1.4. Ортогональность полиномов Лежандра и их норма

Докажем что полиномам Лежандра различных порядков ортогональны на отрезке . Согласно общей теореме присоединенные функцииобразуют ортогональную систему. Вычислим нормуприсоединенных функций. Попутно будет доказана их ортогональность.

, (1)

, (2)

где ,.Домножим (1) на(x), а (2) на (x), а затем вычтем (1) из (2):

,

, (3)

Доказать ортогональность если . Если , то полиномы Лежандра разных порядков ортогональны между собой:

. (4)

1.5. Норма полиномов Лежандра

Вычислим норму полиномов Лежандра

(5)

Применим рекуррентную формулу (11) (§1.1) дважды: сначала выразим из нее (предварительно заменив в (11) n+1 на n) черези, а затемчерези. Учитывая ортогональность полиномов,,, получим:

(6)

Рекуррентная формула для нормы:

(7)

Полиномы Лежандра образуют замкнутую систему функций. Поэтому произвольная функция может быть разложена в ряд

,

который домножим наи проинтегрируем:

.

Система ортогональных функций называют замкнутой если не существует непрерывных функции тождественно равных 0 и ортогональных ко всем функциям системы.

Система ортогональных функций называется полной в (a,b) если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать с любой степенью точности при помощи линейной комбинации .

Замкнутость есть условие полноты, а полнота есть следствие замкнутости.

Упражнения

1. Получить полиномы Лежандра, используя производящую функцию, для n=0,1,2.

2. Получить полиномы Лежандра, используя формулу Родрига, для n=0,1,2,3,4,5.

3. Получить полиномы Лежандра, используя рекуррентную формулу для коэффициентов, для n=0,1,2,3,4,5,6.

Ответ:

4. Построить и исследовать (найти точки перегибов, максимумов и минимумов) полиномов Лежандра для n=0,1,2,3,4,5.

5. Получить присоединенные функции Лежандра для n, m=0,1,2,3,4. Выразить данные функции через тригонометрические функции.

6. Получить сферические функции для l=0,1,2.

7. Показать, что сферические функции ортонормированны. Ограничиться l=0,1.

8. Выполнить визуализацию сферических функций.

Ответ:

§2 Присоединенные функции Лежандра

2.1. Присоединенные функции

Рассмотрим следующую задачу:

Найдем собственные значения и собственные функции следующего уравнения

(1)

-1<x<1 при условии ограниченности

(2)

Будем искать решение в виде:

(3)

Подставим (3) в (1), найдем

,

,

. (4)

Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра (17) из §1, если продифференцироватьm раз.

, (4а)

,

Продифференцируем соотношение (4) n раз, тогда получим

,

,(5)

. (6)

Нетривиальное и ограниченное решение решении уравнения Лежандра существует при , гдеm>0. Решение Соотношение (6) является решением уравнения (3)

,

есть собственная функция исходной задачи (1) для собственных значений ,где m-целые числа (7). - присоединенная функция Лежандра

,

Если n=0, то

при .

2.2. Норма присоединенной функции

Согласно общей теоремы присоединенные функции образуют ортогональную систему. Вычислим норму и докажем ортогональность

(8)

Уменьшим n на 1:

(9)

, (10)

Введем обозначение:

Подстановка обращается в нуль, а интеграл в силу (8) и (7) преобразуется к виду

,

, (11)

, (12)

Нетрудно показать, что

,

.