Методические указания Предел функции

Пусть функция ƒ(x) задана в некоторой окрестности точки х₀.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀ если для любого, сколь угодно малого положительного числа найдётся такое положительное число δ>0, зависящее от ε, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<, выполняется неравенство. Этот предел функции обозначается: или ƒ(х)→А при х→х₀.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

если существуют и, то

1) ;

2) ;

3) ;

4) (при).

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х₀, или при х→∞, если её предел равен нулю

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х₀ (или при х→х₀), если имеет место одно из равенств: .

Теорема ( о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) : если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х₀, то ─ бесконечно большая функция при х→х₀, и наоборот.

Первый замечательный предел .

Второй замечательный предел .

Пример 1

Поскольку функция непрерывна в точке х=7, искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о пределах суммы, разности, частного, получим

.

Пример 2

При х→5 числитель (2х + 5) стремится к 2 ∙ 5 + 5 = 15 (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель (х – 5) – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной), очевидно, их отношение есть величина бесконечно большая, т.е. .

В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределённостями: _{, , , .}

Пример 3

Пример 4

Пример 5 .

Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х² ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

.

Здесь мы воспользовались теоремой о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций : (a – любое число).

Производная и дифференциал

Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку хХ. Дадим значению х приращение , тогда функция получит приращение .

Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению переменной х, при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Основные правила дифференцирования

Если С ─ постоянное число, ─ функции, имеющие производные, тогда:

; (I)

;(II)

; (III)

; (IV)

. (V)

Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргу­ментов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. (VI).

Таблица производных основных функций

№	Формула		Формула
1		15
2	(	16
3		17
4	(	18
5		19
6		20
7		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26
14		27

Пример 6 Найти производные функций:

a) ; b); c).

Решение:

а) функцию можно представить в виде , где , воспользуемся правилом дифференцирования (VI) и формулами таблицы производных ;

b) функция представлена произведением двух функций, на основании правила (IV)

c) функцию можно представить в виде,

где , используя формулы таблицы производных и правила дифференцирования (V) и (VI) получим:

Определение. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. . Итак, дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента:.

Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести понятие частной производной нескольких переменных.

Определение. Величина называется полным приращением функции в точке(х, у). Если задать только приращение аргумента или только приращения аргумента, то полученные приращения функции соответственно:иназываются частными.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменнойназывается конечный предел,вычисленный при постоянном .

Определение. Частной производной от функции поназывается конечный предел,вычисленный при постоянном .

Обозначается частная производная так: или _.

Пример 7 Найти частные производные функций^:

a) ; b)

Решение:

а) при нахождении частной производной по х будем рассматривать как величину постоянную. Получим:.

Аналогично, дифференцируя по у, считаем постоянной величиной, т.е. .

b) при фиксированном имеем степенную функцию отх, таким образом, _;

при фиксированном функция является показательной относительно, тогда _.

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

Пример 8 Найти полный дифференциал функции .

Решение: ;;.