Лабораторная работа № 5

Цель: изучить метод Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Задание

1. Реализуйте в классе «DirectMethodsFactorization» метод Гаусса с выбором главного элемента («gaussChooseElement»). Для реализации метода используйте объекты и методы матричных классов «SquareMatrix», «Vector», «AugmentMatrix» и «SwapMatrix». Продумайте и реализуйте методы работы с матрицей класса «SwapMatrix». Возможная структура класса «SwapMatrix» приведена в примере 2. Для эффективной реализации метода все необходимые матричные операции производите над объектом класса «AugmentMatrix», описанным в примере 2.

2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента () в соответствии с вариантом.

3. Решите ту же задачу, используя пакет для математических вычислений.

4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3

Варианты заданий

№ 1	№ 2
№ 3	№ 4
№ 5	№ 6
№ 7	№ 8
№ 9	№ 10
№ 11	№ 12
№ 13	№ 14
№ 15	№ 16

П 3.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

Рассмотрим метод Жордана-Гаусса.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений:

(1)

или в матричном виде AX = f. (2)

Суть метода Жордана-Гаусса состоит в том, чтобы привести матрицу А к единичному виду, тогда вектор решения будет совпадать со столбцом свободных членов. Алгоритмически метод Жордана-Гаусса объединяет прямой и обратный ход метода Гаусса [3].

Первый шаг метода Жордана-Гаусса аналогичен первому шагу метода Гаусса, т.е. первое уравнение необходимо разделить на –коэффициент при неизвестном и исключить это неизвестное –из остальных уравнений системы. На втором шаге необходимо исключить неизвестное из всех уравнений системы (в том числе из первого) кроме второго. На третьем шаге оставляем неизвестное только в третьем уравнении и т.д. Окончательно получаем систему вида

.

Столбец свободных членов в последней расширенной матрице и есть решение системы (1).

Пример 1. Решить с помощью метода Жордана-Гаусса систему уравнений:

Решение:

Разделим первое уравнение на 3, получим следующую систему:

Сложим первое уравнение со вторым и третьим, умножив соответственно на –4 и –1, получим систему:

Разделим второе уравнение на –10, получим следующую систему:

Сложим второе уравнение с первым и третьим, умножив соответственно на –4/5 и –6/5, получим:

Разделим третье уравнение на 0.696, получим следующую систему:

Сложим третье уравнение с первым и вторым, умножив его на 0.036 и 0.08, получим:

Рассмотрим метод Жордана-Гаусса на основе факторизации.

На первом шаге исключения матрица системы (2) приводится к виду .

Этот шаг эквивалентен умножению матрицы системы (2) слева на элементарную нижнюю треугольную матрицу.

В результате имеем систему . (3)

На втором шаге исключения матрица системы (3) приводится к виду .

Для этого необходимо умножить матрицу системы (3) слева на элементарную нижнюю треугольную матрицу .

В результате получим систему . (4)

Продолжая этот процесс, в итоге приходим к системе

, (5)

где на к-ом шаге исключения элементарная нижняя треугольная матрица имеет вид.

Исходя из того, что ,перепишем систему (5) в виде

. (6)

Таким образом, правая часть системы (6) представляет собой искомый вектор решения.

Пример 2. Решить с помощью метода Жордана-Гаусса на основе факторизации систему уравнений:

Решение:

Перепишем систему в матричном виде

.

Применим первый шаг исключения, для этого умножим матрицу системы слева на матрицу .

Получим систему или в развернутом виде

.

Далее применим второй шаг исключения, для этого матрицу системы, полученной на предыдущем шаге, умножим слева на матрицу .

Имеем систему или

.

На заключительном этапе имеем систему , где матрица.

В результате получим систему .

Отсюда следует, что искомый вектор найден .