1.2. Рекуррентные формулы

Дифференцируя производящую функцию

,

по и, находим

,

. (6)

,

Меняем коэффициенты

.

Используем первую формулу из (6) и найдем

(7)

,

.

Получаем рекуррентную формулу

(8)

1.3. Уравнение Чебышева- Эрмита

Используя соотношение (7) заменяем в (8) последнее слагаемое и дифференцируем:

,

.

Мы получаем уравнение Чебышева- Эрмита:

(9)

Отсюда видно что полином Чебышева-Эрмита является собственной функции соотношения для собственного значения и сводится к задаче Штурма-Лиувиля.

Найти те значения , при которых уравнение Чебышева- Эрмита

,, (11)

имеет нетривиальное решение, возрастающее при , не быстрее чем конечная степень.

Решение этой задачи можно было бы искать в виде степенного ряда

.

Подставив этот ряд в уравнение (10), получим для коэффициентов рекуррентную формулу

.

(12)

Из формулы (12) видно, что при все коэффициентыобращаются в 0 дляи ряд обрывается. Только при требованииможет быть выполнено условие на бесконечности. Полученные полиномы будут определены с точностью до постоянного множителя. Выбирая, получаем полиномы.

Упражнения

1. Используя дифференциальную формулу (4) (Глава 2) получить полиномы Чебышева-Эрмита для n=0,1,2,3,4.

Ответ:

;;и т. д.

2. Используя рекуррентные формулы (7) и (8) (Глава 2) найти полиномы Чебышева-Эрмита для n=0,1...7.

Ответ:

,

,

3. Используя рекуррентную формулу для коэффициентов (12) (Глава 2) найти полиномы Чебышева-Эрмита для n=0,1...4.

4. Получить функции Чебышева-Эрмита для n=0,1,2 и найти их норму.