Определение направления взаимосвязи
Кроме формы взаимосвязи, корреляционное поле позволяет определить направление взаимосвязи (рис. 15):
если между исследуемыми признаками наблюдается прямо пропорциональная зависимость, т. е. с увеличением одного показателя увеличивается и другой, то взаимосвязь положительная;
если же зависимость обратно пропорциональная, т. е. с увеличением одного показателя другой уменьшается, то имеет место отрицательная взаимосвязь.
В первом случае при расчёте коэффициент корреляции получается со знаком «+», а во втором случае – со знаком «-».
Рис 15. Направление связи
Определение степени или тесноты взаимосвязи
Анализ корреляционного поля позволяет определить не только форму и направление взаимосвязи, но и степень зависимости, или тесноту (силу) связи. Ниже приводятся графики при различной степени связи с соответствующими им коэффициентами корреляции при положительной зависимости (рис. 16а) и при отрицательной зависимости (рис. 16б).
Как видно из рисунка, чем ближе корреляционное поле к прямой, тем больше по модулю коэффициент корреляции, значит, тем сильнее зависимость между исследуемыми результатами; а чем ближе форма корреляционного поля к окружности, тем меньше по модулю коэффициент корреляции и тем слабее зависимость между исследуемыми результатами.
По приведённым графикам видно, что в случае, когда коэффициент корреляции равен +1 или -1, то наблюдается функциональная взаимосвязь, т. к. значению одного показателя соответствует только одно значение другого и поэтому никакой вариации на корреляционном поле не наблюдается.
Причём, если в первом ряду представлены виды прямо пропорциональной зависимости корреляционного поля, когда увеличение одного показателя связано с увеличением другого; то во втором ряду представлены виды обратно пропорциональной зависимости корреляционного поля, когда увеличение одного показателя связано с уменьшением другого (в среднем).
Таким образом, по виду корреляционного поля можно судить о степени взаимосвязи между исследуемыми показателями и сделать предварительный вывод, который затем подтверждается расчётом коэффициента корреляции, приведённым ниже.
а)
б)
Рис 16. Степень связи
Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (r). Коэффициент детерминации (d)
Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона вычисляется в том случае, когда между показателями исследуемых выборок (Хi и Уi) существует линейная связь.
Если Х и У независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0. Заметим, что обратное утверждение неверно. Если r = 0, то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости, но это условие не исключает существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (параболической, показательной и др.)
Одна из формул для расчета коэффициента корреляции Бравэ-Пирсона:
где Xi, Yi - показатели первой и второй выборок соответственно;
- средние арифметические значения первой
и второй выборок соответственно;
- стандартные отклонения первой и второй
выборок соответственно;
n - объем каждой выборки.
Абсолютная
величина коэффициента корреляции не
превосходит единицы:
< 1.
Коэффициент
корреляции характеризует степень
зависимости, или тесноту (силу) зависимости
между Х
и У,
чем больше
,
т. е. чем ближе он к 1, тем сильнее (теснее)
связь между изучаемыми признаками, а
чем ближе он к 0, тем слабее.
Принято считать, если:
коэффициент корреляции равен 1, то между исследуемыми признаками наблюдается функциональная связь;
изменяется от 0,9 до 0,7 - сильная статистическая связь;
изменяется от 0,69 до 0,5 - средняя статистическая связь;
изменяется от 0,49 до 0,2 - слабая статистическая связь;
коэффициент корреляции равен нулю - то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.
Таким образом, коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона r используется только при наличии линейной взаимосвязи между исследуемыми признаками. Существует несколько видов коэффициентов корреляции: парный линейный коэффициент корреляции Бравэ - Пирсона r, ранговый коэффициент корреляции Спирмэна , тетрахорический коэффициент сопряженности Т, коэффициент множественной корреляции rxyz, коэффициент частной корреляции rxyz.
После вычисления любого из перечисленных выше коэффициентов корреляции, необходимо рассчитать его достоверность с использованием критерия Стьюдента.
В некоторых случаях тесноту связи случайных величин характеризуют коэффициентом детерминации D, равным:
.
Коэффициент детерминации показывает, какой процент взаимосвязи результатов двух выборок объясняется их взаимовлиянием.
Остальная часть (100 - D)% объясняется влиянием других неучтённых факторов.