4.10. Заключение.

Ключевые слова.

Доходность, риск акций и портфеля акций. Диверсификация. Множество Марковитца. Эффективный портфель. Оптимальный портфель. Расчет эффективного портфеля методом множителей Лагранжа. Оптимальный портфель. Портфель из двух бумаг. САРМ. Линия рынка капитала СML. Линия рынка ценной бумаги SML. Бета. Систематический, несистематический риск. Индексы Шарпа, Трейнора, Дженсена (альфа). Тестирование САРМ. Арбитражная модель. Условная САРМ (ССАРМ). Дисконтные дивидендные модели.

Модель Гордона. Математические, статистические функции Excel.

Задачи и вопросы..

1. В терминах модели Марковитца объясните на словах и с помощью графиков, как инвестор выбирает свой оптимальный портфель. В какой особой информации нуждается инвестор для определения данного портфеля.

2. Вы обладает портфелем, состоящим из двухакий, взятых в следующих долях и имеющих следующие ожидаемые доходности стандартные отклонения:

Акция	Ожидаемая доходность	Стандартное отклонение	Доля
А	10%	20%	0,35
В	15%	25%	0,65

Для различных корреляций равных (-1;-0,5; 0; 0,5; 1) рассчитайте доходность и стандартное отклонение портфеля.

3. Найти общий риск портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, если стандартное отклонение рынка равно 18%.

Ценная бумага	“Бетта”	Стандартное отклонение	Доля
А	1,2	5%	0,3
В	1,05	8	0,5
С	0,9	2	0.2

4. Используя данные доходностей акции PG и индекса S@P рассчитать доходность, стандартное отклонение, бета, альфа, собственный(специфический) риск и индексы Шарпа, Трейнора, Дженсена.

	.03.2005	.4.05	5.05	6.05	7.05	8.05	9.05	10.05	11.05	12.05
SP500	-1,83%	-3,26%	4,07%	-0,12%	3,58%	-1,14%	0,66%	-1,81%	3,53%	-0,10%
PG	-0,17%	2,15%	1,83%	-4,45%	5,32%	-0,27%	6,93%	-6,01%	2,12%	1,20%

1.06	2.06	3.06	4.06	5.06	6.06	7.06	8.06	9.06	10.06	11.06	12.06
2,55%	0,00%	1,36%	0,97%	-3,18%	0,15%	0,43%	2,10%	2,42%	3,06%	1,72%	1,21%
2,31%	1,17%	-3,91%	1,00%	-7,05%	2,46%	1,07%	9,66%	0,13%	2,25%	-0,95%	2,33%

5. Ожидаемая доходность акции АВС 12%, а бета акции равно 1. Ожидаемая доходность акции XYZ равна 13%, а бета равно 1,5. Ожидаемая доходность рынка 11%, безрисковая процентная ставка 5%. Какую акцию следует купить согласно модели САРМ, почему?

Чему равно альфа каждой акции? Нарисуйте SML для каждой бумаги в плоскости риск-доходность. Покажите на графике альфа.

6. Безрисковая процентная ставка равна 8%, а ожидаемая доходность рыночного портфеля 16%. Фирма рассматривает возможность инвестиции бета которой равно 1,3. Какова требуемая доходность инвестиции? Если ожидаемое IRR инвестиции равно 19%, стоит ли делать эту инвестицию?

7. Какие из следующих утверждений являются верными или нет?

1. Акции с бета равным нулю предполагают, что ожидаемая доходность равна нулю.

2. САРМ предполагает, что инвесторы требуют более высокую доходность за акции с большей дисперсией.

3. Можно ли сформировать портфель с бета 0,75, инвестируя 0,75 средств в облигации и остаток средств в рыночный портфель.

8. Ниже в задачах a)- c) =6%, а =16%.

1. Акция сегодня продается по цене 50. В конце года ожидается дивиденд на акцию 6. Если бета равно 1,2, то какова цена акции в конце следующего года?

2. Вы собираетесь купит фирму с бесконечным потоком платежей 1000, но имеющей риск. Если считать, что бета равно 0,5, а реально окажется, что бета равно 1, то насколько больше стоит фирма

3. Ожидаемая доходность акции 4%. Чему равно бета.

9. Линия SML показывает:

1. Ожидаемую доходность акции, как функцию ее систематического риска

2. Рыночный портфель, как оптимальный портфель акций

3. Соотношение между доходностью акции и доходностью индекса

4. Портфель, состоящий из комбинации рыночного портфеля и безрисковых активов.

10. Стандартное отклонение доходности акций корпорации  составляет 10%. Коэффициент корреляции доходности акций  с доходностью рыночного портфеля равен 0,81. Доходность акций составила 9,2%. Считая среднюю доходность рыночного портфеля равной 12% при стандартном отклонении 12,5% и принимая доходность безрисковых активов равной 6%, оцените с точки зрения САРМ, должна расти, уменьшаться или остаться на том же уровне цена акций корпорации .

11. Почему трудно эмпирически различать АРТ и многофакторную модели.

12. Существует ли возможность арбитража в следующей ситуации?

Цены и возможные выплаты
Акции	Цена	Выплаты в ситуации 1	Выплаты в ситуации 2
А	35	25	50
В	30	15	60
С	40	19	66

Литература.

1. О’Brien J. Srivastava S. Investment. Equities.South_Western College Publishing, Chincinnati, Ohio, 1995

2. Т. Дж. Уотшем. К Паррамоу. Количественные методы в финансах. «ЮНИТИ», 1999.

3. В. Мельников, Н.В. Попова, В.С. Скорнякова. Математические методы финансового анализа. АНКИЛ. Москва. 2006

4. Keith Cuthbertson. Quantutative Financial Economics. Stocks, Bonds and Foreing Exchange. John Wiley&Sons, 1996, 2002.

5. Асват Дамодаран. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов. М., Альпина Бизнес Букс. 2005.

6. Чег Ф. Ли, Джозеф И. Финнерти. Финансы корпораий: теория, методы, практика.М., ИнфраМ. 2000.

7. А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. Москва. Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2005.

Методические рекомендации.

В результате изучения данной главы надо научиться по рыночным котировкам рассчитывать доходность и риск акций. Рассчитывать доходности и риски портфеля акций. Рекомендуется провести лабораторную работу по проверке эффекта диверсификации. Для этого можно воспользоваться статистическими данными на сайте www.finance.yahoo.com. Знать формулы для расчета риска портфеля из двух акций и доли акций для эффективного портфеля. Уметь применять модель CAPM, рассчитывать коэффициент бета. Понимать роль коэффициента бета в современной теории портфеля. Уметь рассчитывать индексы, характеризующие эффективность управления портфелем. Знать условия применения модели САРМ. Уметь оценивать акции по модели Гордона с применением САРМ. Знать модель АТР.

При решении задач рекомендуется максимально использовать Excel. Для этого, как и в предыдущих главах, рекомендуется создать файлы – шаблоны для занятий на семинарах и выполнения домашних заданий.

Пример. На основе экспертных оценок и прогнозов имеем следующие данные для акций трех компаний. Рассчитать риск для каждой акции, ковариацию и корреляцию между акциями, доходности акций компаний по состояниям экономики.

состояние экономики	вероятность	А	В	С
спад	0,05	-22,00	28,00	10,00
ниже среднего	0,20	-2,00	14,70	-10,00
средний уровень	0,50	20,00	0,00	7,00
незначительный рост	0,20	35,00	-10,00	45,00
Быстрый рост	0,05	50,00	-20,00	30,00

Рис. 4. 19. Пример расчета риска и доходности акции по методу сценариев.

На листе Excel рекомендуется привести формулы для расчета.

Рекомендуется провести две лабораторных работы по теме «Диверсификация» и по теме «Эффективный портфель».

Реализуемые компетенции.

Аналитические компетенции, состоящие во владении прикладными методиками анализа; в умении превращать информацию в знание; в умении анализировать финансовые риски; в способности к прогнозированию; способности к сравнительному анализу и синтезу; в умении применять полученные знания при решении конкретных задач; в умении принять самостоятельное решение по расширению портфеля аналитических инструментов.

Системные компетенции, состоящие в способности использовать теоретический язык знаний применительно к анализу конкретных ситуаций; способно ти к самостоятельной работе и обучению.

Коммуникативные компетенции, состоящие в умении находить, понимать и анализировать информацию профессионального характера; читать и понимать научную литературу на иностранном языке.

Приложение. Пример расчета ССАРМ.¹³

Для построения прогноза, необходимо пройти следующие этапы статистического моделирования:

1. Построение линейной регрессии, характеризующей зависимость ожидаемой доходности акции от доходности рынка, определение параметров уравнения регрессии и значений остатков:

E[R_i]=α_i+β_i-1E[R_m]+ε_i

Для примера в таблице представлены статистически значимые параметры регрессии (при α=0,05) по некоторым акциям российских компаний за 2003-2005 гг.:

	αi	βi-1	Er. (α)	Er. (β)	T(β)	Tкр.	R^2
Лукойл	-0,02	1,13	0,01	0,14	8,17	2,07	0,74

2. Исследование характера изменений значений остатков, определение характера изменения дисперсии D(E[R_i])=ε² на основе уровней ряда ε² и спектральной плотности для временного ряда E[R_i];

Распределение квадратов остатков для российских акций приведено на нижеследующей диаграмме:

Как видно дисперсии доходностей акций не постоянны. Это говорит о том, что прогноз требуемой точности можно будет получить на основе CCAPM модели, которая учитывает непостоянство дисперсии во времени.

3. Прогнозирование остатков: в случае наличия свойства гетероскедастичности у временного ряда E[R_i], строется модель ARCH(p)=a₀+∑a_iε_t-i² для определения значения ε² в прогнозируемом периоде (Параметр p может определяться на основе использования информационных критериев Аккаике (AIC) и Шварца (SIC), либо на основе анализа функции автокорреляции ACC).

р		1	2	3	4	5
Лукойл	AIC	-9,3	-9,7	-9,3	-9,5	-8,7
	SIC	-9,2	-9,6	-9,1	-9,3	-8,5

где AIC(p)=lnσ²_p+(2p/n), а SIC(p)=lnσ²_p+p(ln(n)/n).

4. Определение значения ошибки ε для прогнозируемого периода

5. Расчет условной бета (β_t,i) осуществляется по формуле:

6. Построение прогнозного значения доходности выполняется для каждой акции по уравнению регрессии после замены исходного значения β_t-1,i на полученную величину β_t,i. Возвращаясь к исходному примеру с акциями российских компаний, по итогам всех вышеприведенных операций и вычислений, получаем:

Октябрь 2005	E(r)
Лукойл	0,06	-0,01	1,15

Прогнозные значения условных бета в таблице последовательно рассчитаны на основе ARCH(2), ARCH(1), ARCH(1), ARCH(2) и ARCH(3) соответственно.

Как результат полученная ССАРМ модель за счет изменяемых параметров регрессии позволила правильно «запомнить» высоковолатильную динамику доходностей исходного процесса, учесть изменения рынка и исключить статистические «шумы», тем самым, улучшив точность и увеличив горизонт прогноза. Так, например, сравнительный анализ ССАРМ и UCAPM для акций компании Лукойл показал, что прогноз, составленный на основе ССАРМ более точен. Кроме того, вероятность ошибки в случае UCAPM резко возрастает при увеличении горизонта прогноза, что вызвано различными значениями коэффициента бета, а следовательно и наклоном прямых CCAPM и UCAPM.

1В русско-язычной литературе используется также термин «среднее квадратическое» отклонение, который более точно отражает смысл этого математического действия. Стандартное отклонение – дословный перевод standard deviation. Поскольку в Excel статистическая функция расчета среднего квадратического отклонения называется СТАНДОТКЛОН, то далее будем использовать термин стандартное отклонение.

2Доходности обладают лучшими статистическими свойствами по сравнению с ценами, кроме того, абсолютные изменения цен не отражают текущий уровень цен

3Поиск эффективного портфеля на основе показателей среднего (доходность ) и риска (дисперсия – вариация) называется средне-вариационным методом.

4Короткая позиция – позиция, когда продано больше бумаг, чем куплено.

5Некоторые авторы дают переводCML, как эффективная линия рынка капитала. См. Фобоцци .Ф. Управление инвестициями. Инфра-М.2000.

6Внимательный читатель может заметить, что в приведенном выводе уравненияSMLиCMLусловие равновесия напрямую не используется. Однако, используется множество эффективное множество Марковитца, которое получается в условиях равновесия и рыночный портфель.

7Модель разработана в Беркли Барри Розенбергом и коллегами.(1976г)

8 Douglas J. Hodgson, Oliver Linton, Keith Vorkink. Testing Capital Asset Pricing Model Efficiently under Elliptical Symmetry: A Semiparametric Approach. Universite du Quebec a Montreal. Working Paper # 143, October 2001, p.3

9 Geert Bakaert, Guojun Wu. Asymmetric Volatility and Risk in Equity Markets. National Bureau of Economic Research. Working Paper # 6022., Cambridge, April 1997, p.6

10 J.Y.Campbell, F. W. LOo, F.C. MacKindlay. The Econometrics of Financial Markets. Princeton.1997. part 5.7

11Ravi Jahannathan, Zhenyu Wang «The Conditional CAPM and the Cross-Section of Expected Returns», Federal Reserve Bank of Minneapolis; Research Department Staff Report; Columbia University, 1996, pg. 6

12Асват Дамодаран, Инвестиционная оценка, стр.439.