- •1. Теоретические основы математическая статистика Генеральная совокупность и выборка
- •Графическое представление вариационного ряда
- •Нормальное распределение
- •Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений
- •Характеристики положения
- •1. Среднее арифметическое значение
- •2. Мода
- •3. Медиана
- •Характеристики рассеяния результатов измерений
- •1. Размах вариации
- •2. Дисперсия
- •4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)
- •5. Коэффициент вариации
- •Характеристики формы распределения
- •2. Методика выполнения расчётно-графической работы №1
- •Пример выполнения расчётно-графической работы №1. Пример
- •Графическое представление вариационного ряда
- •Аналитический анализ.
- •3. Теоретические основы корреляционный анализ
- •Определение формы связи
- •Определение направления взаимосвязи
- •Определение степени или тесноты взаимосвязи
- •Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (r). Коэффициент детерминации (d)
- •Оценка достоверности статистических показателей
- •Статистические гипотезы
- •Виды статистических гипотез
- •Достоверность коэффициента корреляции
- •Регрессионный анализ
- •Линейная регрессия
- •Расчёт коэффициентов уравнений линейной регрессии
- •2. Методика выполнения расчётно-графической работы №2
- •Москва – 2012
- •Пример выполнения расчётно-графической работы №2.
- •Приложение
Характеристики рассеяния результатов измерений
Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значения может характеризовать совершенно различные выборки.
Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости) результатов.
1. Размах вариации
Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется
R=Xmax - Xmin .
Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах выборки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.
2. Дисперсия
Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.
Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле
2 =, (1)
где Хi – значение признака, - среднее арифметическое.
Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле
,
где хi – среднее значение i интервала группировки, ni – частоты интервалов.
Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округлении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая формула:
2 =,
для сгруппированных данных:
.
Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.
В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются одновременно, используются формулы:
для несгруппированных данных:
2 =,
для сгруппированных данных:
.
3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение
Определение. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение характеризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы.
Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам
=,
=или =.
Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам:
,
или .
4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)
Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле:
.
Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки.
5. Коэффициент вариации
Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах:
.
Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности.