§3 Сферические функции

3.1. Сферические функции

Сферические функции проще всего могут быть введены при решении уравнения Лапласа для шаровой области методом разделения переменных. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах:

,

,

где -угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

, (1)

. (2)

Решение уравнения Лапласа:

, (3)

,

. (4)

Для определения получаем уравнения

, (5)

где- константа разделения.

, (6)

Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера:

,

. (6а)

Следствия:

1. Функция должна быть ограничена на сфере любого радиуса.

2. Функция должна в точках,, а также.

Ограниченное решение уравнения (6) обладающее непрерывными производными до второго порядка называются сферическими функциями. Решение задачи для ищем также методом разделения переменных, полагая

. (7)

,

Умножим на и поделим на (7)

,

, (8)

где m-константа разделения.

(9)

Задача для имеет решение лишь при целомm, и линейно независимыми решениями являются функции и.

Функция определяется из уравнения

, (10)

(11)

(12)

, (13)

решение (9).

Если потребовать выполнение условия (11)

,

m- любое число m=0,1,-1,2,-2…

,

m=0,1,-1… (14)

Выберем новую переменную и обозначая, получаем дляуравнение присоединенных функций (15)

подставляем все в (10)

. (15)

Полученное уравнение является уравнением для присоединенных функций Лежандра

Потребуем чтобы функции были нормированными

(16)

, (17)

где .

(18)

Уравнение (6) имеет решение (18) при собственных значениях . Найдем несколько сферических функций

Легко проверить, что сферические функции является ортонормированными, т.е. справедливо:

Кроме сферических функций используется понятие сферической гармоники которые определяется следующим образом:

число различных сферических функций n-го порядка равно 2n+1. Линейная комбинация этих (2n+1) сферических функций

,

Решение уравнения имеет вид:

Специфика заключается в нахождении радиальной части волновой функции R(r).

,

,

,

.

,

есть внутренняя краевая задача, а

есть внешняя краевая задача.

3.2. Ортогональность системы сферических функций

Докажем, что сферические функции, соответствующие различным значениям , ортогональны на поверхности сферы. Пустьиудовлетворяют уравнениям

,

, (19)

где .

Нетрудно видеть что имеет место формула

, (20)

которая легко получается интегрирование по частям (). На поверхности сферы:

,

,

Так что используя

и формулу (20) можно записать в виде

.

Меняя местами в формуле (20) функции и, а также вычитая полученную формулу из формулы (20), будем иметь

(21)

Формулы (20) и (21) являются формулами Грина для операторов сферических функций. Из формулы (21) легко следует ортогональность и. В самом деле, пользуясь уравнениями (19), получим из формулы (21)

,

откуда при получим, что

, или

.

Тем самым доказана ортогональность сферических функций, соответствующих разным .

Глава 2. Полиномы Чебышева- Эрмита и Чебышева- Лагерра

§1 Полиномы Чебышева- Эрмита

1.1. Дифференциальная формула

Полиномы Чебышева-Эрмита определим по аналогии с полиномами Лежандра при помощи производящей функции:

. (1)

Отсюда в силу теоремы Коши следует

, (2)

где С – замкнутый контур в плоскости комплексного переменного , охватывающий точку. Вводя новую переменную интегрирования

,

,

,

преобразуем (2) к виду

(3)

Где С₁- контур, охватывающий точку . В силу теоремы Коши выражение в фигурных скобках равно. В результате получаем из (3) дифференциальную формулу (4)

,

. (4)

Эта формула показывает, что есть полином степениn, причем

(5)