Лабораторная работа № 12

Цель: изучить метод скорейшего спуска решения систем линейных алгебраических уравнений.

Задание

1. В классе «Итерационные методы решения СЛАУ» («IterationMethods») реализуйте метод скорейшего спуска («methodSkorSpusk»). Для реализации метода используйте объекты класса «SquareMatrix» и «Vector». Для перемножения матрицы и вектора, для нахождения скалярного произведения векторов используйте методы, реализованные в данных классах. Доступ к элементам осуществляйте с помощью методов getElement и setElement.

2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом скорейшего спуска () в соответствии с вариантом.

3. Решите эту же задачу, используя пакет для математических вычислений.

4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3.

Варианты заданий

№ 1	№ 2
№ 3	№ 4
№ 5	№ 6
№ 7	№ 8
№ 9	№ 10
№ 11	№ 12
№ 13	№ 14
№ 15	№ 16

Глава 4 вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

Пусть А  действительная числовая квадратная матрица размера (n*n).

Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию

, (1)

называется собственным вектором матрицы А.

Число  в равенстве (1) называется собственным значением. Говорят, что собственный вектор X соответствует (принадлежит) собственному значению .

Равенство (1) равносильно однородной относительно X системе:

. (2)

Система (2) имеет ненулевое решение для вектора X (при известном ) при условии . Это равенство есть характеристическое уравнение:

, (3)

где  характеристический многочлен n-й степени.

Корни характеристического уравнения (3) являются собственными (характеристическими) значениями матрицыА, а соответствующие каждому собственному значению , ненулевые векторы, удовлетворяющие системе

или , (4)

являются собственными векторами.

Требуется найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Поставленная задача часто именуется второй задачей линейной алгебры [7].

Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических или электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом уровнях.

Множество всех собственных значений матрицы А называется спектром матрицы А. Различают полную и частичную проблему собственных значений, когда необходимо найти весь спектр и собственные векторы либо часть спектра, например: и. Величина называется спектральным радиусом.

Если для собственного значения найден собственный вектор, то вектор, где – произвольное число, также является собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению , т.е. все собственные векторы матрицы определяются с точностью до числового множителя.

Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы; k-кратному корню характеристического уравнения соответствует не более k линейно независимых собственных векторов.

Симметрическая матрица имеет полный спектр действительных собственных значений ;k-кратному корню характеристического уравнения симметрической матрицы соответствует ровно k линейно независимых собственных векторов.

К настоящему времени создано немало специальных вычислительных приемов, упрощающих численное нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы. Все эти методы, как и в случае проблемы численного решения системы линейных алгебраических уравнений, можно разделить на точные и итерационные методы [8].

К первой группе относятся методы, по которым сначала строят собственный многочлен матрицы, затем, находя его корни, получают собственные значения матрицы и уже по ним находят соответствующие собственные векторы. Методы этой группы получили название точных методов. Точные методы позволяют решать полную проблему собственных значений, т.е. дают возможность находить все собственные значения матрицы и все принадлежащие им собственные векторы. Полная проблема собственных значений в некоторых случаях может быть решена также и специальными итерационными методами. Эти методы, конечно, более трудоемки, чем точные методы.

В методах второй группы собственные значения матрицы определяются непосредственно, без обращения к собственному многочлену, при этом одновременно вычисляются и соответствующие собственные векторы. Вычислительные схемы таких методов носят итерационный характер. В них используется многократное умножение матрицы на вектор. Схемы этого типа обычно приводят к последовательности векторов, имеющей своим пределом собственный вектор, и к числовой последовательности, предел которой является соответствующим собственным значением. Как правило, итерационные методы позволяют с достаточной точностью определить лишь первые (наибольшие по модулю) собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Поэтому методы этой группы чаще всего применяются к решению частичной проблемы собственных значений, т.е. их чаще используют лишь для отыскания одного или нескольких собственных значений матрицы и соответствующих собственных векторов. Большим достоинством итерационных методов перед точными является простота и единообразие производимых действий, что особенно ценно при использовании быстродействующих вычислительных машин.

Полная и частичная проблемы собственных значений сильно различаются как по методам их решения, так и по области приложений. Для решения полной проблемы собственных значений используют метод Данилевского, QR-алгоритм, итерационный метод вращения (метод Якоби). Степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора  метод решения частичной проблемы собственных значений.