книги / Математика без формул

— Большое вам спасибо. Но не помогли бы вы мне выбрать из всех ответов самый дешевый? Я чувствую, что они все стоят по-разному.

—Что же, вы практичный человек. Выражаясь научно, вы хотите минимизировать целевую функцию, то бишь цену допустимой смеси. Но тогда скажите, почем вы покупали свои удобрения?

—Что-то копеек пятьдесят за кило аммофоса и крпе-

ек двадцать пять за кило нитрофоски.

— Стало быть, на рубль идет два килограмма аммо­ фоса — смотрите, я отмечаю эту точку на вертикальной оси! — или четыре килограмма нитрофоски — точка на горизонтальной оси! — или смесь, соответствующая любой точке прямой, которая соединяет две отмеченные точки.

—Но эта прямая не пересекает очерченную область!

—Да, за такие деньги нужной смеси не составишь.

—Не удвоить ли ставку?

—Давайте. У новой прямой будет уже не одна общая точка с областью допустимых значений.

—То есть можно обойтись и меньшими затратами?

—Да, если опустить прямую параллельно самой себе. Лучше всего так, чтобы она имела одну-единственную общую точку с областью допустимых значений. Эта точка — одна из вершин ломанной, которой очерчена область. В.смеси такого состава азота и фосфора столь­ ко, сколько нужно, а калия даже чуть больше. Но дешев­ ле уже ничего не придумаешь. Ну вот, позвольте вручить вам оптимальное решение: 250 граммов аммофоса и 4 килограмма 750 граммов нитрофоски. И все — за один

рубль тридцать две копейки.

—Лихо! Видать, такие смеси вам составлять не впе­

рвой.

—Нет, что вы — по части удобрений это мой первый опыт. Просто я долго занимался линейным программи­ рованием...

...Еще через несколько фраз разговор соседей вновь вернулся к аммофосу и нитрофоске, яблоням и сливам, окулировке и приживлению. Нам же хотелось бы про­ должить фразу, на которой мы оборвали речь матема­ тика.

311

Составлением смесей не исчерпывается круг задач линейного программирования. В него входят и транс­ портные задачи, когда перевозки необходимо вести с наименьшими затратами, и задачи об оптимальном рас­ ходовании ресурсов, планирования производства, со­ ставлении диеты...

Переменных, для которых нужно отыскать оптималь­ ные значения, в таких задачах бывают не две, как у нас, а много больше. Вместо чертежа на плоскости тогда возникает область в многомерном пространстве. Но если условия задачи выражаются уравнениями, в кото­ рых переменные лишь умножаются на постоянные коэф­ фициенты и складываются, на границе области допус­ тимых значений есть угловые точки, совсем как в знако­ мой нам задаче о смешивании удобрений. Аналогия подсказывает, что одна из таких точек и соответствует искомому оптимальному решению. Это действительно так. А уж перебрать такие точки обычно не составляет труда.

•

Кому не приходилось приводить подобные члены, решая задачки по алгебре?

...На бумаге длинной цепочкой, соединенные плюса­ ми и минусами, стоят иксы в разных степенях, с разными коэффициентами. Такие цепочки называются полинома­ ми. Приводить подобные члены приходится тогда, когда полиномы, например, складываются. Одна и та же сте­ пень икса в образовавшейся сумме может встречаться несколько раз. Коэффициенты всех таких слагаемых в этих случаях складываются — особо для каждой степе­ ни. Это и называется приведением подобных членов.

Попробуем взглянуть на описанное с высоты своих знаний о линейных пространствах. Не напоминает ли приведение подобных членов сложение векторов? Ко­ нечно, напоминает: коэффициенты при одинаковых сте­ пенях икса складываются так же по отдельности, как соответствующие компоненты векторов при их сложе­ нии.

312

(2х2 - 5х + 3) + (Ах2 + Зх - 1) = (2 + 4)х2 + (-5 + 3)х +

+ (3 - 1) = 6х2 - 2х+ 2

А-умножение полинома на число? Оно, как известно, сводится к умножению на число коэффициента при каждой степени по отдельности — стало быть, делается по тем же правилам, по которым на число умножается вектор.

3(2х2 + 4х + 5) = (3 2)х2 + (3 4)х + (3 5) =

= 6х2 + 12х + 15

Итак, линейное пространство полиномов? Да. Размерность? В каждом конкретном случае она, оче­

видно равна максимально возможному числу слагаемых в полиномах, о которых идет речь. Например, все ли­ нейные функции (включая функцию-константу) образу­ ют двумерное пространство, а если добавить к ним квадратные трехчлены, получится трехмерное про­ странство, а если добавить к ним еще и кубические полиномы — четырехмерное..; Приплюсовали к полино­ му новую, на единицу более высокую степень — размер­ ность пространства увеличилась на единицу, добавили еще одну степень — размерность опять повысилась...

Но ведь так ее можно увеличивать неограниченно! Какова же размерность пространства всех мыслимых полиномов?

Так мы приходим к представлению о бесконечномер­ ном пространстве, играющем важную роль в математи­ ческой физике, квантовой механике и других дисципли­ нах.

МЕТРИЧЕСКОЕ

ПРОСТРАНСТВО

—Невдалеке от города Боголюбово, среди заливных лугов, стоит всемирно прославленный храм Покрова на Нерли — шедевр древнерусского зодчества.

—Картины Пикассо «голубого периода» близки друг другу своим колоритом.

—Мясо морского гребешка по вкусу отдаленно напо­ минает крабы.

«Близкий», «далекий» — эти понятия носят отчетливый пространственный характер. Между тем только первая

из приведенных фраз имеет прямой геометрический смысл. Правда, построенные нами раньше кофейная диаграмма и цветовой фунтик напоминают, что про­ странственные представления уместны и в учении о цветах, и в кулинарной рецептуре. Но знают ли об этом те, кто произносят фразы, приведенные нами в начале отрывка, столь естественные по своему звучанию? Вряд ли.

Это наводит на мысль, что понятие расстояния можно вводить в таких множествах, о которых неизвестно, представляют ли они собой линейные пространства.

Дальний родственник. Близкий друг, Близкое по зву­ чанию. Близок по форме, но далек по содержанию. Такие выражения встречаются в нашей речи сплошь да рядом.

Как понимать близость в этих случаях? Как измеряют расстояние между друзьями, родственниками, звуча­ ниями, формами? Кто ближе — деверь или племянник? Какую меру близости здесь можно предложить?

Авот фразы, за которыми стоят вещи посерьезней.

—Химический реактор работает в режиме, близком

коптимальному.

—Спутник выведен на орбиту, близкую к круговой. Здесь успех дела решает расчет и потому здесь на­

стоятельно необходимы четкие количественные крите­

314

рии близости. Но близость в этих случаях не измеришь штангенциркулем.

Похожа ли эта фигура на окружность? Можете ли вы представить в виде такой линии орбиту спутника, близкую к круговой? Конечно нет! Отклонения от окруж­ ности достигают здесь почти половины радиуса. А с дру­ гой стороны, разрежьте по­ полам яблоко, и вы увидите на срезе как раз ту фигуру, которая здесь изображена. Но ведь яблоко — это почти

шар, а следовательно, каждое его сечение — почти круг. Итак, далеко от окружности, но близко к кругу. Пара­ докс? Отнюдь нет. Просто две разные меры близости. Если мерить близость этих двух линий их максимальным расхождением, то они действительно весьма несходны. Ёсли же сравнивать площади, ими ограниченные, то они

весьма близки друг другу.

Вот уже поистине «далекое — близкое»!

—Да это недалеко — десять минут ходу.

—Совсем близко — полторы остановки на трамвае.

—Почти рядом — пятьдесят копеек на такси.

Всюду здесь речь идет о расстоянии в самом прямом смысле слова. Как видим, мы часто измеряем его не только километрами. Способов измерения расстояния много — вплоть до «холодно — теплее — горячо» в дет­ ской игре, где нужно найти спрятанный предмет.

Как же смотрит математика на такое разнообразие? Наука предельно строгая, неужели она соглашается с тем, что каждый волен придумывать свою меру рассто­ яния? Да, пожалуйста. Рассматривая некоторое множе­ ство элементов, можно (и даже нужно!) так определить расстояние между элементами, чтобы это наиболее со­ ответствовало существу дела.

315

Множество, для каждой пары элементов которого определено число, называемое расстоянием, именуется метрическим пространством. Элементы метрического пространства называют его точками. Определение рас­ стояния — метрикой. Как только что говорилось,. оно может быть каким угодно.

Однако полную свободу в выборе меры близости и дальности математика все же ограничивает с .трех сто­ рон. Существуют три аксиомы расстояния, три метри­ ческие аксиомы, как их еще называют.

Расстояние между любыми несовпадающими точками метрического пространства есть число положительное, а между совпадающими — равно нулю.

Для любой пары 'точек метрического пространства расстояние от одной до второй равно расстоянию от второй до первой.

Для любой тройки точек метрического пространства расстояние от первой до второй плюс расстояние от второй до третьей всегда больше или равно расстоянию от первой до третьей. Это — так называемое неравен­ ство треугольника. Оно становится особенно нагляд­ ным, если мыслить точки метрического пространства точками плоскости: сумма двух сторон треугольника больше'третьей. Правда, если треугольник сжать в от­ резок так, чтобы одна из его вершин легла на противо­ положную сторону, то сумма двух сторон будет в точ­ ности равна третьей. Но ведь мы не зря употребили выражение «больше или равно», объединяющее все мыслимые случаи!

Ничего надуманного в этих трех аксиомах нет. Они естественным образом возникли из повседневной прак­ тики измерения расстояний.

Первая аксиома означает, что, переходя от точки к точке, вы всегда удлиняете свой путь. А пока вы еще не тронулись с места, пройденный путь остается прежним.

Вторая устанавливает равенство путей туда и обрат­ но. Шел ли Счастливцев из Вологды в Керчь, пришел ли Несчастливцев из Керчи в Вологду, расстояние они преодолели одинаковое.

А последняя значит, что окольный путь всегда длиннее прямого.

316

Введем попутно важный термин. Совокупность точек метрического пространства, расстояние которых от дан­ ной меньше некоторого указанного числа, называется окрестностью данной точки, а указанное число — разме­ ром окрестности.

В рамках таких представлений фраза «химический реактор работает в режиме, близком к оптимальному» приобретает вполне точный смысл, если определена мера близости режимов, расстояние между ними. Мно­ жество режимов работы реактора тогда становится мет­ рическим пространством. Точка этого пространства, со­ ответствующая установившемуся режиму, лежит в неко­ торой окрестности точки, соответствующей оптималь­ ному, — вот что означает закавыченная фраза.

•

Если телеграмма, которая сообщает вам о чьем-то прилете, начинается со слова «выметаю» или «выле­ заю», то вы лишь посмеетесь опечатке или слегка руг­ нете телеграфистов за небрежноЬть, но в тупик отнюдь не встанете. Ошибка в одной букве легко исправима по смыслу фразы: «вылетаю».

Но ведь опечатка могла вкрасться и в дату вылета и в номер рейса! Ошибка в одной лишь цифре способна сделать смысл сообщения невосстановимым.

Ну, а если подобный сбой произошел при передаче сигналов, управляющих сложным станком, эксперимен­ тальной установкой, космическим кораблем?

Можно ли придумать такой способ кодирования ин­ формации, чтобы не слишком частые ошибки не иска­ жали ее смысл, не приводили к неразрешимым зада­ чам?

Казалось бы, вряд ли. А между тем специалисты по кибернетике не только ставят такую проблему, но и предлагают пути ее решения.

Один из таких путей мы проследим, конструируя ус­ тойчивый к ошибкам код для передачи обыкновенных буквенных текстов — скажем, тех же телеграфных сооб­ щений.

317

В кибернетике при передаче информации широко используются своеобразная морзянка, состоящая из нулей и единиц Представьте, что буквы русского алфа­ вита шифруются нулями и единицами, объединяемыми в комбинации определенной длины. Представьте далее, что при передаче каждой такой «буквы» один из нулей может превратиться в единицу или наоборот Что нужно предпринять, чтобы при этом каждая буква оставалась узнаваемой?

Пусть каждая буква передается комбинацией из трех знаков Разбор столь простого случая позволит нам наметить удачное решение поставленной проблемы, хотя алфавит пока получается небогатый — всего из восьми «букв»:

000 001 010 011 100 101 110 111 А теперь строчку, состав­

ленную формальным перебо­ ром возможностей, изобра­ зим в виде пространственной фигуры. Возьмем трехмерную систему координат (по числу знаков в «букве») и отметим в ней восемь точек, абсциссы которых совпадают с первы­ ми значениями наших «букв», ординаты — со вторыми, апп­ ликаты — с третьими. Эти точки расположатся по вер­ шинам куба.

Построенный нами куб позволяет наглядно предста­ вить те ошибки, которые могут случиться при передаче каждой «буквы». Вот, скажем, «буква» 000, образом которой у нас служит начало координат. Замена любого нуля единицей — это сдвиг в одну из трех соседних вершин. Очевидно, от употребления букв, расположен­ ных в этих вершинах, следует отказаться: ведь их можно принять за искаженные облики «буквы» 000.

Поищем теперь такую «букву», искаженные образы которой не совпадали бы с разновидностями «буквы» 000. Очевидно, это 111 и никакие варианты тут невоз­ можны .

318

Все возможности исчерпаны. Алфавит из восьми трехзначных «букв» с учетом разового сбоя при переда­ че каждой сокращается всего до двух: 000 и 111.

Но в русском алфавите не две, а тридцать две буквы! И если мы хотим применить тот же прием кодирования, гарантирующий от однократной ошибки, мы должны изображать буквы в виде более длинных комбинаций нулей и единиц.

Искать среди них такие, спутать которые не заставил бы разовый сбой, будет сложнее, чем среди трехзнач­ ных. И все-таки нельзя сказать, что поиск придется вести совершенно вслепую. Как и при разборе трехзнач­ ного алфавита, мы будем представлять все мыслимые комбинации нулей и единиц вершинами многомерного куба. А для них критерий отбора уже сложился по ходу предыдущих рассуждений: пригодные для дела верши­ ны многомерного куба должны располагаться друг от друга достаточно далеко.

Если определять расстояние между ними числом, ребер, образующих кратчайшую дорогу от одной вер­ шины до другой, то это расстояние, очевидно, дрлжно составлять по меньшей мере три. Так оно, кстати, и было для трехзначных «букв» 000 и 111 — посмотрите еще раз на рисунок, убедитесь,

Нетрудно проверить, что такое определение расстоя­ ния согласуется с метрическими аксиомами — и первой, и второй... Что же касается третьей, аксиомы треуголь­ ника, то удовлетворяется и она. Действительно, распо­ ложим вершины треугольника по каким угодно верши­ нам нашего многомерного куба. Сумма двух сторон треугольника — это длина дороги от одной вершины до другой с заходом в третью. А такая дорога не может быть короче третьей стороны треугольника, поскольку т!а со­ гласно определению представляет собой самый корот­ кий путь от одной вершины до другой по ребрам много­ мерного куба.

Принятое нами определение расстояния оказывается удачным. Оно позволяет достаточно быстро осматри­ вать кубы все большего числа измерений и, наконец, остановиться на десятимерном. Теория утверждает: пользуясь десятизначными комбинациями нулей и еди­

319

ниц, можно передавать алфавит русских букв, не боясь однократных опечаток в каждой.

•

Таня дружит с Петей и Ваней еще со школьной скамьи. И Петя и Ваня неравнодушны к Тане и связывают с ней свои мечты о семейном счастье. Поэтому отношения между Петей и Ваней более чем прохладные.

Любопытно, что этот вариант классического треуголь­ ника парадоксален с точки зрения геометрических ка­ нонов. Действительно, в плане дружеских отношений Петя и Таня достаточно близки; столь же близки Таня и Ваня. Иными словами, две названные стороны треуголь­ ника невелики. Третья же сторона, учитывая антагонизм интересов Пети и Вани, огромна и заведомо превышает сумму двух других сторон.

Итак, в классическом треугольнике не выполнена одна из метрических аксиом — аксиома треугольника.

Вот и получается, что в плане человеческих взаимо­ отношений расстояния между Таней, Петей и Ваней не удается определить, не нарушая при этом аксиомы рас­ стояния. А поскольку они должны соблюдаться для любых элементов метрического пространства, разо­ бранное нами пространство не является метрическим.

Этот пример носит предостерегающий характер. Выше мы уже говорили, что расстояние в одном и том же абстрактном пространстве можно определять раз­ личными способами. Сама возможность определить расстояние при этом не подвергалась никакому сомне­ нию. И вот мы столкнулись со случаем, когда способ измерения близости и дальности вступил в противоре­ чие с одной из метрических аксиом — неравенством треугольника.

Возможны и другие конфликты с метрическими акси­ омами: например, по улицам с односторонним движе­ нием дорога «туда» может оказаться неодинаковой по длине с дорогой «обратно».

Все это учит нас, определяя расстояние в абстракт­ ном пространстве, тщательно проверять, насколько

320