книги / Математика без формул

между точками вычисляются по Пифагорову рецепту, а скалярное^произведение векторов выражается суммой попарных произведений их соответственных компонент. Раздел математики, в котором исследуются свойства такого пространства, называется эвклидовой геомет­ рией. Именно ее изучают в школе.

Это самая простая разновидность эвклидова про­ странства. Наиболее существенная его особенность, из которой проистекают другие характерные свойства, за­ ключается в том, что каждая пара его различных базис­ ных векторов в скалярном произведении дает нуль: если же скалярно умножить любой базисный вектор на себя, получится единица.

Такой базис называется ортонормированным. Как в нем возникает знакомая нам простая формула скаляр­ ного произведения векторов (сумма попарных произве­ дений соответственных компонент), без труда докажет любитель математических выкладок. Нужно лишь пред­ ставить каждый из обоих векторов его разложением по базису, а затем почленно перемножить слагаемые обоих разложений. Таким же путем, скалярно умножая какойлибо вектор на себя, можно вывести Пифагорову фор­ мулу для его длины, а затем и для расстояния между точками эвклидова пространства.

Но это, повторяем, простейший случай. Если же гово­ рить вообще, линейное пространство по-разному можно превратить в эвклидово — смотря, как определить ска­ лярное произведение. Нечто подобное мы наблюдали, едва начав разговор о метрическом пространстве. Так мы называли пространство, где в соответствий с метри­ ческими аксиомами определено расстояние между точ­ ками. Мы сразу отметили тогда, что способы определять расстояние могут быть различными.

331

Бравый солдат Швейк на своем замысловатом жиз­ ненном пути не избежал и сумасшедшего дома. Там от одного из своих новых знакомцев он услышал, что «внут­ ри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного».

Несуразно? Смешно? Ну, а если бы тот мыслитель из дома скорби заявил, что через куб можно протащить куб большего размера? Как отреагировали бы вы на это, читатель? Смеялись бы? Или увидели бы в полусума­ сшедшем утверждении формулировку математической задачи?

Желая внести ясность в непростое дело, воспользу­ емся понятием скалярного произведения векторов. Пользоваться им особенно удобно, если вектора заданы в ортонометрированном базисе. В нашей ситуации он напрашивается сам: за базисные вектора можно при­ нять ребра куба, исходящие из одной вершины, — на­ пример, ОМ; ON и ОР. Направим вдоль них оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

2

Отметим попутно, что своим выбором базисных век­ торов мы приняли за единицу масштаба длину ребер куба.

На ребрах куба пометим четыре точки А, В, С и О, отстоящие от вершин на расстоянии V4, как показано на

332

рисунке. От точки к точке последовательно проведем четыре вектора АВ, ВС, CD и DA. На рисунке они изо­ бражены стрелками.

Чтобы нарисованная нами фигура ABCD приняла окончательную математическую отчетливость, остается определить компоненты слагающих ее векторов. Нач­ нем с АВ. Заметим сразу: он протянулся вдоль ребра, по которому пролегает ось абсцисс, во всю его длину, Значит, первая компонента вектора равна единице: Х а в = 1. Но вектор АВ не параллелен оси абсцисс. Его конец несколько смещен вдоль оси ординат в положи­ тельном направлении и вдоль оси аппликат — в отрица­ тельном. Величина смещения и тут и там одинако­

ва: 1/4. Короче говоря, улв = Z A B = - Так выясняется

полный набор компонентов вектора АВ: 1, V4, - V4. Нам думается, что набор компонент следующего век­

тора ВС читатель составит уже сам: 0, % , - 3/4. Теперь все готово для подсчета скалярного произве­

дения векторов АВ и ВС. Поскольку они заданы в opjoнормированном базисе, искомый результат выражается суммой попарных произведений соответственных ком­ понент. Она выписана рядом с рисунком. .

В итоге суммирования у нас получился нуль. А это однозначный признак того, что вектора AS и ВС взаимно перпендикулярны. Так же можно проверить взаимную перпендикулярность векторов ВС и CD, CD и DA, DA и AS. Выходит, что фигура ABCD — прямоугольник.

Определим длины его сторон. На нас опять работает скалярное произведение. Мы знаем: если скалярно по­ множить вектор на себя, получается квадрат его длины. Взгляните еще раз на выкладки рядом с рисунком и убедитесь, что длины векторов AS и ВС одинаковы.

Продолжив вычисления, приходим к выводу: у прямо­ угольника ABCD все стороны равны другу другу. Это квадрат.

Но равенство сторон — не самый главный сюрприз наших вычислений. Самое удивительное, что эти сторо­ ны по длине превышают единицу. Роль единичного от­ резка у нас играет ребро куба. Следовательно, стороны квадрата ABCD длиннее ребер куба! Всего на несколько сотьоц но длиннее.

333

Вы уже чувствуете, что сулит такое превышение? Пилите по этому квадратному контуру туннель и таскай­ те по. нему через свой куб туда-сюда куб большего размеоа

Невероятно, но факт! И убедить вас в этом на протя­ жении всего лишь полутора страниц помогло скалярное произведение.

Нелегкий путь прошли мы с вами, читатель, по разно­ образным пространствам. За красивой спиралью, кото­

334

рую мы нарисовали в фазовом пространстве, возникал стремительный баскетболист, ведущий мяч. В линейном пространстве, развернув цветовой фунтик, мы обнару­ жили все краски солнечного спектра. В метрическом пространстве мы научились правильно понимать теле­ грамму, переданную с ошибками.

Ивот теперь — пространство линейное метрическое

Спервых шагов по нему мы чувствуем себя, как странник, вернувшийся в родные края. Сквозь туман новых понятий проглядывают знакомые образы, слы­ шатся знакомые слова — расстояние, длина, угол...

Все это привычно нам еще со времен школьной гео­ метрии.

В таком сходстве нет случайных совпадений. Эвкли­ дово пространство школьной геометрии — это линейное метрическое пространство двух или трех измерений, смотря по тому, идет речь о планиметрии или стерео­ метрии. Так что предмет нашего рассказа, по существу, тот же, что и в школе. Только теперь у нас к нему другой подход: вместо треугольников и окружностей — иные образы, вместо циркуля и линейки — другие инструмен­ ты. И тому и другому на смену приходят числа.

С этих новых позиций содержание древней науки геометрии впервые было пересказано в книгах немец­ кого математика Германа Вейля «Пространство, время, материя» (1918 г.) и американского математика Джона фон Неймана «Математические основы квантовой меха­ ники» (1927 г.). Как свидетельствуют хотя бы названия обеих книг, их авторы отнюдь не ставили своей целью объяснить старое по-новому. Нет, они стремились со­ здать новые математические методы для решения на­ сущных проблем естествознания. Но то, что их подход позволил с новых позиций систематизировать старое богатство геометрии, свидетельствует, что новое зна­ ние не порывает с прошлым, а стоит на прочном фунда­ менте его завоеваний.

335

•

Рассказ об эвклидовом пространстве влечет за собой естественный вопрос: а что такое неэвклидово про­ странство? И почему его называют искривленным?

Прежде чем отвечать на такие вопросы, порассужда­ ем о том, какая бывает миллиметровка.

•

Канал Москва — Волга строился в сложных гидрогео­ логических условияхего трасса пересекает высокую Клинско-Дмитровскую гряду.

На диаграмме — рельеф канала. Выемки, насыпи, водохранилища, шлюзы... Однако с географическо-ма­ тематической точки зрения это прежде всего фигура на координатной плоскости. В рисунке линий, которыми расчерчена диаграмма, нетрудно опознать координат­ ную сетку, в цифрах, расставленных по краям разграф­ ленного прямоугольника, — масштабную разметку коор­ динатных осей.

Используя эту разметку, простым вычитанием можно определить, насколько каждый шлюз удален от сосед­ него, какой перепад высот .приходится преодолевать, перекачивая воду с одного уровня на другой.

А как быть, если потребуется измерить расстояние между точками, не лежащими на одной горизонтали или одной вертикали?

Измеряя расстояние между точками на координатной плоскости, мы до сих пор использовали два стандартных

336

приема — либо прикладывали к этим точкам мерную линейку, либо применяли теорему Пифагора, предвари­ тельно определив, насколько разнятся абсциссы и ор­ динаты обеих точек Искомое расстояние получалось как корень квадратный из суммы квадратов этих разностей

Первый прием на сей раз, очевидно, неприменим Ведь единицы, отложенные по осям графика, различны по горизонтали — километры, по вертикали — метры А вот второй прием использовать можно. Нужно только слегка усовершенствовать пифагорову формулу. Преж­ де чем возводить в квадрат и складывать разности абсцисс и ординат, их нужно выразить в единой мере Скажем, в метрах Для этого разность абсцисс следует умножить на тысячу А в пифагоровом выражении, где она возводится во вторую степень, перед ней следует поставить множителем миллион, вторую степень тыся­ чи.

Подобные множители, стоящие перед однотипными слагаемыми какой-либо суммы, называются весовыми коэффициентами

Итак, усложнив пифагорову формулу весовыми коэф* фициентами, мы сможем принять ее для измерения расстояний на разграфленной бумаге с какими угодно nycTti даже неравными масштабами по осям.

Впрочем, разграфленная бумага бывает и более сложных фасонов. Вот образец так называемой лога­ рифмической миллиметровки. Здесь оси проградуиро­ ваны неравномерно. Одному и тому же сдвигу в различ­ ных участках сетки соответствуют различные прираще­ ния координат (обозначенные на чертеже через dx и dy) Это придает еще большую сложность пифагоровой фор­ муле, выражающей расстояние между точками через их координаты: весовые коэффициенты зависят от того места на координатной плоскости, где определяется расстояние.

А ниже образец разграфленной бумаги для приборовсамописцев со стрелкой на оси. В силу самой конструк­ ции прибора линии сетки искривлены. Соединив две какие-либо точки на бумаге сначала напрямую, а потом по линиям сетки, мы получим уже не прямоугольный треугольник, как в прежних случаях, а косоугольный. Здесь уже не воспользуешься теоремой Пифагора1

337

здесь квадрат расстояния между точками не равен сумме квадратов смещений по линиям сетки.

_ г-г— -2-----------	Но оказывается, что Пи-
,- у ь +с -2Ьс cosa	фагорову формулу можно

теорема

косинусов

усовершенствовать и для такого случая ценой еще одного усложнения: следу­ ет лишь приплюсовать под знаком корня к квадратам смещений их произведение

снекоторым коэффициентом. Он равен удвоенному косинусу угла между направлениями смещений, взятому

спротивоположным знаком (вот почему описанное со­ отношение, обобщающее теорему Пифагора на случай косоугольных треугольников, называется теоремой ко­ синусов). Поскольку в разных участках сетки ее линии пересекаются под разными углами, весовой коэффици­ ент при новом слагаемом также будет зависеть от того места на координатной плоскости, где определяется расстояние.

Следует подчеркнуть, что переменность весовых ко­

эффициентов усложненной пифагоровой формулы весьма ограничивает ее применимость: с ее помощью можно мерить расстояния лишь между достаточно близ­ кими точками. Иначе не избавиться от логического изъя­ на, который заметен во фразе «весовые коэффициенты зависят от места, где определяется расстояние». Место на координатной плоскости мы привыкли указывать парой координат. От какой же из двух точек, между которыми измеряется расстояние, позаимствовать эту пару? Возьмем от одной — получим один результат, возьмем от второй — получим другой. Разница между обоими результатами будет пренебрежительно малой лишь в том случае, если точки будут достаточно близки.

Ну, а если потребуется определить расстояние между двумя не такими уж близкими точками? Путь от одной до другой придется тогда промерить достаточно малы­ ми шажками, величина которых определяется допусти­ мой погрешностью измерений. Если же требуется точ­ ный результат, то шажки нужно выбирать все мельче и мельче и за искомое расстояние взять предел, к кото­ рому стремятся получаемые раз за разом величины.

338

(Сведущий читатель, конечно, узнает в этом процессе процедуру интегрирования).

Тут, правда, есть один нюанс: расстояние, определяе­ мое таким способом, зависит от пути, вдоль которого оно измеряется. Какой же из всех возможных результа­ тов принять за искомое расстояние между точками? Наименьший — так принято считать. А кратчайший путь между точками принято называть геодезической ли­ нией. Стоит заметить, что по линиям координатной сетки она может пройти отнюдь не прямолинейно.

Расстояние между близкими точками называют эле­ ментом расстояния и обозначают ds. Здесь s — тради­ ционное обозначение пути, a d — традиционный символ малости, — напоминает, что идти по этому пути следует мелкими шажками.

Опыт работы С разграфленной бумагой поможет нам углубить наши знания о метрических пространствах.

Обратимся еще раз к фазовой диаграмме, точками которой мы изображали режимы работы химического реактора. Мы говорили: близость одного режима к дру­ гому соответствет тому, что одна точка на диаграмме попадает в достаточно малую круговую окрестность дру­ гой.

Не насторожило ли тогда вас, читатель, слово «круго­ вая»? Образ круга естествен, когда говорят о точках, которые по любому направлению удалены от централь­ ной на расстояние, не превышающего заданного. Но такое представление естественно лишь в тех случаях, когда все направления в пространстве равноправны. Справедливо ли это для нашей фазовой диаграммы? Разве прирост температуры в реакторе на один градус равнозначен приросту давления в нем на одну атмосфе­ ру? Скорее всего, нет. Допустимое отклонение от опти­ мальной точки диаграммы по горизонтальной оси может оказаться иным, чем по вертикальной; И тогда допусти­ мая окрестность оптимальной точки, которая прежде представлялась нам круговой, теперь примет вид эллип­ са. Если же мы захотим определить расстояние между

340