Лабораторная работа № 8
Цель: изучить методы для вычисления определителя и нахождения обратной матрицы.
Задание
1. Дополните класс «Квадратная матрица» («SquareMatrix») методами «determinant» (определитель матрицы) и «inverseMatrix» (обратная матрица). Для нахождения определителя и обратной матрицы используйте LDU и LU-разложение соответственно.
2. Найдите определитель
матрицы (
)
в соответствии с вариантом.
3. Обратите матрицу
(
)
в соответствии с вариантом.
4. Решите те же задачи, используя пакет для математических вычислений.
5. Сравните результат выполнения п. 2 и п. 3 с решением, полученным в п. 4.
Варианты заданий
|
№ 1
|
№ 2
|
|
№ 3
|
№ 4
|
|
№ 5
|
№ 6
|
|
№ 7
|
№ 8
|
|
№ 9
|
№ 10
|
|
№ 11
|
№ 12
|
|
№ 13
|
№ 14
|
|
№ 15
|
№ 16
|
П 3.6 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки
Рассмотрим метод прогонки. Этот метод применим в случае, когда матрица системы является трехдиагональной.
Имеем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:
(1)
Достаточным
условием устойчивости метода прогонки
является условие преобладания диагональных
элементов в матрице А,
в которой
:
причем строгое неравенство имеет место хотя бы при одном i [7; 8].
Решение системы будем искать в виде [4; 18]
,
(2)
где
прогоночные коэффициенты.
Для их определения выразим из первого уравнения системы (1) х1 через х2, получим:
, (3)
откуда
.
(4)
Из
второго уравнения системы (1) с помощью
(3) выразим 
через 
,
получим:
,
откуда
.
(5)
Продолжая этот процесс, получим из i-го уравнения системы (1)
,
i
= 1,
2, …,
n–1. (6)
следовательно
=
,
=
,
i
=
2,
…,
n
(7)
Таким
образом, прямой ход метода прогонки по
определению прогоночных коэффициентов
завершен. Коэффициенты
находятся по формулам (4), (7).
Обратный
ход прогонки состоит в нахождении
неизвестных
(8)
и
далее, используя формулу (2) и значения
прогоночных коэффициентов (4) , (7),
последовательно вычисляем все неизвестные
.
Рассмотренный метод (4), (7), (8) называется правой прогонкой. В этом случае определение неизвестных происходит в направлении убывания индексов.
Аналогично, начиная с последнего уравнения СЛАУ (1), можно вывести формулы левой прогонки (9) – (12). В этом алгоритме значение неизвестных находятся в направлении возрастания индексов [4; 19].
,
(9)
,
,
(10)
(11)
,
(12)
Пример 1. Решить систему уравнений методом прогонки:
Решение:
Представим систему в матричном виде
.
Прямой ход. Вычисляем прогоночные коэффициенты:
Обратный ход. Вычисляем неизвестные xi:
Лабораторная работа № 9
Цель: изучить метод прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений.
Задание
1. В классе «Алгоритмы решения СЛАУ, не использующие факторизацию» («DirectMethodsNF») реализуйте метод прогонки («sweepMethod»). В методе прогонки матрица системы представляет собой объект класса «ThreeDiagonalMatrix», а прогоночные коэффициенты – объекты класса «Vector». Для работы с матричными объектами используйте методы, реализованные в данных классах.
2. Решите систему
линейных алгебраических уравнений
методом прогонки (
)
в соответствии с вариантом.
3. Решите ту же задачу, используя пакет для математических вычислений.
4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3.
Варианты заданий
|
№ 1
|
№ 2
|
|
№ 3
|
№ 4
|
|
№ 5
|
№ 6
|
|
№ 7
|
№ 8
|
|
№ 9
|
№ 10
|
|
№ 11
|
№ 12
|
|
№ 13
|
№ 14
|
|
№ 15
|
№ 16
|
