4.9 .Модель дисконтирования дивидендов

Когда инвестор покупает акцию он, как правило, ожидает получить два вида денежных потоков:

• дивиденды за период владения,

• ожидаемую цену на конец владения.

Для выяснения ожидаемых дивидендов делаются предположения относительно ожидаемых в будущем темпов роста доходов и коэффициентов выплат. Требуемая доходность акции зависит от ее риска. Разработано несколько моделей оценки риска и доходности (САРМ, индексные модели, арбитражные и факторные модели и др).

Дивидендная дисконтная модель (ДДМ) представляет собой инструмент оценки активов (внутренней стоимости акций компании) с целью выявления переоцененности или недооцененности последних. О

Дивидендная дисконтная модель (ДДМ) представляет собой инструмент оценки активов (внутренней стоимости акций компании) с целью выявления переоцененности или недооцененности последних.

снова всех подобных моделей – вычисление приведенной стоимости будущих потоков дивидендов. Это очень полезный инструмент, так как он позволяет инвестору определить подлинную (intrinsic) стоимость какой-либо компании без учета влияния текущей ситуации на рынке.

Все дивидендные дисконтные модели можно разделить на две большие группы: детерминистические и стохастические. Первые отражают традиционный подход к оценке приведенной стоимости, в соответствии с которым предполагается, что поток будущих дивидендных выплат – вполне определенная величина. Второй же подход был предложен сравнительно недавно. В рамках него будущий поток дивидендов рассматривается как неопределенный. Это важное допущение, так как в таком случае появляется возможность построить вероятностное распределение случайной величины приведенной стоимости, а, следовательно, найти тот доверительный интервал, который позволит определить значимость полученного результата. В этом состоит основное преимущество стохастических дивидендных моделей. Ведь получив какой-либо результат, трудно сказать, насколько можно ему доверять, и стоит ли инвестору опираться на него в своих дальнейших действиях, предполагая, что акции компании являются и действительно недооцененными или наоборот. Таким образом, такого рода модели приобретают важное значение для процесса принятия инвестиционных решений.

Детерминистические ДДМ.

Как уже упоминалось выше, основа всех ДДМ – применение метода дисконтированной стоимости, который подразумевает, что справедливая цена актива представляет собой приведенную стоимость ожидаемых в будущем денежных потоков (в случае с акциями – это дивидендные выплаты, которые будут осуществлены). Базовая модель имеет вид

, (4.99)

где Р- теоретическая цена акции;

D_t -ожидаемый размер дивиденда, который будет выплачен в периоде t;

r_t -ставка дисконтирования, которая соответствует уровню риска инвестирования в акции данной компании.

Базовая модель рассматривает бесконечный поток дивидендов, что делает невозможным подсчет стоимости Р. В связи с этим необходимо сделать ряд допущений, в частности, о конечности дивидендных выплат. В таком случае оценивается поток дивидендов за конечный период времени (скажем, N лет), а также дисконтируется некая оценка будущей цены акции, которая характеризует собой приведенный поток дивидендов постпрогнозного периода. Уравнение (4.99) приобретает тогда следующий вид:

, (4.100)

где P_N -ожидаемая цена акции в конце периода N, когда планируется ее продажа.

При таком допущении очевидно становиться возможным оценить поток будущих дивидендов, так как рассматривается разумный временной горизонт. Однако, встает вопрос об оценке этой будущей стоимости. Также неопределенным остается то, как учесть изменяющиеся во времени ставки дисконтирования.

Следующим допущением является предположение о постоянности величины ставки дисконта. В данном случае ставка дисконта r просто будет рассматриваться как некая средневзвешенная всех ставок за период (такой подход весьма распространен, например, подсчет доходности облигаций YTM). Любые неточности, вызванные подобным допущением, являются минимальными по сравнению с ошибками, которые могут иметь место при попытках оценить все будущие ставки дисконта. С учетом этого уравнение (4.100) будет иметь следующий вид:

(4.101)

Теперь для подсчета приведенной стоимости необходимо спрогнозировать или определить следующие исходные параметры:

• ожидаемая конечная цена (будущая стоимость) (P_N);

• ожидаемый поток дивидендов за N лет (D₁-D_N);

• ставка дисконта (r).

Самым сложным является оценка будущей стоимости. Она представляет собой приведенную стоимость всех будущих дивидендных выплат. На практике обычно эта величина прогнозируется исходя из дивидендов или доходов компании, а затем уточняется исходя из требований о доходности, коэффициента цена/доходы и нормы капитализации. Необходимо также иметь в виду, что Р будет ничтожно мала и ею можно будет пренебречь в случае, когда N очень большое. Что касается ставки дисконта, то ее обычно определяют из модели оценки активов САРМ, рассмотренной выше.

Следующей вариацией ДДМ является детерминистическая модель постоянного роста. В рамках этой модели предполагается, что темпы роста дивидендов на протяжении всей жизни акции – постоянны. В свою очередь, данная модель предполагает еще два варианта: аддитивную модель роста (рост в арифметической прогрессии) и модель геометрического роста.

Аддитивная модель постоянного роста:

, (4.102)

где d- прирост в размере дивиденда.

Модель геометрического роста имеет следующий вид:

, (4.103)

где g - предполагаемый темп прироста дивиденда, r – стоимость привлечения собственного капитала. При этом если N стремиться к бесконечности, то получаем:

(4.104)

Эта модель также известна как модель Гордона. Если же выразить дивиденд следующего периода через текущий, то получим:

(4.105)

Модель Гордона более всего подходит к фирмам с темпами роста равным темпу роста экономики или ниже и с уставившейся практикой выплаты дивидендов

Однако, проведенные исследования показали, что эти модели дают неадекватные результаты для случаев, когда темпы роста дивидендов далеки от постоянных, хотя и вполне могут быть применимы, когда они приближаются к таковым. Модель Гордона применяется для оценки фирмы в фазе устойчивого роста. Дивиденды и темп роста поддерживается бесконечно. Модель Гордона также подходит к фирмам с темпами роста равным темпу роста экономики или ниже и с уставившейся практикой выплаты дивидендов. Стабильные дивиденды платят солидные фирмы. В США средний коэффициент выплат равен 60%. Существует три основных методов оценки темпов роста:

• определение темпов роста на основе фундаментальных показателей,

• исторические темпы роста,

• оценка фондовыми аналитиками.

Методы оценки исторического роста. Для оценки исторического роста применяются модели арифметического и геометрического среднего, модели лог - линейной регрессии, модели временных рядов (авторегрессионная модель скользящего среднего ARIMA- (Autoregressive integrated moving average)), оценка аналитиками. Аналитики используют различного вида информацию о фирме. В ряде случаев их прогнозы лучше, чем на основе исторических данных.

Пример 11. [5] Найти стоимость акции, если имеются следующие данные.

Прибыль на акцию в 2000 г. Равна 3, 13 (EPS).

Коэффициент выплат дивидендов ()=69,97% (PR).

Дивиденды на акцию равны 2, 19 ().

Доход на собственный капитал равен 11,635 (ROE).

Стоимость привлечения собственного капитала определяется по модели CAPM. Пусть в нашем случае она равна =9%.

Решение. Цена по модели Гордона равна .

Найдем g ожидаемые темпы роста .

Цена акции (или стоимость собственного капитала) равна .

Если акции в день проведения анализа продавались по цене 36,59, то их можно считать недооцененными.

Пример 12.[5] Инвестиционные фонды REIT созданные в 1970 году согласно закону имеют право инвестировать в недвижимость и передавать инвесторам прибыль, свободную от налогообложения. В 2000г фонд выплатил дивиденды в размере 2,12 на акции при прибыли на акцию в $22,22. Найти стоимость акции, если средний коэффициент бета для инвестиционных фондов недвижимости равен 0,69, безриcковая процентная ставка равна 5,4%, а премия за риск равна 4%.

Решение. EPS = $22,22; ROE = 12,29%; D₀ = 2,12$; = 8,16%. Найдем коэффициент выплаты дивидендовPR = D₀/EPS = 2,12/22,22 = 0,95. Стоимость привлеченного капитала по САРМ равна = 5,4 + 4* 0,69 = 8,16%. Ожидаемые темпы роста равны g = (1- 0,95)*12,29 = 0,55 %.

Стоимость акции равна = 2,12*(1+0,55)/(8,16- 0,55) = 28,03$. Если 14 мая 2001 года акции фонда продавались по цене 36, 57$, следовательно акции были значительно переоцененными.

Для расчетов стоимости акции по однофазной модели надо знать

Прибыль на акцию					EPS
Коэффициент выплат дивидендов				PR=D0/EPS
Дивиденды на акцию.					D0
Доход на собственный капитал					ROE
Коэффициент бета
безрисковая процентная ставка
Стоимость привлечения капитала по модели CAPM
ожидаемые темпы роста(если известно PR, то g рассчитывается)					g

Двухфазная модель.

В случае долгосрочных инвестиций используют модели, которые пытаются учесть жизненный цикл акции. Самой простой формой таких моделей является двухфазная модель, в рамках который рассматривается период ускоренного роста дивидендов и фаза стабильных темпов роста. Эта модель исходит из того, что высокие темпы роста могут наблюдаться лишь в ограниченном периоде времени, после которого компания входит в фазу более стабильного развития. Такая модель может быть описана так:

, (4.106)

где . Первый член уравнения показывает соответственно размер всех дивидендных выплат, осуществленных в период высоких темпов роста, тогда как второй - за период, начиная с N+1 и до бесконечности. Исключительные темпы роста -и стабильный рост.

Применение двухфазной модели.

Двухфазная модель применяется для фирм имеющих период быстрого роста. Например, компания получившая патент, фирма работает в отрасли, переживающей период быстрого роста, при этом существуют барьеры для входа на рынок для других фирм. Пример компанииProcter&Gamble.¹² Для фирм, выплачивающих дивиденды как остатки денежных потоков (оставшиеся после выплаты долга, реинвестирования).

Модель Н – двухфазная модель.

В этой модели предполагается, что темпы роста линейно падают.

Пример 13. Двухфазная модель для P&G. Компания сталкивается с двумя проблемами. Насыщение рынка США, где компания получает половину доходов. Рост конкуренции. Но предположим, что компания будет расти в течении следующих 5 лет за счет освоения новых рынков и введения новой продукции. Компания выплачивает высокие дивиденды, и не накопила за прошлое десятилетние значительных объемов денежных средств. Данные для расчетов приведены ниже.

Прибыль на акцию в 2000 г	3
Коэффициент выплат дивидендов	45,67%
Дивиденды на акцию в 2000г.	1,37
Доход на собственный капитал	29,37%
Коффициент бета	0,85
безрисковая процентная ставка	5,40%
премия за рыночный риск	4%

Стоимость собственного капитала = 5,4 + 0,85*4 = 8,8%.

Расчет ожидаемого роста можно провести по одной из моделей G = КНП *ROE * (1- PR).

КПН – коэффициент нераспределенной прибыли, который в данном случае примем равным 25% g = (1- 0,4567)*0,25 = 13,58%. По оценкам коэффициент бета поднимется до 1, стоимость собственного капитала равна = 5,4 + 4*1 = 9,4%.

Пусть темпы роста компании будут равны темпам роста экономики 5%, а доход на собственный капитал снизится до 15% ниже, чем по отрасли 17,4%.

КНП = g/ROE = 5/15 = 33,33%. Коэффициент выплат дивидендов равен 1- 0,3333= 0,6666.

(4.107).

Первая часть формулы – это приведенная стоимость дивидендов, которая равна

7,81$.

Вторая часть – это приведенная стоимость дивидендов во второй фазе

59,18$

Стоимость акции равна P= 7,81+59,18 = 66,99$.

Утверждается, что на момент проведения анализа 14.05.2000 акции P&G продавались по цене 63,90$, следовательно акции продаются с дисконтом.

Трехфазная модель.

Более сложной вариацией этой модели является трехфазная модель, в рамках которой рассматривается еще и так называемая переходная фаза. Она исходит из того, что развитие компании носит скорее поступательный нежели скачкообразный характер, а потому между фазами высоких и стабильных темпов роста можно выделить еще и переходный период. Модель в этом случае имеет вид:

Рис. 4.16. Трехфазная модель.

, (4.108)

где

,

В зависимости от компании продолжительность данных стадий, естественно, будет варьироваться. Так, молодые, быстро развивающиеся компании будут характеризоваться более продолжительной по сравнению со зрелыми компаниями фазой роста. Интересно, что, в соответствии с имеющимися данными, в среднем на стадию роста и переходную фазу приходится до 25% ожидаемых доходов, тогда как на стадию зрелости до 50%. Однако, это тоже зависит от политики компании. Так, компания с высокими темпами роста и низкими дивидендными выплатами как бы переносит относительный вклад на стадию зрелости, тогда как компании с обратной ситуацией – на стадию роста и переходную фазу.

Эта модель известна еще как Е-модель (E-earnings-доходы). Трехфазовая модель роста широко применяется инвесторами, поскольку позволяет получить вполне адекватные результаты. Так, например, она используется Salomon Brothers.

Стохастические дивидендные дисконтные модели

Стохастические дивидендным дисконтные модели предполагают, что поток будущих дивидендных выплат подчиняется стохастическому процессу, исходя из чего и находится приведенная стоимость. При этом рассматриваются процессы с характеристиками марковсокого движения, которое хорошо подходит для временных выплат типа дивидендов. Для процесса оценки неважна общая история – значение имеют лишь текущая величина дивиденда и вероятностный путь дальнейшего развития данного неопределенного процесса. Марковское же движение как раз и характеризуется тем, что не учитывает предыдущей истории. Данные модели делятся на два типа: биномиальные (предполагающие два исхода) и триномиальные (соответственно –3 возможных исхода).

Биномиальные модели предполагают, что дивидендные выплаты либо сохранятся на прежнем уровне, либо изменятся (при этом рассматривается изменение в какую-либо одну сторону - обычно повышения- но ни то и другое сразу). В свою очередь, они подразделяются на аддитивные и геометрические модели роста.

Аддитивная стохастическая модель роста имеет следующий вид:

с вероятностью увеличится

с вероятностью не изменится

где: d – прирост дивиденда в денежной форме;

p – вероятность, что дивиденд возрастет

(4.109)

Необходимо отметить, что данная модель также непременима для ситуации, когда темп роста дивидендов не является постоянным.

Следует учитывать, что всегда существует вероятность банкротства компании. С учетом этого можно рассчитать некий более низкий уровень цены:

с вероятностью р

D_t+1 = с вероятностью

0 с вероятностью

где p_B- вероятность банкротства.

(4.110)

Геометрическая же модель выглядит следующим образом:

D_t(1+g) с вероятностью р

D_t+1 = D_t с вероятностью (1-р)

(4.111)

Весьма важным является тот факт, что в отличии от всех предыдущих моделей, эта модель может быть более-менее удачно использована в ситуации изменчивых темпов роста дивидендов. Здесь также можно определить более низкий уровень цены с учетом вероятности банкротства компании:

(4.112)

И, наконец, рассмотрим триномиальную стохастическую модель, которая еще известна как обобщенная модель марковского роста. Для компаний является вполне естественным время от времени сокращать размер дивидендных выплат. Данная модель как раз позволяет учесть подобный вариант развития ситуации. Она, таким образом, предполагает три возможных исхода: дивиденды растут, падают, не изменяются.

Здесь также возможно два варианта роста: в арифметической и в геометрической прогрессиях.

Аддитивная версия данной модели имеет следующий вид:

D_t+d с вероятностью р_U

D_t+1 = D_t-d с вероятностью р_D

D_t с вероятностью (1-р_U -р_D)

где: р_U-вероятность того, что дивиденд возрастет; р_D- вероятность падения дивиденда.

(4.113)

Вполне очевидно, что если вероятность сокращения размера дивидендных выплат равна нулю, то модель автоматически преобразуется в уравнение, характеризующее соответствующую биномиальную модель.

С учетом вероятности банкротства имеем:

(4.114)

Рассмотрим геометрическая модель:

D_t(1+g) с вероятностью р_U

D_t+1 = D_t(1-g) с вероятностью р_D

D_t с вероятностью (1-р_U -р_D )

(4.115)

И также с учетом возможного банкротства компании:

(4.116)

Согласно проводимым «испытаниям» данных моделей триномиальные модели дают более правильные результаты оценки по сравнению с биномиальными. Что же касается выбора между использованием аддитивных или же геометрических моделей, то здесь не наблюдалось каких-либо преимуществ – оба типа являются равноправными, так как для одних компаний более адекватные результаты были получены с применением первых, а для других больше подходили геометрические модели.

Главным преимуществом стохастических ДДМ является возможность построения распределения величины Р, так как она представляет собой случайную величину. Это дает возможность оценить, насколько значим полученный путем применения ДДМ результат. Однако, весьма сложно определить тип распределения этой приведенной стоимости, и тем более, его параметры (дисперсия и т.д.). Обычно, чтобы сгенерировать данное распределение и оценки его параметров используется метод симуляции Монте-Карло. Иногда, правда, отталкиваются от предположения, что распределение является нормальным. В этом случае представляется возможным рассчитать основные характеристики распределения. Результаты порой бывают вполне удовлетворительными и совпадают с теми, что получаются по методу Монте - Карло, однако такое предположение не является обоснованным, поэтому все же наилучшим вариантом является использование вышеуказанного метода.

Несмотря на то, что применение стохастических моделей еще не получило достаточного применения на практике, они дают более удовлетворительные результаты, а также позволяют сделать вывод об статистической значимости моделей

Общим же недостатком ДДМ является, прежде всего, проблема оценки исходных (необходимых для расчета) данных – как более точно определить, например, конечную цену? Вопрос остается открытым. Во-вторых, надо понимать, что ДДМ говорят лишь об относительной стоимости акций, но не дают никакой информации о том, когда можно ожидать начало движения рыночной цены акции к ее теоретической/внутренней стоимости. А значит, можно купить акции некой компании, решив на основе проведенного анализа, что они являются недооцененными, и прождать весьма неопределенный период времени, прежде чем они войдут в цену. Но это уже другой вопрос, касающийся скорее инвестиционной стратегии.

Вообще же, ДДМ являются весьма популярным среди инвесторов инструментом, поскольку, являясь беспристрастными к влиянию рынка, позволяют получить достаточно достоверные оценки внутренней стоимости компании. Однако, еще более достоверные результаты можно получить, если использовать их наряду, например, с факторными моделями.

Критика модели. Модель дает слишком консервативную оценку стоимости. Модель не включает других способов отдачи денег акционерам. Но это возможно сделать в модифицированной версии модели.

Проверки модели дисконтирования. Проверка модели заключается в ее возможности предсказывать переоцененные и недооцененные акции. Результаты исследования показывают, что в долгосрочном периоде модель дает избыточную доходность.