4.3. Риск и доходность портфеля акций.

Доходность и риск портфеля из Nбумаг.

Пусть необходимо сформировать портфель, состоящий из N акций. Известны r_i доходности, -дисперсия (вариации доходности) и ковариационная матрица. Эти данные, как было показано выше, рассчитывается финансовыми аналитиками, например, по историческим данным. Пусть доля капитала, которая вложена в i –тую акцию равна . Эти доли обычно называют весами. Доходность портфеля равна средневзвешенной доходности активов

(4.19)

Под риском портфеля, как и отдельного актива, понимается корень квадратный из дисперсии

(4.20)

ковариационная матрица активов, входящих в портфель. Для проведения расчетов удобно ввести матричную форму записи доходности и вариации портфеля. Обозначим доходности активов, как вектор–строку

R = (r₁, r₁,r₃,…..r_N) (4.21)

Доли активов (ценных бумаг) в портфеле обозначим как вектор – столбец

(4.22)

Матрицу вариаций-ковариаций активов обозначим, как VCV

VCV=, (4.23)

где Доходность портфеля равна произведению матрицы доходностей активовна матрицу долей активов

(4.24)

Дисперсия доходности портфеля равна произведению трех матриц

(4.25)

Матричная форма записи доходности и вариации портфеля из N акций позволяет использовать для вычисления характеристик портфеля методы линейной алгебры. В Excel для этого существуют встроенные математические функции, которые существенно облегчает процедуру расчета.

Пример 3. Рассчитать доходность и риск портфеля, состоящего из 3-х акций, доли которых относятся как 5:2:3. Риски, доходности и ковариация акций приведены ниже в таблицах доходности и матрицы вариаций ковариаций.

Таблица 4.3. Доходности и риск акций.

акции	Акции 1	Акции 2	Акции 3
r-доходность	0,23	0,14	0,05
риск (стандартное отклонение)	0,96	0,93	0,73

Таблица 4.4. Матрица вариаций ковариаций.

	Акции 1	Акции 2	Акции 3
Акции 1	0,922	0,070	-0,647
Акции 2	0,070	0,861	-0,399
Акции 3	-0,647	-0,399	0,528

Решение. Сформируем вектора доходности и весов акций, входящих в портфель.

Вектор строк доходностей равен R= (0,23; 0,14; 0,5)

Вектор долей акций равен

Доходность портфеля равна

Дисперсия доходности равна

= = 0,084

Риск портфеля равен = 0,29.

Расчет в Excel приведен ниже. Риск портфеля меньше, чем риск входящих в него активов.

Рис. 4.2. Пример расчета доходности и риска портфеля вExcel.

Для расчета доходности курсор поместить в ячейку К15, затем вызвать функцию

CУММПРОИЗВ( ) в опцию массив1 записать адреса ячеек, содержащих доходности акций (С6:E6), а в опцию массив 2 записать функцию ТРАНСП(адреса ячеек, содержащих веса акций в портфеле). Эта формула, как видно на рис. 4.2 и записана в ячейке K14. Затем нажать комбинацию клавиш CTRL+Shift+Enter.

Для расчета дисперсии в ячейку К18 записать формулу, МУМНОЖ(ТРАНСП(I11:I13); МУМНОЖ(D17:F19; I11:I13)), нажать комбинацию клавиш CTRL+Shift+Enter.

Диверсификация.

Основной задачей для инвестора при формировании портфеля ценных бумаг является создание портфеля с максимально возможной доходностью и минимальным риском. Теория портфеля решает эту задачу. В основном риск и доходность портфеля зависят от числа различных акций (диверсификация) в портфеле, от долей акций в портфеле и коэффициента корреляции между акциями.

Диверсификация – это способ уменьшения риска путем инвестирования в несколько акций. Если доли акций в портфеле одинаковы, то такую диверсификацию называют наивной.

Рассмотрим, как влияет число акций в портфеле на значение его риска. Вариация портфеля из N бумаг равна.

(4.26)

Если веса акций в портфеле равны, то , гдеN – число бумаг в портфеле. После подстановки _i =1/N в (4.26) получим

(4.27)

Как видно из формулы (4.27) риск портфеля состоит риска, вносимого каждой акцией – специфический риск и риска, связанного с другими акциями- неустранимый риск. Поскольку все вариации и ковариации не могут более некоторой величины

, (4.28)

то вариация портфеля не может быть больше, чем

. (4.29)

При увеличении числа бумаг в портфеле специфический риск сводится к нулю

. Это так называемый диверсифицируемый риск. Остается неустранимый риск или недиверсифицируемый риск

(4.30)

Исключить недиферсифицируемый риск невозможно, его можно только за счет включения в портфель некоррелируемых акций у которыхcov(i,j)  0. В литературе диверсифицируемый риск называют специфическим (присущим данному активу), а недиверсифицирумый риск называют систематическим (неспецифическим). Недиверсифицируемый риск связан со стохастической природой финансового рынка. В работах по исследованию влияния числа акций в портфеле на величину риска портфеля было получено, что для случайным образом сформированных портфелей с различными весами и размерами, начиная с 15-20 акций в портфеле, величина риска портфеля практически не изменяется. Таким образом, небольшие портфели, имеющие небольшие транзакционные издержки могут иметь тот же риск, что и наивно сформированные портфели, с большим количеством бумаг.

Рассмотрим, как влияют веса акций в портфеле на риск и доходность портфеля.

Пример . Для акций трех фирм рассмотренных выше (таблицы 4.3-4.4) сформируем несколько портфелей с разными весами. Пусть доли акций в портфеле меняются, как показано в таблице.

Таблица 4.5. Доли акций в портфелях.

портфели	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Акции 1	0	0,5	0,2	0	0,3	0,5	0,5	0,5	1	0
Акции 2	0	0	0,3	0,5	0,2	0,5	0,2	0,3	0	1
Акции 3	1	0,5	0,5	0,5	0,5	0	0,3	0,2	0	0

Рассчитаем доходность и риск каждого портфеля по формулам (4.24, 4.25). В теории портфеля принято изображать множество возможных портфелей на плоскости «Доходность – риск» - (, ). Каждый портфель на этой плоскости изображается точкой.

Рис. 4.3. Портфели с различными долями акций.

На рисунке квадратами отмечены портфели, состоящие из одной акции. Как видно из рисунка портфели, составленные из нескольких акций, имеют риск, меньший, чем из одной акции. Все портфели, составленные из трех акций, расположены левее портфелей состоящих из одной акции. Они имеют меньший риск. Можно найти такие доли акций в портфеле, при которых риск портфеля минимален. Таким образом, управлять риском портфеля можно, изменяя веса акций в портфеле и число акций в портфеле. Вклад в величину риска портфеля каждой акцией осуществляется через свою вариацию и ковариацию. Рассмотрим, как влияет коэффициент корреляции между акциями на риск и доходность портфеля.

Пример 5. Для портфеля из двух акций А и В. Построить множество возможных портфелей для различных значений коэффициентов корреляции и долей акций в портфеле. Для акции А доходность равна 10%, дисперсия равна 2%. Для акции В доходности равна 20%, дисперсия равна 8%.

Решение. Построим множество возможных портфелей для коэффициентов корреляции равных {-1;-0,5;0;0,5;1}, задавая различные доли акции А в портфеле = (0; 0,1; 0,2; …0,9; 1). Доля акций В равна. Доходность и риск портфеля из двух бумаг легко рассчитать аналитически из формул (4.19 – 4.20)

Проведя в Excel расчеты по этим формулам, получим множество возможных портфелей для различных значений коэффициентов корреляций (рис.4.8).

Рис.4.8. Множество возможных портфелей для различных значений коэффициентов корреляций активов, входящих в портфель и различных долей этих активов.

Как видно из рисунка корреляция между акциями оказывает сильное влияние на риск портфеля. Множество возможных портфелей при различных коэффициентах корреляций ограничено. Границей множества являются портфели с коэффициентом корреляции . Эта граница имеет вид «пули». При некоторых долях акций риск можно полностью исключить, если бумаги имеют отрицательную корреляцию. С ростом корреляции доходностей активов, входящих в портфель, увеличивается риск портфеля при равных долях акций в портфеле. При отрицательной корреляции акций в портфеле, его риск уменьшается. На практике активов с отрицательными корреляциями очень мало.

Пример Тобина

Тобин показал, что для принятия решений о выборе того или иного портфеля среднее и дисперсия не являются достаточными критериями, если учитывать вероятности реализации той или иной доходности. Пусть имеется следующая статистика

Портфель	Доходность	Вероятность доходности	Ожидаемaя доходность	Дисперсия доходности (Риск)	коэффициент вариации
1	0,24	1/3	0,12	0,098	0,82
	0,12	1/3
	0,00	1/3
2	0,14	1/3	0,06	0,065	0,92
	0,06	1/3
	-0,02	1/3
3	0,1429	0,98	0,12	0,16	0,75
	-1,0	0,02
4	1,2421	0,02	0,12	0,16	0,75
	0,0971	0,98

Из таблицы следует, что портфели 3 и 4 имеют одинаковые соотношения риска и доходности, однако вероятность получения высокодоходного исхода для портфеля 3 очень мала.