Средняя хронологическая величина.

Иногда при анализе социально-экономических показателей, необходимо определить среднюю, если имеются данные равностоящего моментного ряда динамики. Например. численность работников предприятия, запасы товара на складах, стоимость имущества предприятия. В этих случаях используется средняя хронологическая.

1/2 х₁ + х₂+х₃+…+1/2х_n

х_хр = ————————— (6.5)

n - 1

Средняя гармоническая величина

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение fх, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы определить среднюю, обозначим fх= w, откуда f=w/x

w₁+ w₂+w₃+…+w_n Σ w

х _гар = ————————— = —— (6.6)

w₁/x₁ +w₂/x₂+…+w_n/x₃ Σ w/x

Средняя геометрическая величина

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин. Например, в расчетах среднегодовых темпов роста.

Хг = ⁿ√х₁ × х₂ × …× х_n (6.7)

Пример, в результате инфляции за 1 год цена товара возросла в 2 раза по отношению к предыдущему году. За 2 год цена увеличилась в 3 раза по отношению к предыдущему году. Рассчитать средний темп роста цены.

Хг = √2 × 3 = √ 6 = 2,45 – в среднем цена возросла в 2,45 раза.

Средняя квадратическая и кубическая.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны кубов). Но в практике статистики имеют ограниченное применение.

х₁² + х₂²+…+х_n² Σ х² Σ x³

х_кв = √ ————————— = √—— (6.8) х_куб = ³√—— (6.10)

n n n

Σ x² f Σ x³ f

х_{кв вз.} = √ ——, (6.9) х_{куб вз.} = ³√ ——, (6.11)

Σ f Σ f

Структурные средние

применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.

Например, в табл.7.1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

f_Мо + f _Мо-1

Мо = Х _Мо + i _Мо -------------------------------------- (6.12)

(f_Мо + f _Мо-1) – (f_Мо + f _Мо+1)

Где Х_Мо – нижняя граница модального интервала;

i_Мо – модальный интервал;

f_Мо, f _Мо-1, f _Мо+1 – частоты в модальной, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

По данным задачи 6 рассчитаем моду.

Мо = 3+2 ( (115-60)/ (115-60) + (115-43)) = 3,7 лет.

Медиана – это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части (по числе единиц) – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Что бы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

N_Ме = (n + 1) /2 (6.13)

Где n – число членов ряда.

Например. Имеются данные по зарплате 9 работников, руб.

6300, 6500, 6800, 6900, 7000, 7100, 7200, 7300, 7500

N_Ме = 5 Ме= 7000 руб. (т.е. одна половины рабочих получила зарплату менее 7000 руб., а другая – более.)

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медиана определяется по формуле:

( ∑ f) /2 - S _Ме-1

Ме =Х_Ме + i_Ме--------------------- (6.14)

f _Ме

Где Х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

i_{Ме –} медианный интервал;

( ∑ f) /2 - половина от общего числа наблюдений;

S _Ме-1 - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f _Ме - число наблюдений в медианном интервале.

Рассчитаем медиану по данным задачи 6. Прежде найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет 2 интервал (3—5 лет), поскольку его кумулятивная частота равна 60+ 125=185, что превышает половину суммы всех частот (250:2 = 125). Нижняя граница интервала 3 года., его частота 115; частота накопленная до него, равна 60.

Подставив данные в формулу (6.14), получим, лет:

Ме = 3+2 (125-60)/115 = 4,13.

Полученный результат говорит о том, что из 250 грузовых машин предприятий 125 машин имеют срок службы менее 4,13 лет, а 125 машин - более.

Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности.

Мода и медиана в отличие от степенных средних является конкретными характеристиками, их значение имеет какого-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношении моды, медианы и средней арифметической позволяет оценит ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются математической статистике для анализа формы рядов распределения.