- •1. Теоретические основы математическая статистика Генеральная совокупность и выборка
- •Графическое представление вариационного ряда
- •Нормальное распределение
- •Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений
- •Характеристики положения
- •1. Среднее арифметическое значение
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Характеристики рассеяния результатов измерений
- •1. Размах вариации
- •2. Дисперсия
- •4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)
- •5. Коэффициент вариации
- •Характеристики формы распределения
- •2. Методика выполнения расчётно-графической работы №1
- •Пример выполнения расчётно-графической работы №1. Пример
- •Графическое представление вариационного ряда
- •Аналитический анализ.
- •3. Теоретические основы корреляционный анализ
- •Определение формы связи
- •Определение направления взаимосвязи
- •Определение степени или тесноты взаимосвязи
- •Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (r). Коэффициент детерминации (d)
- •Оценка достоверности статистических показателей
- •Статистические гипотезы
- •Виды статистических гипотез
- •Достоверность коэффициента корреляции
- •Регрессионный анализ
- •Линейная регрессия
- •Расчёт коэффициентов уравнений линейной регрессии
- •2. Методика выполнения расчётно-графической работы №2
- •Москва – 2012
- •Пример выполнения расчётно-графической работы №2.
- •Приложение
Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений
К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариационного ряда) относятся характеристики положения (средние характеристики, или центральная тенденция выборки); характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости) и характеристики формы распределения.
К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значение (среднее значение), мода и медиана.
К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости) относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, ошибка средней арифметической (ошибка средней), коэффициент вариации и др.
К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера скошенности и эксцесс.
Далее приводятся формулы для расчёта основных статистических характеристик, причём предлагаются расчётные формулы как для несгруппированных данных, так и для данных, сгруппированных в интервалы.
Характеристики положения
1. Среднее арифметическое значение
Среднее арифметическое значение – одна из основных характеристик выборки.
Она, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.
Точность вычисления по необработанным данным выше, но процесс вычисления оказывается трудоёмким при большом объёме выборки.
Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по формуле:
,
где n- объем выборки, х1, х2, ... хn - результаты измерений.
Для сгруппированных данных:
,
где n- объем выборки, k – число интервалов группировки, ni – частоты интервалов, xi – срединные значения интервалов.
2. Мода
Определение 1. Мода - наиболее часто встречающаяся величина в данных выборки. Обозначается Мо и определяется по формуле:
,
где - нижняя граница модального интервала,- ширина интервала группировки,- частота модального интервала,- частота интервала, предшествующего модальному,- частота интервала, последующего за модальным.
Определение 2. Модой Мо дискретной случайной величиныназывается наиболее вероятное её значение.
Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой распределения.Бываютдвухмодальные и многомодальныераспределения. Встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимума. Такие распределения называютсяантимодальными.
Определение. Модальным интервалом называется интервал группировки с наибольшей частотой.
3. Медиана
Определение. Медиана - результат измерения, который находится в середине ранжированного ряда, иначе говоря, медианой называется значение признака Х, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше её, а вторая половина – больше, обозначается Ме.
Когда объем выборки n - четное число, т. е. результатов измерений четное количество, то для определения медианы рассчитывается среднее значение двух показателей выборки, находящихся в середине ранжированного ряда.
Для данных, сгруппированных в интервалы, медиану определяют по формуле:
,
где - нижняя граница медианного интервала;ширина интервала группировки, 0,5n – половина объёма выборки, - частота медианного интервала,- накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
Определение. Медианным интервалом называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n/2) или накопленная частость окажется больше 0,5.
Численные значения среднего, моды и медианы отличаются, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.