Признаки сходимости числового ряда
Необходимый признак сходимости числового ряда
Если ряд (11) сходится,
то его общий член un
стремится к
0, т. е.
.
Если 
или этот предел не существует, то ряд
расходится.
Пример 28
Исследовать сходимость ряда
Решение : Проверим выполнение необходимого признака сходимости.
,
необходимое условие сходимости не
выполняется, поэтому ряд расходится.
Необходимое условие
сходимости не позволяет однозначно
ответить на вопрос о сходимости ряда.
Это означает, что существуют расходящиеся
ряды, для которых 
.
Достаточные признаки сходимости числового ряда с положительными членами
Признак Даламбера.
Пусть дан
ряд (11) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный ,
тогда если
,
то ряд сходится, если
,
то ряд расходится, если ,то вопрос о
сходимости ряда остается открытым.
Пример 29
Исследовать ряд на сходимость а) б) 
Решение: а)
,
;
;
по
признаку Даламбера ряд сходится;
б)
,
.
По признаку Даламбера
<
1, ряд сходится.
Замечание. Признак Даламбера применяется когда общий член ряда содержит выражение вида n! или аn.
Признак Коши.
Пусть дан
ряд (11) с положительными членами и
существует конечный или бесконечный
предел . Тогда, если
,
то ряд сходится, если
,
то ряд расходится, если ,то вопрос о
сходимости ряда остается открытым.
Пример 30
а)
б)
Решение. По признаку Коши.
а)
=
,
ряд сходится. б) ,
ряд расходится.
Интегральный
признак.
Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены, как числовые
значения некоторой функции
f(x):
u1=f(1),
u2=f(2),
u3=f(3),…
и функция
f(x)
─ непрерывная,
монотонно убывающая на интервале (1;
+
),
то:
если сходится, то сходится и ряд (1);
если расходится, то расходится так же и ряд (1).
Признак сравнения.
Пусть даны
два знакоположительных ряда и , для
всех n
выполняется неравенство 
,
то если ряд сходится, то и ряд сходится,
если ряд расходится, то и ряд расходится.
Для сравнения часто используются «эталонные» ряды:
Геометрический
ряд
–
сходится при , расходится при .
Гармонический ряд – расходится.
Обобщённый гармонический ряд ,сходится при , расходится при .
Знакочередующиеся ряды.
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
u1 - u2 + u3 - u4 +…+(-1)n+1un + …= . (12)
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия :
1)последовательность
абсолютных величин членов ряда монотонно
убывает, т.е.
2)
общий член ряда стремится к нулю
.
Пример 31 Исследовать ряд на сходимость.
Решение: Проверим выполнение условий признака Лейбница
1) ;
;
члены ряда
убывают по абсолютной величине.
2) , условия признака Лейбница выполняются, данный ряд сходится.
Пример 32
Исследовать
сходимость ряда . Решение:
1)
;
;
члены ряда убывают по абсолютной
величине;
2)
, второе условие признака Лейбница не
выполняется, ряд расходится.