- •Л.В. Маркова, е.А. Корчевская,
- •С о д е р ж а н и е
- •П р е д и с л о в и е
- •Глава 1 Элементы теории погрешностей п 1.1 Источники погрешностей
- •П 1.2 Вычисление абсолютной и относительной погрешностей
- •П 1.3 Округление чисел
- •П 1.4 Вычисление погрешностей арифметических операций
- •П 1.5 Оценка погрешности по способу границ
- •Лабораторная работа № 1
- •Задание
- •Глава 2 объектно-ориентированный подход к программированию методов линейной алгебры
- •П 2.1 Создание матричной иерархии классов
- •Лабораторная работа № 2
- •Задание
- •П 2.2 Создание иерархии классов вычислительных методов алгебры
- •Лабораторная работа № 3
- •Задание
- •Глава 3 решение систем линейных алгебраических уравнений
- •П 3.1 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 4
- •Задание
- •П 3.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 5
- •Задание
- •П 3.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса
- •Лабораторная работа № 6
- •Задание
- •П 3.4 Метод квадратного корня для решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 7
- •Задание
- •П 3.5 Вычисления определителя и нахождения обратной матрицы
- •Лабораторная работа № 8
- •Задание
- •П 3.6 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки
- •Лабораторная работа № 9
- •Задание
- •П 3.7 Метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 10
- •Задание
- •П 3.8 Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 11
- •Задание
- •П 3.9 Итерационные методы вариационного типа решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Лабораторная работа № 12
- •Задание
- •Глава 4 вычисление собственных значений и собственных векторов матриц
- •П 4.1 Метод Данилевского для нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Лабораторная работа № 13
- •Задание
- •П 4.2 Итерационный степенной метод нахождения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора
- •Лабораторная работа № 14
- •Задание
- •П 4.3 qr-алгоритм для нахождения собственных значений матрицы
- •Лабораторная работа № 15
- •Задание
- •П 4.4 Метод Якоби для нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Лабораторная работа № 16
- •Задание
- •П р и л о ж е н и я Приложение 1 Основные сведения о матрицах
- •Функции MathCad
- •Л и т е р а т у р а
- •Красоткина вычислительные методы алгебры. Практикум
- •2 10038, Г. Витебск, Московский проспект, 33.
Лабораторная работа № 6
Цель: изучить метод Жордана-Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений.
Задание
1. Реализуйте в классе «DirectMethodsFactorization» метод Жордана-Гаусса («gaussJordanMethod»). Для реализации метода используйте объекты и методы класса «SquareMatrix», «Vector» и «AugmentMatrix». Доступ к элементам осуществляйте с помощью методов getElement и setElement, реализованных в данных классах. Для эффективной реализации метода все необходимые матричные операции производите над объектом класса «AugmentMatrix».
2. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса () в соответствии с вариантом.
3. Решите ту же задачу, используя пакет для математических вычислений.
4. Сравните результат выполнения п. 2 с решением, полученным в п. 3.
Варианты заданий
№ 1
|
№ 2 |
№ 3
|
№ 4 |
№ 5
|
№ 6 |
№ 7
|
№ 8 |
№ 9
|
№ 10 |
№ 11 |
№ 12 |
№ 13 |
№ 14 |
№ 15 |
№ 16 |
П 3.4 Метод квадратного корня для решения систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим алгоритм метода квадратного корня.
Метод предназначен для решения СЛАУ с симметрическими матрицами.
Пусть надо решить систему
, (1)
где матрица A – вещественная, симметрическая; X – искомый вектор решения; f – вектор правой части системы.
Матрицу A можно представить в виде , где S – верхняя треугольная матрица, ST – транспонированная к ней матрица (нижняя треугольная), D – диагональная матрица с элементами, равными +1 или –1.
Значения коэффициентов матрицы S и D находятся по формулам (2), описанным в п 2.2.
Исходную систему (1) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами: .
Решая их, получаем [19; 8]:
(2)
Если матрица А является симметричной и положительно определенной, то ее можно представить в виде произведения , S – верхняя треугольная матрица, ST – транспонированная к ней матрица (нижняя треугольная).
Значения коэффициентов матрицы S находятся по формулам (3), описанным в п 2.2.
В этом случае решение системы линейных алгебраических уравнений (1) сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами [19; 8]:
(3)
SX = Y. (4)
Т.к. матрица системы (3) является нижней треугольной, то можно сразу выписать ее решение:
(5)
i = 2, 3, …, n. (6)
Определив таким образом вектор Y, можем найти из системы (4) искомое решение. Это решение находим обратным ходом метода Гаусса, т.к. матрица S – верхняя треугольная. Имеем:
, (7)
i = n-1, n-2, …, 1. (8)
Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом квадратного корня.
Решение:
Матрица системы является симметрической и положительно определенной. Вычислим коэффициенты матрицы S:
Получим матрицу .
Вычислим вектор Y:
Находим искомый вектор решения X:
Пример 2. Для системы уравнений с симметрической матрицей описать алгоритм метода квадратного корня, используя STS-разложение.
При описании алгоритма используются объекты и методы классов «SquareMatrix», «Vector» и «FactorizationAlgorithms».
Реализация примера на языке программирования С++ может иметь следующий вид:
void DirectMethodsFactorization ::squareMethod(SquareMatrix A, Vector f){
/*Создание матриц S, вектора X, вектора Y */
int n = A.getRowCount();
SquareMatrix S = SquareMatrix(n);
Vector X = Vector(n);
Vector Y = Vector(n);
/* STS – разложение. В результате факторизации имеем матрицу S – верхнюю треугольную матрицу */
FactorizationAlgorithms FA;
FA. STS_decomposition (A, S);
/* Решение системы STY = f. */
/* Решение системы SX = Y. Матрица S – верхняя треугольная матрица, следовательно искомый вектор решения находим обратным ходом метода Гаусса.*/
X.setElement(n-1,(Y.getElement(n-1)/S.getElement(n-1,n-1)));
for (int i = n-2; i >= 0; i--){
double sum = 0;
for (int j = n-1; j > i; j--){
sum += X.getElement(j) * S.getElement(i, j);
}
X.setElement(i, (Y.getElement(i)-sum)/S.getElement(i, i));
}
// вывод вектора решений
}