется четверть стакана черного кофе и три четверти стакана молока. За стандартную основу, как видно, приняты стакан черного кофе и стакан молока. Первый умножается на три четверти, второй — на одну четверть и результаты * умножения складываются, то бишь сливаются».

разве не так записывается любой кулинарный ре­ цепт? — подхватит разговор хозяйка. — Вот рецепт ом­ лета, который в русской кухне называется драченой: три яйца, три столовые ложки молока, одна столовая ложка муки. Тут можно обойтись одними числами: 3,3,1. Надо 1олько условиться, что первое число — это количество яиц, второе — столовые ложки молока, третье — столо-. вые ложки муки. Классический омлет готовится без муки, а ради густоты берут поменьше молока — всего одну ложку. Стало быть, здесь тройка чисел уже другая: 3,1,0. Впрочем, некоторые считают, что омлет такого состава жестковат, и предпочитают брать молока по­ больше, ложки две. Тройка чисел для такого «нежного» омлета будет выглядеть так. 3,2,0. Надо только не забы­

281

вать, чему какие числа соответствуют. Ведь если нуль отнести за счет яиц, это будет уже не омлет».

«Забавно, забавно! — оценит эти кулинарные рассуж­ дения физик. — Но если говорить всерьез, то с силами в механике поступают точно так же, когда представляют их разложенными по осям координат. И записывают тоже строчками чисел, например: (5,3,2). Конечно, при этом должно быть условлено, в каких единицах это выражено — скажем в килограммах. А порядок осей — традиционный: Х-, Y, Z. Так что, если пишется (5,3,2), то подразумевается, что речь идет о силе, которая склады­ вается по законам векторного сложения из пятикило­ граммовой, направленной по осиХ, трехкилограммовой, направленной по оси Y, и двухкилограммовой, направ­ ленной по оси Z. Разложенными по осям координат представляются в механике и скорости, и ускорения».

Как видим, подобный подход применим в любом линей­ ном пространстве. Его следовало бы описать построже.

Если в линейном пространстве существует такой набор линейно независимых векторов, что в виде их линейной комбинации может быть представлен любой вектор пространства, то такой набор называется бази­ сом. Коэффициенты линейной комбинации, с помощью которого некоторый вектор выражается через базис­ ные, называются компонентами данного вектора в дан­ ном базисе. В таком случае еще говорят о разложении данного вектора по данному базису.

Коль скоро базис выбран и порядок базисных векто­ ров указан, то любой вектор пространства однозначно представляется набором своих компонент. Вот почему часто говорят: вектор есть упорядоченный набор чисел. Такие наборы принято записывать в строчку или стол­ бик. Действия над векторами тогда становятся выклад­ ками со строчками или столбиками их компонент. Скла­ дывая два вектора, складывают по отдельности соответ­ ственные компоненты — полученный набор чисел пред­ ставит собой компоненты суммы векторов. Вычитая из одного вектора другой, вычитают их соответственные компоненты. Умножая вектор на число, умножают на это число все его компоненты, по отдельности — в резуль­ тате получатся компоненты вектора, умноженного на число.

282

Количество базисных векторов равно размерности пространства. Разложение любого вектора пространст­ ва по данному базису единственно.

•

Что удобнее — метровая линейка или складной метр? Судя по тому, что предпочитают столяры и плотники, — второе. А еще удобнее рулетка — линейка, каждый раз выдвигаемая на нужную длину.

Сходное понимание удобства заставляет и математи­ ков, рисуя векторные диаграммы, не разграфлять лист бумаги осями координат, а лишь вычерчивать с краю набор базисных векторов.

Согласовать новый графический прием со старым несложно. Если применяются оба, базисные векторы должны упираться своими концами в единичные отметки на координатных осях.

Возьмем теперь какой-нибудь вектор линейного про­ странства, заданный набором своих координат. Эти компоненты нужно умножить на соответствующие ба­ зисные векторы и результаты умножения сложить. В этом и выразится представление вектора в виде линей­ ной комбинации базисных векторов.

После такого умножения каждый базисный вектор, прежде упиравшийся концом в единичную отметку своей оси, дотянется до отметки, равной соответствую­ щей компоненте вектора. И если результат последую­ щего сложения отобразить стрелкой, исходящей из на­

283

чала.координат, ее конец окажется в точке с координа­ тами, равными компонентам вектора.

Художник смешивает краски на палитре. Театральный осветитель скрещивает цветные лучи прожекторов на персонаже сценического действия. Ребенок раскручи­ вает ярко раскрашенную юлу, и пестрый рисунок слива­ ется в одно цветное пятно.

И тот, и другой, и третий, с точки зрения математика, выполняют одну и ту же операцию — операцию сложе­ ния цветов.

Цвета можно не только складывать, .но и умножать на числа. Глядя на картину старого мастера и видя, как она потускнела, можно сказать, что время умножило перво­ начальные цвета картины на числа, меньшие единицы.

Похоже, что набор всевозможных цветов можно рас­ сматривать как линейное пространство. Просмотр акси­ ом линейного пространства показывает, что они выпол­ няются при сложении цветов и их умножении на число.

В ложе осветителя — десяток цветных прожекторов. Под рукой у художника — с полсотни различных красок. Но каким минимальным числом можно обойтись, чтобы составить все возможные цвета? Где те базисные крас­ ки, линейной комбинацией которых можно представить любую, а их друг через друга представить уже невоз­ можно? Какова размерность линейного пространства цветов? Как построить его базис?

Закономерности цветовых сочетаний изучали такие умы, как Ньютон, Грасман, Гельмгольц, Максвелл, Шредингер. Характерно, что все они — физики и математи­ ки. Например, Герман Грасман, немецкий математик,— один из основоположников векторного исчисления. Он же установил первые законы сложения цветов.

Вот один из открытых им законов: существуют тройки линейно независимых цветов, и в то же время любая четверка цветов линейно зависима.

Что это значит? Прежде всего то, что можно подо­ брать три таких цвета, что ни один из них нельзя будет представить смесью двух других. В самом деле, возь­

284

мем красный, фиолетовый и зеленый цвета. Смесь пер­ вых двух дает пурпурные цвета различных оттенков, и ни один из них, конечно, не тождествен зеленому. Точно так же смесью красного и зеленого никак не удается создать фиолетовый цвет, смесью фиолетового и зеле­ ного — красный.

Доказывая линейную зависимость любой четверки цветов, Грасман выбрал тройку базисных оттенков, ли­ нейной комбинацией которых можно представить почти любой из предложенных цветов. Слово «почти» употреб­ лено здесь с умыслом. В силу физиологических особен­ ностей человеческого глаза, некоторые цвета требуют более сложного представления. Их приходится смеши­ вать с одним из базисных, добиваясь того, чтобы сумма равнялась некоторой линейной комбинации двух других базисных цветов. Возникает цветовое уравнение, из которого цвет выражается опять-таки линейной комби­ нацией базисных, однако среди коэффициентов комби­ нации на сей раз есть и отрицательные числа.

Все эти исследования и привели Грасмана в выводу: линейное пространство цветов трехмерно.

Каковы же те три цвета, которые способны послужить базисом этого пространства? Однозначен ли их выбор?

Конечно, нет, отвечает богатый опыт работы с цветом, накопленный к сегодняшнему дню. В полиграфии для, цветной печати используют желтую, красную и синюю краски. Цветное телевидение избрало в качестве базис­ ных зеленый, красный и синий цвета. Как видим наборы базисных цветов различны, но их число и тут и там равно трем — размерности цветового пространства.

Всмотритесь в его схематическое изображение, в «цветовой фунтик», как шутливо называл эту простран­ ственную диаграмму Шредингер. Известно, что цвета спектра в сумме дают белый. Прямая линия, проходящая по оси фунтика, как раз соответствует бело-серым цве­ там. Чем ближе к этой линии, тем меньше насыщенность цвета. Насыщенности — это тот признак, которым отли­ чаются друг от друга бордовый и малиновый, или алый и розовый цвета: они одинаковы по тону, но различны по насыщенности. Кстати, о малиновом и прочих пур­ пурных цветах: их нет в солнечном спектре, и получают их, смешивая два крайних спектральных цвета — крас­

285

ный и фиолетовый. Вот почему пурпурные цвета на нашей диаграмме образуют плоскость, двумерное под­ пространство трехмерного пространства цветов. Начало координат — это чернота, полное отсутствие цвета.

Близ этой точки находятся коричневые тона, которые, как доказано, отличаются от красного, оранжевого и желтого цветов лишь интенсивностью. Заметим, что точки нашего «фунтика», соответствующие цветам оди­ наковой интенсивности, образуют плоскости, рассекаю*-

286

щие «фунтик» поперек. (По одной из них цветовой фун­ тик и срезан на нашем рисунке.)

«Взгляните на солнце — оно трезвучие!» — воскли­ цает герой новеллы Гофмана «Кавалер Глюк». Не руча­ ясь за верность цветомузыкальной аналогии, содержа­ щейся в этой фразе, мы еще раз со всей решительнос­ тью подтвердим иносказательно выраженную здесь ма­ тематическую суть: абстрактное линейное пространство всех цветов, заключенных в солнечном спектре, — трех­ мерно, его размерность равна трем.

•

«2, 1, 1», — перечисляет телеоператор компоненты некоторого цвета. «2, 2, 1,» — говорит про тот же самый цвет полиграфист. И оба правы. Потому что первый называет те количества, в которых он станет смешивать красный, синий и зеленый цвета, добиваясь нужного оттенка, а второй будет подбирать тот же оттенок, сме­ шивая красную, синюю и желтую краски. Если же базис­ ные краски не указаны, называть составляющие того или иного цвета бессмысленно.

Так дело обстоит в любом линейном пространстве, а не только в пространстве цветов. Говорить о компонен­ тах вектора и не указать базис, в котором представлен этот вектор, — все равно, что назвать температуру и не отметить по какой шкале она измерена — шкале Цель­ сия или Кельвина, Фаренгейта или Реомюра. Компонен­ ты одного и того же вектора различны в различных базисах. А если базис не назван — говорить о компонен­ тах вектора бессмысленно.

Как и многое другое, связанное с линейными про­ странствами, это положение лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Разберем по этому поводу небольшой шахматно-гео­ метрический этюд. На шахматной доске всего две фи­ гуры: белый ферзь и черный король. От первой фигуры ко второй проведена стрелка. Спрашивается: чему равны компонеты этого вектора?

Вы затрудняетесь с ответом? Что ж, тогда мы зададим вопрос в другой, равнозначной формулировке: чему

287

У

Матрица перехода

\

п .

( i

-

Компоненты Компонен! первого второго

«нового» «нового» базисного базисного вектора в вектора в «старом» «старом» базисе базисе

Компоненты вектора х	Компоненты вектора х
в «старом» базисе {ё,о,}	в «новом» базисе {е,'е /}

_

х=х,е,+х2е2^:.’eZ+x/e/

ё , ’ = 1 * ё , + 1 • ё 2		ё 2’ = ( - 1 ) • ё ,+ 1 • ё 2
Компоненты первого		Компоненты второго
«нового» базисного		«нового» базисного
вектора е ,’ в «старом»		вектора ё2' в «старом»
базисе {ё,ё2}		базисе { ё ,^ }
ё,~(!)		§,’=(V)
Первая	_	Элементы первой
компонента вектора х		строки матрицы
в «старом» базисе {о,ё^>		перехода
\		Н ) - з
1 = 1* 4
	Компоненты вектора х
	в «новом» базисе {е,'ёг')
7 =	1 -4	+ 1 - 3
/
Вторая	_	Элементы второй
компонента вектора х		строки матрицы
в «старом» базисе {ё.о,}		перехода

равны координаты черного короля в системе, за начало которой принят белый ферзь?

«Но где же эта система? — удивленно переспросите вы — Указать ее начало мало, надо еще показать направ­ ления осей и на каждой из них задать единицу масшта­ ба».

Претензия справедливая, и нам остается лишь ее удовлетворить. Поскольку ферзь может ходить и по горизонталям,'и по вертикалям, в таких направлениях мы и проведем оси системы координат. А за единицу масштаба естественным образом примем кратчайший ход ферзя по этим направлениям. Координаты черного короля в построенной системе +1 и +7: именно за два таких хода в положительных направлениях осей X и У до него может добраться белый ферзь.

Но ведь ферзь может ходить и по диагоналям! Строя систему координат, мы могли бы провести оси и в этих направлениях и соответственно выбрать новые единицы масштаба. В такой системе координаты черного короля +4 и +3: именно такие ходы должен сделать ферзь вдоль осей X’ и У новой системы, чтобы вступить на королев­ ское поле.

Точка одна и та же, а координаты у нее там и тут разные. Ибо различны системы координат, в которых указывается положение точки.

Эта точка — конец вектора, давшего повод к нашей шахматной беседе. Координаты точки — компоненты -вектора в базисе, векторы которого изображены еди­ ничными отрезками координатных осей. Итог всего ска­ занного можно подвести уже знакомым нам утвержде­ нием: компоненты одного и того же вектора различны в различных базисах.

Иногда бывает нужно заменить один базис другим. Тогда приходится выяснять, как компоненты того или иного вектора в старом базисе связаны с компонентами вектора в новом базисе. Все, очевидно, зависит от того, как новые базисные векторы сориентированы по отно­ шению к старому базису — точнее, каковы их компонен­ ты в старом базисе. Эти компонеты вписывают в столб­ цы, а из столбцов составляют таблицу, называемую матрицей перехода. Так вот, оказывается, что «старые» компоненты любого вектора (первая, вторая и т.д.)

289

представляют собой линейные комбинации «новых» компонент и коэффициентами таких комбинаций служат числа строчек матрицы перехода (первой строчки, вто­ рой и т.д.).

•

Есть в языке слова, которые с течением времени наполняются все более богатым содержанием.

Пример тому — слово «машина». В каких только соче­ таниях не встречается оно сегодня! Автомашина и пи­ шущая машинка, швейная машина и машина времени, паровая машина и машинка парикмахера...

Термины математики, этого универсального языка ес­ тествознания, тоже подвержены подобному обобще­ нию. По мере ее развития они приобретают все более широкий смысл.

Пример тому — термин «пространство».

Даже житейский смысл этого слова богат оттенками. Какие только ассоциации не вызывает это слово! Инте­ рьер большого зала. Простор полей. Глубины космоса.

Все это, впрочем, одно и то же реальное физическое пространство, лишь взятое в разных масштабах. Именно в этом пространстве,' именно ради описания его свойств, пространственных форм реальных предметов, пространственных отношений между нами и была со­ здана наука геометрия.

Но оказалось, что понятие этой науки способны во­ брать в себя более глубокое содержание. Цвета спектра и состояния вещества, комплексные числа и решения алгебраических систем — некоторые отношения между ними напоминают пространственные отношения между предметами реального мира. Когда принимают во вни­ мания лишь эти отношения и отвлекаются от всех прочих качественных особенностей, тогда становится умест­ ным термин «пространство», становятся применимыми геометрические методы исследования.

Круг подобных исследований ширится, термин «про­ странство» становится все употребительнее. Какими только прилагательными не оснащают его ныне матема­

290