- •Программа дисциплины
- •Раздел 1. Введение. Функции одной переменной
- •Раздел 2. Теория пределов
- •Раздел 3. Непрерывные функции
- •Раздел 4. Производная функции одной переменной
- •Раздел 5. Теоремы дифференциального вычисления. Исследование функций и построение графиков
- •Раздел 6. Функции нескольких переменных
- •Раздел 7. Неопределенный интеграл
- •Раздел 8. Определённый интеграл
- •Раздел 9. Ряды
- •Раздел 10. Дифференциальные уравнения
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Методические указания Предел функции
- •Производная и дифференциал
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Применение понятия производной в экономике. Эластичность функции
- •Интегралы
- •Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •Числовые и степенные ряды
- •Признаки сходимости числового ряда
- •Достаточные признаки сходимости числового ряда с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды.
- •Степенные ряды
- •Задания для выполнения контрольной работы
Степенные ряды
Определение. Ряд вида a0 + a1x+ a2x2+…+anx n+…= – (13) называется степенным.
Числа a0, a1,… a2, …an …называются коэффициентами ряда,
─действительная переменная.
Теорема. Степенной ряд (13) сходится при значениях х, содержащихся в некотором интервале (-R, R) и расходится при значениях х вне этого интервала. Этот интервал называется интервалом сходимости, а число R ─ радиусом сходимости.
Формула для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
(14)
Пример 33 Определить радиус сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала .
Решение: Найдём коэффициенты
, Найдем ;
R=3, значит ряд сходится на интервале (-3; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При x = 3, получаем ряд , ряд расходится, как гармонический.
При x = -3, получаем знакочередующийся ряд , этот ряд сходится (по признаку Лейбница). Таким образом, ряд сходится для всех.
Пример 34 Найти область сходимости степенного ряда .
Найдём радиус сходимости ,,
,─ интервал сходимости.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При , получим ряд
Для исследования ряда на сходимость воспользуемся интегральным признаком сходимости, в качестве функции f(x) возьмём функцию .
Несобственный интеграл расходится , следовательно и ряд расходится.
При получим ряд, по признаку Лейбница ряд сходится, таким образом, интервал сходимости.
Задания для выполнения контрольной работы
Задание 1. Найти предел.
Таблица 2 ─ Данные задания 1
№ |
|
№ |
|
1 |
а)
б) |
11
|
а)
б) |
2 |
а) б) |
12
|
а)
б) |
3 |
а)
б) |
13
|
а)
б) |
4 |
а) б) |
14
|
а)
б) |
5 |
а)
б) |
15
|
а)
б) |
6 |
а) б) |
16
|
а)
б) |
7 |
а) б)
|
17
|
а)
б) |
8 |
а)
б) |
18 |
а)
б) |
9 |
а)
б) |
19 |
а)
б) |
10 |
а)
б) |
20
|
а)
б) |
Задание 2. Найти: а) производную функции
б) полный дифференциал функции
Таблица 3 ─ Данные задания 2
№ |
|
№ |
|
1 |
а) б) |
11
|
а) б) |
2 |
a) б) |
12
|
а) б) |
3 |
а) б) |
13
|
а) б) |
4 |
а) б) |
14 |
а) б) |
5 |
а) б) |
15 |
а) б) |
6 |
а) б) |
16 |
а) б) |
7 |
а) б) |
17 |
а) б) |
8 |
а) б) |
18
|
а) б) |
9 |
а) б)
|
19
|
а) б) |
10 |
а) б) |
20
|
а) б) |
Задание 3. Исследовать функцию и построить график
Таблица 4 ─ Данные задания 3
№ |
|
№ |
|
1 |
11 | ||
2 |
12 | ||
3 |
13 | ||
4 |
14 | ||
5 |
|
15 | |
6 |
16 |
| |
7 |
17 | ||
8 |
18 | ||
9 |
|
19 | |
10 |
20 |
Задание 4.
1 ─ 5. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
1. (усл.ед.), р = 4 (ден.ед.).
2.(усл.ед.), р = 8 (ден.ед.).
3. (усл.ед.), р = 4 (ден.ед.).
4. (усл.ед.), р = 3 (ден.ед.).
5. (усл.ед.), р = 2 (ден.ед.).
6 ─ 10. Спрос на товар (Д) в зависимости от дохода потребителей (х) определяется функцией Д(х). Рассчитать эластичность функции спроса относительно дохода и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
6. (усл.ед.), х = 2 (ден.ед.).
7. (усл.ед.), х = 4 (ден.ед.).
8. (усл.ед.), х = 2 (ден.ед.).
9. (усл.ед.), х = 3 (ден.ед.).
10. (усл.ед.), х = 8 (ден.ед.).
11─15. Пусть функция полных затрат имеет вид К(х), где х ─ объём производимой продукции. Рассчитать эластичность функции полных затрат и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
11. (ден.ед.), х = 30 (усл.ед.).
12. (ден.ед.), х = 20 (усл.ед.).
13. (ден.ед.), х = 4 (усл.ед.).
14.(ден.ед.), х = 25 (усл.ед.).
15. (ден.ед.), х = 3 (усл.ед.).
16 ─ 20. Спрос на товар (Q) относительно цены (р) определяется функцией Q(p). Рассчитать эластичность функции спроса относительно цены и найти значение показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
16. (усл.ед.), р = 2 (ден.ед.).
17. (усл.ед.), р = 12 (ден.ед.).
18. (усл.ед.), р = 10 (ден.ед.).
19. (усл.ед.), р = 2 (ден.ед.).
20. (усл.ед.), р = 10 (ден.ед.).
Задание 5. Найти интеграл
Таблица 5 ─ Данные задания 5
№ |
|
№ |
|
1 |
а) б) в) |
11 |
а) б) в) |
2 |
а) б) в) |
12 |
а) б) в) |
3 |
а) б) в) |
13 |
а) б) в) |
4 |
а) б) в) |
14 |
а) б) в) |
5 |
а) б) в) |
15 |
а) б) в) |
6 |
а) б) в) |
16 |
а) б) в) |
7 |
а) б) в) |
17 |
а) б) в) |
8 |
а) б) в) |
18 |
а) б) в) |
9 |
а) б) в) |
19 |
а) б) в) |
10 |
а) б) в) |
20 |
а) б) в) |
Задание 6. Решить дифференциальные уравнения.
Таблица 6 ─ Данные задания 6
№ |
|
№ |
|
1 |
а) б) |
11 |
а) б) |
2 |
а) х+xy+(y+2xy)=0 б) |
12 |
а) б) |
3 |
a) 2 б) |
13 |
а) б) |
4 |
a) б) |
14 |
а) б) |
5 |
а) (1+) +(1+)=0 б) |
15 |
а) б) |
6 |
а) б) |
16 |
а) б) |
7 |
а) б) |
17 |
а) б) |
8 |
а) 2(1+e б) |
18 |
а) б) |
9 |
а) б) |
19 |
а) б) |
10 |
а) б) |
20 |
а) б) |
Задание 7. Исследовать ряд на сходимость.
Таблица 7 ─ Данные задания 7
№ |
|
№ |
|
1 |
а) б) |
11 |
а) ; б) |
2 |
а) ; б) |
12 |
а) ; б) |
3 |
а) ; б) |
13 |
а) ; б) |
4 |
; б) |
14 |
а) ; б) |
5 |
а) ; б) |
15 |
а) ; б) |
6 |
а) ; б) |
16 |
а) ; б) |
7 |
а) ; б) |
17 |
а) ; б)
|
8 |
а) ; б) |
18 |
а) ; б) |
9 |
а) ; б) |
19 |
а) ; б) |
10 |
а) ; б) |
20 |
а) ; б) |