Гайнуллин часть2

− ∞ < х < +∞,
а=0,то y = 0,	768. Если а < 0, то решений нет; если а ≥ 0, то
z = 0.

					х =	(а +1)	2	,
	х = 9а2	,
						4
			769.Если а <1,то решений нет; еслиа ≥1,то						770.Если
y = а2.						(а −1)2
				y =					.
						4

	х =		аb
				,		а = 0,			х = 0,	если а < b и b<0,	то решений
а ≥ b > 0,то			а + b			если	, то
			а + b			b = 0		y = 0,
y =					;
		4
нет.771.Если а=-1 ,то решений нет; еслиа > −1, то а > −1; если а < −1,то

х > 1− а .772.Если а=1и а = ±3, то решений нет; еслиа < −3 и 1< а < 3 и a > 3,то

х <

а +1

; если − 3 < а <1, то х >

а +1

.773.Если а=10,то x<8; если a >10, то

а − 3

а − 3

3 +16а

< х <

4а

; если а <10,то х <

4а

и х >

3+16а

.774.Если а=-3,

2(10 − а)

5

4

2(10 − а)

то− ∞ < х < +∞ ; если a > −3, то −

14

< х <

4

; если а < −3, то

а + 3

а

+

3

14

< х < −

4

.775.Если а = 0, то 0<x<1; еслиа =

1

,то 0 < х < 2 и x>2; если

а +

а + 3

3

4

а >

1

, то x>0; если 0 < а <

1

, то 0 < х < t , х > t

; если а < 0, то х < t

,

0 < х < t ,

2

4

4

1

2

1

1− 1−

4а

1+

1− 4а

t =

,t

=

.

1

2а

2

2а

776. Если а ≥ −

3

, то решений нет; если а < −

3

,то х >

1

.777. Ес-

(2а + 3)2

2

2

лиа = 2, то решений нет; еслиа < 2, то

а −1

< х ≤

1

; если a > 2,

то

3

3

1 ≤ х < а −1.778.Еслиа ≤ 0 ,то решений нет; если 0 < а ≤1, то

33

1− 2

а < х < 1+ 2 а; еслиa > 1, то − а ≤ х <1+ 2 а .779.Если а ≤ 0, то х ≥ 1; если

0 < а <1, то 1≤ х <

(а2

+1)2

;

еслиа ≥ 1,то решений нет.780.Если а ≤ −1,то реше-

4а2

ний нет; если −1< а < −

1

,то

а2

< х ≤ −1;если −

1

≤ а ≤ 0, то х ≤ −1;если

+ 2а

2

1

2

а > 0, то х ≤ −1, 0 ≤ х <

а2

. 781.Если а ≤ 0, иа ≥ 4, то решений нет; если

+ 2а

1

0 < а < 2,то − а ≤ х ≤ а; если а = 2, то − 2 < х < 2 ; если 2 < а < 4, то

а

а

< х <

.782.Если −

2

≤ а ≤

2

, то решений нет; если

−

а(4 − а)

а(4 − а)

2

2

2

2

167

	−		1<						а < −									2	,						2				<						а <1,									то				−1− 2а2 −1																			< x							<				−1+ 2а2 −1															;		если а = 1, а = −1, то
															2					2																																			2																												2
	−1 < x < 0 ; если а < −1, а > 1, то а ≤ x <																																																														−1+												2а2 −1									.783.Если а ≤ −1,то решений
																																																																			2
																																				то −1 ≤ x < t1 ; если а = 1,
	нет; если −1< а < 1,																																																																													то −1 ≤ x < 0 ; если 1< а < 2, то
	−1≤ x < t , иt																			< x ≤ 1; если а =																																																	1														1
																			2																																		2, то x <																						, x >												;если а >													2, то
								1																																																											2																2
				≤1, (t =												а − 2 − а2																														а − 2 −									а2
		х																																	; t =																										. 784.Если а2 ≥16, то решений нет; если
								1												2																				2										2
									15																																								15																7										7												15										15
	а2 <											, то х2								≤ а2 ; если а2 =																																, то х2 <																и									< х2						<							; если											< а2 < 4, то х2 < t
								4																																								4																	2									2													4											4									1
	и t						2	< х2 ≤ а2											; если 4 ≤ а2 < 16,																																то х2 < t														и
																																																															1
	(t							7 − 4а2											−15																					7 +							4а2 −15
					=																				, t									=																					.785.Если а > 0, то 0 < х < a ; если а = 0, то
															2																													2
	1																												2
	решений нет; если а < 0, то а ≤ х ≤ 0. 786.Если а ≤ 1, то 1−																																																																	9 − а < х < 1− 1− а
	и 1+ 1− а < х < 1+																																			9 − а;если 1< а < 9, то 1−																																											9 − а < х < 1+ 9 − а; если а ≥ 9,то
	решений нет.787.Если																																												а < 0 и 0 < а <																			64						,то t										< х < t											и t			< х < t ; если а = 0, то
																																																																															2										4				3
																																																															63																																			1
		55				< х <							63					; если а =																					64		, то t3 < х <																63					и				63						< х < t4;если																				64			< а <							64				,то
	16
								16																																63																		8									8																								63							55
	t3				< х < t4;если а ≥																										64							, то решений нет
																														55
										8− 64 − 63а																														8 + 64 − 63а																							8− 64 − 55а																												8+ 64 − 55а
	t						=																			,t								=																						,t					=																							,t				=																		,	.788.Если
			1													а														2																	а											3																а													4								а
	а < 0, то 1 < х <																								1+										1− 4а											; если а = 0 и																							а ≥ 1, то решений нет; если 0 < а ≤																																										1	,
																																		2																																																																									4
	то а < х <															1−					1− 4а												,				1+					1− 4а									< х < 1;если																						1			< а <1,то а < х <1.789. При
																				2																						2																									4

a < −1x ; при a = −1 x = − π + 2πn,n Ζ; при 2

a < 1 x[π − arcsina + 2πn, 2π + arcsina + 2πn], ( n Z )при a ≥ 1 x R.790. x R

при a < −1; x R \{π + 2πn},(n Z ); при

a = −1,( n Z ) x (−arccosa + 2πn, arccosa + 2πn) ,( n Z ); при |a|<1
x при a ≥ 1. 791. x при a													1
												− ∞,		;
													2
1					πn	π		1						πn	1
x			arccos(4a − 3) +		,		−				arccosa(4a − 3)		+	,(n Ζ) ; при	a		,1 ;
4					2	2		4						2	2
x R \			πn при а=1; x R					;		при а (1,∞), (				n Z )792. x R при a				− ∞,	1	;
			2																4
												168

x	−					1	arccos	8a − 5			+ πn ,		1		arccos				8a − 5		+	πn ,(n Ζ) при a	1		,1 ; x при
										3	2 4							3
	4																					2	4
а (1,∞). 793.										x R при а<1;										πn
																		x R \				,(n Z) при а=1;
																					2
		1							2		1									2
x						(arcsin(a				−1)+ πn),				(π − arcsin(a							−1)+ πn) ,(n Z) при 1< a < 2 ; x при
		2									2
a ≥					. 794. a (− ∞, − 2 −												)U (2, + ∞).
			2													8

169

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

N - множество натуральных чисел;

Z- множество целых чисел(Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...});

Z0 = N U {0} - множество неотрицательных целых чисел (Z0 = {0,1,2,3,...});

Z- - множество целых отрицательных чисел(Z- = {...,−3,−2,−1});

Q- множество рациональных чисел;

Q+ - множество положительных рациональных чисел;

Q- - множество отрицательных рациональных чисел;

Q0 - множество неотрицательных рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R - множество дейсвительных чисел(R = (−∞,+∞));

R+ - множество положительных дейсвительных чисел(R+ = (0,+∞)); R- - множество отрицательных дейсвительных чисел(R- = (−∞,+∞)); R0 = R+ U {0} - множество неотрицательных дейсвительных чи-

сел(R0 = [0,+∞));

C - множество комплексных чисел; n!(n - факториал)n!= 1 2 3 ... n.

170

ЛИТЕРАТУРА

1.Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач: Учеб. пособие для пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1979.

2.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению задач школьной математики//Практикум по алгебре. – М.: Просвещение, 1976.

3.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению задач школьной математики//Практикум по тригонометрии. – М.: Просвещение, 1977.

4.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г., Кочева А.А. Практикум по решению задач школьной математики. – М.: Просвещение, 1975.

5.Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии - М.: Высшая школа, 1967. Специальный курс элементарной алгебры- М.: Высшая школа, 1962.

6.Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шубин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике.- М.: Наука,1971.

7.Ляпин С.Е. и др. Сборник задач по элементарной алгебре. – М.: Просвещение, 1973.

8.Новоселов С.И. Обратные тригонометрические функции. – М.: Учпедгиз,1956.

9.Титаренко А.М. Форсированный курс подготовки к экзамену по математике: Практикум: 5770 задач: Учебное пособие. – М.: Изд-во Эксмо,2005.

10.Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы:Учеб.пособие.Изд.3-е,доп.

-М.: “Высшая школа”,1977.

11.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное – М.: Илекса, Харьков: Гимназия,2003.

12.Тулинов Б.А., Чекмарев Я.Ф. Арифметика для педагогических училищ – М.: Учпедгиз,1951.

13.Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Нечаев В.А. Арифметика рациональных чисел – М.:Просвещение,1971.

14.Ежов И.И., Скороходов А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинато-

рики – М.:Наука,1977.

15.Гайнуллин М.Н., Ясавиев Ф.З. Сборник конкурсных задач и упражнений по математике, изд. – 3-е: Книга для студентов вузов, учителей математики средних учебных заведений и учащихся старших классов, специализированных школ. – Уфа,1999.

16.Сканави М.И. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗы: Учеб. пособие, изд. – 3-е, доп. - М.: Высшая школа,1977.

171

Учебное издание

М.Н. Гайнуллин

Элементарная математика

Технический редактор И.В. Пономарев

Лиц. на издат. деят. Б848421 от 03.11.2000 г. Подписано в печать 12.05.2010. Формат 60Х84/16. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.

Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. – 10,7. Уч.-изд. л. – 10,5. Тираж 500 экз. Заказ №

ИПК БГПУ 450000, г.Уфа, ул. Октябрьской революции, 3а

172