Гайнуллин часть2

§ 2. Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

(См. §гл.V (стр 136))

Рассмотрим функцию у=sinх на отрезке − π ≤ x ≤ π , где она монотонно

2 2

возрастает, непрерывна и областью ее изменения является отрезок [−1,1]. Поэтому для этой функции существует обратная функция, которая определена, непрерывна и монотонно возрастает на отрезке −1≤ y ≤1, принимая

все значения из отрезка − π ≤ x ≤ π . Эту функцию обозначают следующим

22

образом: х = arcsinу. Для удобства, меняя местами х и у, записывают: у = arcsinx.

Итак, у=arcsinx—это функция, определенная на отрезке −1≤ x ≤1, где .

− π ≤ y ≤ π .
2	2
	Для любого х из отрезка −1≤ x ≤ 1 имеем:
	− π ≤ arcsin x ≤ π ;		(1)
	2	2
	sin(arcsin x)= x .		(2)

Рассмотрим функцию у = cosx на отрезке 0 ≤ x ≤ π , где она монотонно убывает, непрерывна и областью ее изменения является отрезок [−1,1]. Поэтому для этой функции существует обратная функция, которая определена, непрерывна и монотонно убывает на отрезке −1≤ y ≤1 , принимая все значения из отрезка 0 ≤ x ≤ π . Эту функцию обозначают х=arccos у, или, меняя х и у, у=arccos x. Она определена на отрезке −1≤ x ≤ 1 и является обратной для функции х=cosу, где 0 ≤ y ≤ π .

Таким образом, записи у =arccos х и х = cos у (0 ≤ y ≤ π ) равносильны. Для любого х из отрезка −1≤ x ≤ 1 имеем:

0 ≤ arccosx ≤ π ;		(3)
cos(arccos x) = x .		(4)
Функция у = tg x возрастает на интервале − π ≤ x ≤ π		,непрерывна и
2	2

принимает на нем все действительные значения.

Обратную функцию для у = tg х, где − π ≤ x ≤ π , обозначают у = arctgx.

2 2

Таким образом, записи у =arctg х и х= tg у (− π ≤ y ≤ π ) равносильна.

2 2

Для любого х имеем:

− π ≤ arcctgx≤ π		;	(5)
2	2
tg (arctgx ) = x .			(6)
	107

0 < arcctgx < π ;

Функция у = ctg x убывает на интервале 0 < x < π , непрерывна и принимает на нем все действительные значения. Обратную функцию для у = ctg х, где 0 < x < π , обозначают у = arcctg x.

Таким образом, записи у = arcctg х и х=ctg у (0 < y < π ) равносильны. Для любого х имеем:

(7)

ctg(arcctgx) = x . (8)

Функции у=arсsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x называются обратными тригонометрическими функциями или арк-функциями.

Отметим некоторые важные тождества:

arcsin(−x) = − arcsin x,(−1≤ x ≤ 1) , arccos(−x) = π − arccos x,(−1≤ x ≤1), arctg(−x) = −arctgx ,

arcctg(−x) = π − arcctgx .

Перейдем теперь к рассмотрению примеров.

Пример 1. Упростим выражение cos (arcsin х), где −1≤ x ≤ 1. Решение. Положим arcsin x = у.

Тогда sin у = х (− π ≤ y ≤ π ). Нужно найти cos у.

22

Известно, что cos2 у = 1– sin2 у. Значит, cos2 у = 1 – х2. Но − π ≤ y ≤ π , а

2 2

на этом отрезке косинус принимает неотрицательные значения. Таким образом, cos y = 1− x2 , то есть

cos(arcsin x) = 1− x2 , где −1≤ x ≤ 1.

Пример 2. Упростим выражение cos(2arcsin x).

Решение.

cos(2arcsin x)= cos2 (arcsin x)− sin2 (arcsin)=1− x2 − x2 =1− 2x2 .

Пример З. Упростим выражение sin(arctg x). Решение. Положим arctg x = y.

Тогда

	−	π	< y <	π
tgy = x					.
		2		2

1

Нужно найти cosу. Известно, что cos2 y = 1+ tg2 y

Но − π ≤ y ≤ π , а на этом интервале косинус

22

.

принимает лишь поло-

жительные значения. Поэтому

1

cos y = , то есть

1+ tg2 y

	cos(arctgx)=	1			.
		1+ x2
	108

	Так как	sinу = tgуcosу, то sin(arctgx)=																				x
																					1+ x2
	Пример 4. Вычислим
									1												−		3
					sin						arcctg															.
									2														4
	Решение. Пусть arcctg(−				3	)= α					. Тогда ctgα = −																										3	и	0 <α < π (точнее,
					4
																																			4
	π < α < π , ведь ctgα < 0 ). Нужно вычислить sin																									α . Имеем: tgα = −																4	.
	2																									2															3
					1												, находим cos2 α =																						9
	Используя формулу 1+ tg2α =																																								. Но по усло-
									cos2 α																														25
	вию π < α < π , а в этом интервале , cosα < 0																							следовательно, cosα = −																				3	.
	2																																								5
	Далее,
				sin α = ±										1− cosα									= ±								2					.
					2												2												5
	Но π < α < π , а в			этом	интервале синус																														принимает						только поло-
	4	2	2
	жительные значения.			Таким образом,
						1														3									2
				sin				arcctg									−					=													.
						2														4									5
	Пример 5. Вычислим arccos cos−											17			π		.
													5
	Решение. Мы не имеем права здесь написать
														−	17			π						= −					17						π.
				arccos cos
															5														5
	Это будет неверное равенство, так как арккосинус не может иметь

значения, равного −		17		π		. Поэтому, как и в предыдущих примерах, вве-
		5
дем обозначение.
						17
Положим arccos cos					−			π = y .
						5
		17
Тогда cos y = cos	−				π и 0 ≤ y ≤ π . Имеем:
		5

		17					3			3
cos	−			π	= cos	− 4π +		π	= cos		π .
		5					5			5

Таким образом, cos 3π = cos y ,

5

и поскольку 0 < 3π < π , то y = 3π .

55

109

Упражнения

Вычислите (586-602). 586.

			3			+ arctg(−1)+ arccos	1
2arcsin	−									+
		2					2

+1 arccos(−1).

2

								3								1					3
587.														−
	tg		5arctg															arcsin
							3									4			2
																			1
							3 +
588.	sin 3arctg															2arccos				.
																			2
														3								1
589.	cos			3arcsin													+ arccos			−
												2										2
590.							π
	arccos cos											.
							4
591.	arctg(tg0,3π ).
							7
592.	arcsin				−sin									π			.
							3
					− cos						3π
593.	arccos																.
														4
							2π
594.	arctg −tg													.
							5

595.

				46π
arcsin sin	33π		+ arccos cos		.
	7
				7

596.

					13π																											19π
arctg −tg									+ arcctg ctg																					−							.
					8
																																		8
	1
																			2			2
597.	sin							arcsin −																	.
	2																			3
598.	1								5
	tg					arcsin											.
	2										13
		1														−				4
599.	ctg							arccos														.
		2																		7
600.	sin arctg									8			− arcsin													8			.
									15
																									17
601.	cos 2arctg										1				+ arccos												3	.
									4
																											5
																5																5
602.	sin 2 arcsin																				− arccos															.
																3																3

Упростите выражения (603-613):

603.	cos(arccos х + arccos y).	610.	sin(2arcсtgх).
604.	sin(arccos x + arcsin y).	611.	cos(2arcсtgх).
605.	tg(arctgх + arctgу).				1
	tg(arcsin х + arcsin у).	612.	cos				arccos х .
606.					2
607.	sin(2arcsin х).		1
		613.	tg			arctgх .
608.	tg(2arctgх).		2
609.	cos(2arctgх).

§ 3. Решение тригонометрических уравнений

Напомним основные сведения. Пусть дано тригонометрическое уравнение F(x) = 0. Значение переменной х, при котором F(x) = 0,— верное числовое равенство, называют частным решением уравнения, а множество всех частных решений — общим решением (или просто решением) уравнения. Общее решение записывают обычно в виде семейства частных решений с помощью некоторого параметра, принимающего, если не сделано оговорок, любые целые значения.

110

tgx2 = 0

Приведем формулы общих решений простейших тригонометрических уравнений:

Уравнения	Решения
sinx=a, |a|≤1	x=(-1)narcsin a+πn, n Z
cosx=a, |a|≤1	x=±arccos a+2πn, n Z
tgx=a	x=arctg a+ πn, n Z
ctgx=a	x=arcctg a+ πn, n Z

Отметим особо некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

	-1	0	1
sinx	− π + 2πk , k Z	πk , k Z	π + 2πk , k Z
	2		2
cosx	π + 2πk , k Z	π + πk , k Z	2πk , k Z
		2
tgx	− π + πk , k Z	πk , k Z	π + πk , k Z
	4		4
ctgx	− π + πk , k Z	π + πk , k Z	π + πk , k Z
	4	2	4

Если общее решение не удается записать с помощью одного семейства частных решении или эта запись получается громоздкой, то оно записывается в виде совокупности семейств (при этом желательно, чтобы в записи каждого семейства использовался свой параметр). Так, общее решение уравнения sin3x = 0 записывается в виде одного семейства частных реше-

ний х = π k ( k Z) а общее решение уравнения				sin3xcos x = 0 записывается в
3
виде совокупности двух семейств: х	= π k,	х	2	= π + π n, n,k Z.
1	3			4	2

Заметим, что во всех рассмотренных уравнениях параметры, использованные в записи общих решений, принимали любые целые значения, и потому мы, как условились выше, не отмечали каждый раз, что k, п = 0, ±1, ±2, ... . Но иногда бывает необходимо выписывать значения, которые может принимать параметр. Так, из уравнения получаем х1,2 = ±πn ,

где п = 0, 1, 2, ... (в таких случаях перечисление обязательно, так как параметр не может принимать любых целых значений).

При записи общего решения обычно стремятся к тому, чтобы оно не содержало повторяющихся (кратных) частных решений. Так, решение

111

уравнения sin2 х = 0 записывают в виде

х =πk , n Z. (а не х

= πк ,k Z), а

1,2

общее решение уравнения sin3xsin 2x = 0

лучше записать в виде такой сово-

купности

семейств:

х

= π k,k Z , х

= π +πn ,n Z

(а не х

= π k ,k Z ,

1

3

2

2

1

3

х

2

= π n,n Z ,так как в этой записи первое и второе семейства содержат

2

кратные

решения

вида

πm , m Z ).

Впрочем,

решение

уравнения

sin3xsin 2x = 0 можно записать и по-другому: х

= ± π + πk , х

= π n, k,n Z

1

3

2

2

(здесь повторяющиеся частные решения исключены не из второго решения, а из первого). Наконец, общее решение рассматриваемого уравнения можно записать (с указанием значений параметров) в виде совокупности

х	= π k , х		= π n, где k= 0, ±1, ±2, ... , п = ±1, ±3, ±5, ...
1	3	2	2

Рассмотрим еще уравнение cos xsin5xsin 2x = 0 . Общее решение его записывается в виде следующей совокупности семейств частных решении:

х	= π + πk , х		= πn ,	х	= πl , k,n,l Z . Однако нетрудно заметить (изобра-
1	2	2	5	3	2

зив, например, эти решения точками числовой окружности), что часть решений третьего семейства (при нечетном l) содержится в первом семействе и часть (при четном l) — во втором семействе. Но тогда общее решение целесообразно записать короче (без кратных решений):

х1 = π + πk, х2 = πn , n,k Z .

2 5

В некоторых случаях полученные семейства частных решений удается объединить в одно семейство. Так, из уравнения

			π			3					2
	cos x +			tg +				x	(sin			х −1)= 0
			3		3
получаем: х	= π + πk,	х = − π +πn, х								= π + πl, k,n,l Z .
1	6	2		6	3					2

Эти три семейства могут быть объединены в одно: х = π + π m, m Z.

6 3

Напомним, в каких случаях обязательна проверка найденных реше-

ний.

Проверка необходима:

1)если в процессе решения произошло расширение ОДЗ в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателей, сокращение дроби, приведение подобных членов); выше мы уже рассмотрели два уравнения, где освобождение от знаменателей привело к появлению посторонних решений;

112

2)если в процессе решения уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень;

3)если при решении применялись неабсолютные тригонометрические тождества, т. е. тождества, левая и правая части которых имели неодинаковые области определения; например,

2tg α			1− tg2 α			2tg α		= tgα, tgαctgα =1,	1− сosα	= tg α
	2	= sinα,		2	= cosα,		2
	2 α			2 α			2 α		sinα
1+ tg			1+ tg			1− tg				2
	2			2			2

и др.

Использование этих тождеств «слева направо» приводит к расширению ОДЗ уравнения, а значит, могут появиться посторонние корни; использование же этих тождеств «справа налево» ведет к сужению ОДЗ уравнения, что, вообще говоря, недопустимо, так как может привести к по-

	2tg	х
тере корней. Так, замена в уравнении sin х на	2					приводит к сужению
	1+ tg2			х
				2

ОДЗ и может привести к потере решений х = π + 2πk , k Z . Приведем еще один пример, иллюстрирующий потерю решений при использовании неабсолютного тождества.

Рассмотрим уравнение

	π		= 2ctgх −1.					(3.1)
tg х +
	4
Имеем:
		π				tgx +1
tg х +				=			,	(3.2)
					1− tgx
		4

ctgx =

1

.

(3.3)

tgx

Тогда уравнение (3.1) преобразуется к виду

tgx +1

=

2

−1.

1− tgx

tgx

Положив tgx = у , получим:

у +1

=

2

−1

1− у

у

откуда находим y =

1

, т.е. tgx =

1

, и , следовательно,

2

2

х = arctg 1 + πn, n Z. 2

Это семейство удовлетворяет уравнению (3.1).

Однако нетрудно заметить, что значения х = π +πk , k Z также

2

удовлетворяют уравнению (3.1). Причина потери решений —применение

113

неабсолютных тождеств (3.2) и (3.3). Замена выражения

π

выра-

tg х +

4

tgx +1

1

жением

, так же как и замена выражения ctgx выражением,

су-

1− tgx

tgx

жает ОДЗ

уравнения

(3.1), а именно из

ОДЗ «выпадают»

значения

х = π +πk,

k Z . Они-то и оказались в данном случае «потерянными» ре-

2

шениями уравнения (3.1).

В заключение напомним основные сведения о двух общих методах,

приводящих к упрощению тригонометрических уравнений вида F(х) = 0 : о

методе подстановки и методе разложения на множители.

Метод

подстановки заключается в

следующем. Пусть

функция

y = F(х) является суперпозицией функций

y = f (u) и u = ϕ(х) т. е. пусть

F(x) = f (ϕ(x)) .

Тогда уравнение F(х) = 0 можно

записать

так:

f (ϕ(x)) = 0.

Подстановка

ϕ(х) = и

преобразует уравнение

к более

простому виду

f (u) = 0 . Если

и1,и2,...,иn корни уравнения

f (u) = 0 , то задача сводится к

решению совокупности уравнений: ϕ(х) = и1,ϕ(х) = и2 ,...,ϕ(х) = ип .

Для

уравнений

вида R(sin x,cos x) = 0, где

R(sin x,cos x) рациональное

выражение от sin x,cos x удобно применять подстановку sin x = и (или подстановку cos x = и ). Для решения уравнений можно использовать универ-

сальную подстановку tg x = u . При решении однородных уравнений можно

2

пользоваться подстановкой tgx = z .

Метод разложения на множители также позволяет переходить от уравнения F(х) = 0 к совокупности более простых уравнений.

Пусть F(х) = f1(х) f2(х)... fи (x).

Тогда всякое решение уравнения F(х) = 0 является решением совокупности уравнений f1(х) = 0, f2 (х) = 0,..., fи (х) = 0. Обратное, однако, неверно: не всякое решение этой совокупности уравнений является решением уравнения F(х) = 0 , а именно из решений совокупности уравнению F(х) = 0 удовлетворяют те и только те значения х, которые принадлежат ОДЗ уравнения F(х) = 0 .

Рационализирующие подстановки. Рассмотрим уравнение

R(cos x,sin x,...) = 0,

рациональное относительно содержащихся в левой части тригонометрических функций. Если для выражения R известна рационализирующая подстановка, т. е. все входящие в него тригонометрические функции выражаются в виде рациональных функций от некоторого промежуточного аргумента t , то применение этой подстановки приведет к рациональному уравнению относительно t.

114

1)	Универсальной подстановкой t = tg	х	приводится к ра-
	2
циональному относительно t всякое уравнение
	R(cos x,sin x,tgx,ctgx) = 0,		(R)

рациональное относительно тригонометрических функций одного и того же аргумента х. Всякое (действительное) решение t = t1 уравнения

(R) (после подстановки) дает серию решений тригонометрического уравнения

х= 2arctgt1 + 2kπ , k Z .

2)Уравнение R(cos x,sin x) = 0 , содержащее cos x (или sin x ),

лишь в четных степенях рационализируется подстановкой t = sin x (или t = cos x ).

3) Уравнение

а

0

sinп х + а sinп−1 хcos x + а

2

sinп−2

хcos2

x +...+ а

п

cosп

x = 0

(1)

1

называется однородным тригонометрическим уравнением.

Случай 1. а0 ≠ 0.

1

Умножив обе части уравнения (1) на

, получим

cosп x

а tgпх + а tgп−1х +...+ а

п

= 0.

(2)

0

1

Так как

1

≠ 0,

то появление посторонних корней произойти не

cos x

может. Область определения уравнения (2) уже области определения уравнения (1), так как левая часть уравнения (2) теряет смысл при значениях

х = π + kπ , k Z , а левая часть уравнения (1) имеет смысл при всех значени-

2

ях х. Однако, ни одно из чисел π + kπ (k Z ) не удовлетворяет уравнению

2

(1); в самом деле, положив в (1) х = π + kπ (k Z ) ,получим противоречивое

2

следствие cosx = sin x = 0 . Следовательно, потери решений произойти не может, а потому уравнения (1) и (2) эквивалентны.

Случай 2. Несколько первых коэффициентов равно нулю а0 = а1 =... = ак−1 = 0; но ак ≠ 0;

В этом случае уравнение примет вид:

cosк х(ак sinп−к х + ак+1 sinп−к−1 хcos x +...+ ап cosп−к x) = 0;

оно эквивалентно совокупности двух уравнений: cosx=0 и sinn-k x+ak+1sinn-k-1xcosx+…+ancosn-kx=0,

первое из которых есть простейшее уравнение, а для второго имеет место случай 1.

Примечание. Однородное уравнение может быть сведено к алгебраическому подстановкой t = ctgx.

115

Разумеется, невозможно перечислить все приемы, которые применяются при решении тригонометрических уравнений и позволяют преобразовывать уравнение к некоторому «типовому». Умение находить такие

приемы приобретается практикой. Переходим к решению примеров. Пример 1. Решим уравнение

sec3 х − 8sec х − 7 = 0.

(1)

Решение. Положив sec х = у , придем к уравнению

у3 −8у − 7 = 0.

(1а)

Нетрудно найти целочисленный корень этого уравнения (среди делителей

свободного члена): у

= −1. Разделив многочлен

у3 −8у − 7 на у + 1, получим в

1

частном у2 – у- 7. Значит, уравнение (1а) можно переписать так:

(у +1)(у2 − у − 7) = 0 .

1±

Из уравнения у2

-у - 7 = 0 находим: у2,3

=

29

, Теперь задача све-

2

лась

к

решению

совокупности

уравнений:

sec x = −1,

sec x =

1+ 29

,

2

1−

sec x =

29

,

или,

поскольку

sec x =

1

к совокупности: cos x = −1,

2

cos x

cos x =

2

, cos x =

2

,

1+

1−

29

29

откуда получаем: x

= π + 2πn, x

= ±arccos

29 −1

+ 2πl ,

2

1

14

29 +1

x

= ±arccos

+ 2πk, (n,l,k Z)

(1б)

3

14

Так как в процессе решения уравнения (1) выполнялись только равносильные преобразования, то найденная совокупность семейств (16)

представляет собой решение уравнения (1). Пример 2. Решим уравнение

					8cos4 х = 3+ 5cos4x.				(2)
Решение. Выразим							cos4 х и cos4x через cos2x . Так как
cos2 х =	1+ cos 2х			,
2
то cos4			х =		1+ 2cos 2х + cos2 2х
								.
					4
Далее, из формулы 1+ cos4x = 2cos2 2х									получаем: cos4x = 2cos2 2х −1.
Теперь уравнение (2) можно преобразовать к виду
1			+ 2cos 2х + cos2 2			х	= 3+ 5(2cos2 2х		−1), или 2cos2 2х − cos 2x −1= 0 .
8
					4

Откуда cos2x =1,cos2x = − 1 . Из последней совокупности находим:

2

116