Гайнуллин часть2

	х + у =	π	+ 2πn, n Z	,
		6
		π
	х − у = + 2πk, k Z
		4

	х + у =	5π	+ 2πn, n Z,		х + у =	π	+ 2πn, n Z,
						6
		6
		π					π
	х − у = + 2πk, k Z
				х − у = − + 2πk, k Z
		4					4

	х + у =	5π		+ 2πn,n Z,
		6			(4.4)
		π
	х − у = − + 2πk,k Z.
		4

откуда находим:

х1

у1

х3

у3

=

5π

+ π (n + k),

х2

=

13π

+ π (n + k),

4

24

π

7π

= −

+ π (n − k)

у2

=

+ π (n − k)

24

24

= −

π

+ π (n + k),

х4

=

7π

+ π (n + k),

24

24

5π

+ π (n − k)

13π

+ π (n − k),где n,k Z.

=

у4

=

24

24

Эта совокупность семейств представляет собой решение системы (4.1). Конечно, такая запись не столь компактна, как запись решения в виде системы (4.3), но более наглядна, поэтому часто подобной записи отдают предпочтение.

Обратим внимание на одно обстоятельство: при переходе от системы (4.1) к системе (4.2) или к совокупности систем (4.4) мы использовали для записи решений первого уравнения системы (4.1) параметр n, а для записи решений второго уравнения системы – другой параметр – k. Употребление только одного параметра, например n, привело бы нас к потере решений: так, в этом случае из первой системы совокупности (4.4) мы получили бы

		х	′	=	5π		+ 2πn, n Z,
		1			4
			′			π
		у		= −				,
		1			24

а множество Z1’ пар вида (х1′, у1′) представляет собой собственное подмножество множества пар вида (х1, у1 ) , где

	х	=	5π		+ π (n + k),
	1		24
				π		+ π (n − k)
	у	= −					(n,k Z).
	1		24
Итак, Z′ Z1,Z′ ≠ Z1,		поэтому все					пары (х, у)	такие, что

(х, у) Z1 \ Z′ оказываются «потерянными» решениями.

Переходим к рассмотрению примеров. Пример 1. Решим систему уравнений

127

sin xsin y = 0,75,	(1)
tgxtgy = 3.

Решение. Разделив левую и правую части первого уравнения системы (1) соответственно на левую и правую части второго уравнения систе-

мы, получим уравнение cos xcos y =	1	. Заменив
4

уравнение системы (1) , получим систему:

sin xsin y = 3 ,4

cos xcos y = 1 .

4

этим уравнением второе

(1а)

равносильную системе (1).

Заменим теперь первое уравнение системы (1а) суммой уравнений этой системы, а второе уравнение – разностью второго и первого уравнений. Получим новую систему:

cos xcos y + sin xsin y = 1,
	1
cos xcos y − sin xsin y = −
	2

или

cos(x	− у)= 1,
				(1б)
cos(x	+ у)= −	1	,
	2
равносильную системе (1а). Из первого уравнения системы (1б) на-

ходим х − у = 2πn ,n Z второе уравнение системы (1б) равносильно сово-

купности уравнений

х + у = 2π + 2πk х + у = − 2π + 2πk, k Z

3 3

Таким образом, от системы (1б) мы перешли к совокупности систем

х − у = 2πn, n Z,					х − у = 2πn,		n Z,
	2π					2π	(1в)
х + у =		+ 2πk, n Z			х + у = −		+ 2πk, k Z,
	3					3
которая равносильна системе (1б). Из первой системы совокупности
(1в) находим семейство решений:
			х = π + π (k + n),
			1	3
			у = π		+ π (k − n), (n,k Z).
			1	3

Из второй системы совокупности (1в) находим семейство решений:

		х = − π + π (k + n),
		2	3
			π
		у2	= − + π (k − n),(k,n Z).
			3
				128

tg2u = 3tgu

Проверка. Так как в процессе решения выполнялись равносильные преобразования (это отмечалось в ходе решения), то совокупность семейств

	х = π		+ π (k + n),
	1	3
	у = π		+ π (k − n)
	1	3

		х	= − π + π (k + n),
		2	3
			π
		у2	= − + π (k − n) (k,n Z).
			3

является решением системы (1). Пример 2. Решим систему уравнений

	sin 2x + sin 2y = 3(sin x + sin y),						(2)
	cos2x + cos2y = cos x + cos y.
Решение. Перепишем систему (2) в виде
		2sin(х + у)сos(х − у)= 6sin		х + у		сos		х − у		,
			2				2
					х + у				х − у
		2cos(х + у)сos(х	− у)= 2сos				сos
			2				2
	х + у	= u,
и положим	2
	х − у	= v.
	2

Получим:

sin 2u cos2v = 3sin ucosv,	(2а)
cos2u cos2v = cosucosv.

Разделив левую и правую части первого уравнения системы (2а) соответственно на левую и правую части второго уравнения системы, получим уравнение . Заменим этим уравнением первое уравнение системы (2а):

tg2u = 3tgu,	(2б)
cos2u cos2v = cosu cosv.

Положим tgu = z , тогда первое уравнение системы (2б) примет вид

2z

1− z2 = 3z,

откуда находим z	= 0, z		=			3	, z		= −				3		, т.е.
		2						3
1				3									3
	(tgu)		=	0,		(tgu)				=			3	,(tgu)			= −	3
		1						2				3				3		3
и, следовательно,
u = πп,u			2	= π + πп,u								3	= − π			+ πп, n Z.
1						6							6

Итак, задача свелась к решению следующей системы уравнений:

129

	π	+ πп;u = −	π	+ πп, n Z,
u = πn;u =
	6		6
cos 2u cos 2v		= cosu cosv,

которая, в свою очередь, равносильна следующей совокупности шести систем:

u = 2πn, n Z,

u = π

+ 2πn, n Z,

π

+ 2πn, n Z,

u =

6

cos 2v = cosv

cos 2v = −cosv

cos 2v

= 3 cosv

(2в)

7π

π

5π

+ 2πn, n Z,

+ 2πn, n Z,

+ 2πn, n Z,

u =

u

= −

u =

6

6

6

cos 2v = −

cos 2v =

cos 2v = −

cos v.

3 cosv

3 cosv

3

Рассмотрим первую систему

совокупности (2в). Из уравнения

cos2v = cosv последовательно получаем:

1+ cos 2v = 1+ cos v,

2cos2 v − cos v −1 = 0,

(cos v) = 1,(cos v)

= −

1

,

1

2

2

v = 2πk,v

=

2π

+ 2πk,v

= −

2π

+ 2πk, k Z.

2

3

1

3

3

Таким образом, для рассматриваемой системы получаем следующую совокупность семейств решений:

u1 = 2πn,

u

= 2πn,

u

= 2πn,

2

2π

3

2π

n,k Z.

= 2πk,

n,k Z

n,k Z

v1

v2

=

+ 2πk,

v3

= −

+ 2πk,

3

3

(2г)

Аналогично, решив вторую систему совокупности (2в), получим:

u4 = π + 2πn,

u

= π + 2πn,

u

= π

+ 2πn,

5

π

6

π

n,k Z.

= π + 2πk,

n,k Z

=

+ 2πk,

n,k Z

= −

+ 2πk,

v4

v5

3

v6

3

Рассмотрим третью систему совокупности (2в):

	π	+ 2πn, n Z,
u =
	6

=

cos2v 3 cosv.

Из второго уравнения этой системы получаем:

2cos2 v − 3 cosv −1= 0,

откуда

(cosv)	=		3 +		11		,(cosv)	=	3 − 11				.
1	4				2			4

(2д)

(2е)

(2ж)

130

Первое уравнение совокупности (2ж) не имеет решений, так как

3 + 11 >1 , из второго получаем:

4

		3 −		11				11 −			3
v = ± arccos						+ 2πk = ±	π − arccos							+ 2πk, k Z.
4								4

Значит, система (2е) имеет следующие решения:

		=	π	+ 2πn,
u7			6		u8
v =			π −ϕ + 2πk		v
	7					8

где ϕ = arccos 11 − 3 . 4

= π + 2πn,	(2з)
6

= −π +ϕ + 2πk (n,k Z),

Аналогично, решив последние три системы совокупности (2в), получим:

			=	7π	+ 2πn,
	u9							u10
				6
								n,k Z
	v		= ϕ + 2πk,					v
		9						10
				= −		π	+ 2πn,
		u12				6
								n,k Z
		v = −π +ϕ + 2πk,
			12

=

7π

+ 2πn,

= −

π

+ 2πn,

u11

Z

6

6

n,k Z

n,k

= −ϕ + 2πk,

v = π −

ϕ + 2πk,

11

=

5π

+ 2πn,

=

5π

+ 2πn,

u13

u14

n,k Z.

6

6

n,k Z

v = ϕ + 2πk,

v

= −ϕ + 2πk,

13

14

(2и) Итак, мы нашли совокупность 14 семейств решений: (2г), (2д), (2з) и

(2и). Возвращаясь к переменным х и у, из системы

	х =	u + v	,
		2
		u − v
	у =			.
		2

	х + у		= u,
	2		находим
	х −	у
			= v
	2

Это позволяет получить соответственно совокупность 14 семейств решений относительно х и у:

						π		(n + k),
х1		= π (n + k),		х2	=	3 + π
		n, k	Z				π			n, k Z
	у	= π (n − k),
	1			у2	= − + π (n − k),
							3
		х4 = π + π (n + k),					х =	2π		+ π (n + k),
							5	3			n,
		у4 = 2π (n − k),	n,k Z					π
							у5 =		+ π (n − k),
								3

	х		= − π + π (n + k),
		3				3			n,k Z
				π
	у3		= + π (n − k),
				3
					х		= π + π (n + k),
k Z						6	3			n,k Z
								2π	+ π (n − k),
					у6		=
							3

131

7π

ϕ

π (n + k),

5π

ϕ

π (n + k),

х7,8

= ±

−

+

х9,10

= ±

−

+

+

12

2

12 2

5π

ϕ

7π

ϕ

+ π (n

− k)

+ π (n − k)

у = ± −

+

у

= ±

−

7,8

12

2

9,10

12

2

(2 к)

7π

± ϕ + π (n + k),

5π

± ϕ + π (n + k),

х

=

х

=

11,12

12

2

13,14

12

2

n,k Z,

7π

m ϕ + π (n − k)

5π

m ϕ + π (n − k),

у

=

у

=

11,12

12

2

13,14

12

2

где ϕ = arccos 11 − 3 . 4

Проверка. Внимательно проанализировав ход решения системы (2), замечаем, что только одно преобразование могло привести к системе, неравносильной предыдущей: переход от системы (2а) к системе (2б). На этом этапе, с одной стороны, могла произойти потеря решений, а именно могли «потеряться» те пары (u,v) ,на которых обе части второго уравнения системы (2а) обращаются в нуль; с другой стороны, могли появиться посторонние решения: «посторонними» могли оказаться те пары (u,v) , на которых обе части первого уравнения системы (2а) обращаются в нуль.

Замечаем, что выражение cosucosv обращается в нуль при u = π +πn , 2

n Z или при v = π + πk , k Z , а выражение cos2ucos2v обращается в нуль

2

при u = π + πn , n Z или при v = π + πk , k Z . Значит, проверить необходимо

4 2 4 2

следующую совокупность систем значений u и v:

	u = π + πn,
		2			n, k Z
		π		πk
			+		,
	v =
		4		2

u = π
	4
	π
v =
	2

+ πn ,

2n,k Z.

+πk,

Нетрудно убедиться в том, что ни та, ни другая система значений u и v не удовлетворяет первому уравнению системы (2а). Таким образом, пе-

реход от системы (2а) к системе (2б) не привел к потере решений.
	Далее, выражение sinu cosv обращается в нуль при u = πn,n Z		или
при	v = π + πk , k Z , а выражение sin 2ucos2v обращается в нуль		при
	2
u = π n, n Z или при v = π + πk , k Z .
2	4	2

Значит, проверить необходимо следующую совокупность систем значений u и v:

132

u = πn,
	π		πk
		+
v =
	4		2

	u = π
n,k Z		2
		π
,	v =
		2

n,

n,k Z.

+ πk,

Нетрудно убедиться в том, что ни та, ни другая система значений u и v не удовлетворяет второму уравнению системы (2а). Таким образом, переход от системы (2а) к системе (2б) есть равносильное преобразование.

Итак, в процессе решения системы (2) выполнялись только равносильные преобразования, поэтому совокупность семейств (2к) представляет собой решение системы (2).

Пример 3. Решить систему уравнений:

3π

х +

у =

,

(1)

4

2

х + sin

2

у =1.

cos

Решение.

3π

у =

3π

− х,

у =

− х,

4

4

3π

(1)

2 3π

cos

2

=1

1+ cos2х

1− cos

− 2

х

х + sin

− х

2

= 1

4

+

2

2

3π

3π

у =

3π

− х,

у

=

3π

− х,

у =

− х,

у =

−

х,

4

4

4

4

= − π

πk

cos2х + sin 2х =

0

tg2x = −1

2х = − π + π

х

+

, k Z

4

8

2

π

πk

π

πk

х = −

8

+

2 , k Z,

х = −

8

+

2

,k Z,

3π

π

πk

7π

πk

у =

+ −

, k Z

у =

−

,k Z.

4

8

2

8

2

Ответ. (х, у)| х = − π + πk , у =

7π

− πk ,k Z .

8

2

8

2

Пример 4. Решить систему неравенств:

3

ctgx ≥ −

,

3

(1)

cos x <

3

.

2

Решение. См. рис.1.

133

	(1) π + 2πk < х ≤				2	π + 2πk π + 2πk < х ≤									5	π + 2πk, k Z .
	6	3												3
Ответ.	х | π + 2πk < х ≤		2	π + 2πk,k Z						U				х |π + 2πk < х ≤			5	π + 2πk,k Z .
	6	3														3
Пример 5. Решим систему неравенств
							3
						sin x <				,									(3)
							2
					cos x > −					2		.
										2
Решение. Найдем		геометрическое											решение			неравенства sin x <				3
																			2

(соответствующая дуга МР числовой окружности Σ отмечена на рис. 2 внутренней штриховкой). На той же окружности найдем геометрическое

решение неравенства cos x > − 2 (соответствующая дуга ЕК отмечена на

2

рис. 2 внешней штриховкой).

Тогда геометрическим решением системы (3) будет пересечение дуг МР и ЕК, т. е. объединение дуг МК и ЕР (на этих дугах штриховки совпали). Осталось лишь составить аналитическую запись каждой из этих дуг.

Для дуги МК имеем:

2π + 2πk < х < 3π + 2πk, k Z .

34

для дуги ЕР имеем:

− 3π + 2πп < х < π + 2πп, n Z.

43

Итак, общим решением системы (3)является следующая совокупность:

2π + 2πk < х < 3π + 2πk или− 3π + 2πп < х < π + 2πп, (n,k Z)..
3	4	4	3

							Упражнения
Решить систему уравнений (679-697):
	х	− у	= π ,				680. 2х − у = 2π ,
679.			2			1	2sin х + sin у = 0.
		2	х − 3сos	2	у = −
2сos							.
						2
							134

	sin хsin у = −																					1					,
681.																								4
																					3
	cos хcos у =																								.
																					4
																								3
682.	sin хsin у = −																										,
																								4
	3сtgх = −tgу.
	tgх − tg2у =1,
683.																					4
	tg(х − 2у) =																								.
																					3
		+ у = −							5π									,
	х
684.									12
												3
	tgхtgу =																.
									3
					2π
685.	2х − у =													,
				3
								у												1
	sin х − sin												=										,
									2 2
		+ у =	5π
686.	х										,
				6
																					1
	sin хcos у = −																							.
																					4
					π						,
687.	х − у =
				4
	tgх + 3tgу = 0.
																											3
	sin х − sin 2у =																													,
																											2
688.
																										1
	cos х + cos2у =																												.
																											2
Решить систему неравенств (698-704):
									3
	sin x >													,
698.				2
														3
	cos x ≥ −																				.
											2
	sin x ≥			1			,
699.				2
				1
	cos x >									.
				2
	sin x ≥			1			,
																														703. sin x > cos х,
700.				2
	cos x <								2							.														− 2π < х < 2π.
				2

135

							π
689.		х −			у = 3 ,
																	1
				2	х − sin				2			у =
	sin																		.
																	2
690.	2sin х = −sin у,
	2cos х =							3 cosу.
691.	tgх + tgу = 2,
	сtgх + 2ctgу = 3.
		х +			у =		5π		,
692.							12
																	3
				2	х − sin				2			у =							.
	sin
																	4
	cos(х + у) = 2cos(х − у),
693.												3
	cos хcos у =													.
												4
			2 sin х = −sin у,
694.
			2 cos х =								5 cosу.
695.	tgх + sin 2у = sin 2х,
	2sin уcos(х − у) = sin х.
	tgх − tgу =1,
696.
		cos хcos у =												2
																.
												2
	cos х + cos у = 1,
697.					х				у
												=			2						+1.
	cos					cos у
					2				2								2

sin x <				1
701.	2,
cos x ≤
					3										.
					2
tgx ≥ −
					3,
702.						1
sin x <										.
					2
					3
sin x ≤											,
704.	2
					3
cos х <													,
					2
0	≤ х < 2π.

§6. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические выражения

Если каждому у Е можно поставить в соответствие единственное значение х D , для которого у = f (х) , то говорят, что на промежутке Е определена функция обратная функции у = f (х) т. е. х = f −1(у) .

(См.§2 гл.V(стр.107)).

Теорема. Если функция на некотором промежутке строго монотонна (либо убывает, либо возрастает), то она имеет обратную функцию, которая также строго монотонна, т.е. возрастает или убывает.

Рассмотрим функцию у = sin x на отрезке − π ≤ х ≤ π ; известно, что

2 2

при любом значении у, взятом при условии −1≤ у ≤ 1, на отрезке − π ≤ х ≤ π

2 2

существует единственная дуга х = arcsin y , синус которой равен у. Следова-

тельно, функция, обратная относительно у = sin x на отрезке

− π ≤ х ≤ π ,

2

2

выражается формулой

х = arcsin y , где −1≤ у ≤ 1.

Функция arcsin х(следуя привычке в обозначениях, мы переставили

местами буквы у и х) обладает следующими свойствами:

1) Область определения функции у = arcsin х есть отрезок

−1≤ х ≤1,

так как множество значений синуса есть этот отрезок.

2) На отрезке −1≤ х ≤1 функция у = arcsin х возрастает от − π

до π . В

2

2

самом деле, во-первых, будучи обратной функцией относительно

возрастающей на отрезке

− π , π

функции

х = sin у ,

функция

2 2

arcsin х также возрастает, и, во-вторых, произвольное значение m,

взятое на отрезке − π , π

, функция arcsin х имеет в точке х = sin т.

2 2

Итак, множество значений арксинуса есть отрезок − π ≤ у ≤ π ;

2

2

3). arcsin х нечетная функция.

4.Функция у = arcsin х непрерывна на отрезке −1≤ х ≤1.

Доказательство. Если х1 и х2 –проекции на ось ординат концов дуг

у − ε и у +ε , то приращение дуги

у

по абсолютной величине меньше ε :

у

< ε , если

х

< δ , где в качестве δ

может быть взята наименьшая из раз-

ностей х-х1 и х2-х.

136