3. Оценка по критерию согласия χ2

Критерий согласия χ² (критерий Пиросона) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Использование критерия χ² предусматривает разбиение размаха варьирования выборки на интервалы и определения числа наблюдений (частоты) n_j для каждого из e интервалов. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Интервалы, содержащие менее пяти наблюдений, объединяют с соседними. Однако, если число таких интервалов составляет менее 20 % от их общего количества, допускаются интервалы с частотой n_j ≥ 2.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

(6)   где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x). При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле (1) и величины с критическим значением χ²_α, Если выполняется неравенство , то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

4. Функциональные характеристики стационарных систем обслуживания

Основными функциональными характеристиками СМО являются следующие.

-среднее число находящихся в системе клиентов,

-среднее число клиентов в очереди,

-средняя продолжительность пребывания клиента в системе,

-средняя продолжительность пребывания клиента в очереди,

-среднее количество занятых средств обслуживания (сервисов).

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Глава 3. Анализ статистических данных о поступлении заявок на получение кредита по дням недели и в течение дня по часам.

Проверим при уровне значимости 0,95 гипотезу о том, что время поступления заявок в систему распределено экспоненциально на примере одного дня.

На основе начальных данных (время поступления заявок) посчитаем время между приходом заявок.

№ п/п	Дата поступления заявки	Время поступления заявки (час)	Время между заявками
1	22.05.2014	10:08	0:06
2	22.05.2014	10:14	0:14
3	22.05.2014	10:28	0:03
4	22.05.2014	10:31	0:02
5	22.05.2014	10:33	0:03
6	22.05.2014	10:36	0:10
7	22.05.2014	10:46	0:03
8	22.05.2014	10:49	0:02
9	22.05.2014	10:51	0:05
10	22.05.2014	10:56	0:10
11	22.05.2014	11:06	0:04
12	22.05.2014	11:10	0:31
13	22.05.2014	11:41	0:00
14	22.05.2014	11:41	0:09
15	22.05.2014	11:50	0:03
16	22.05.2014	11:53	0:12
17	22.05.2014	12:05	0:04
18	22.05.2014	12:09	0:15
19	22.05.2014	12:24	0:09
20	22.05.2014	12:33	0:01
21	22.05.2014	12:34	0:00
22	22.05.2014	12:34	0:24
23	22.05.2014	12:58	0:08
24	22.05.2014	13:06	0:00
25	22.05.2014	13:06	0:20
26	22.05.2014	13:26	0:07
27	22.05.2014	13:33	0:03
28	22.05.2014	13:36	0:11
29	22.05.2014	13:47	0:03
30	22.05.2014	13:50	0:05
31	22.05.2014	13:55	0:01
32	22.05.2014	13:56	0:06
33	22.05.2014	14:02	0:09
34	22.05.2014	14:11	0:37
35	22.05.2014	14:48	0:03
36	22.05.2014	14:51	0:13
37	22.05.2014	15:04	0:17
38	22.05.2014	15:21	0:17
39	22.05.2014	15:38	0:36
40	22.05.2014	16:14	0:15
41	22.05.2014	16:29	0:01
42	22.05.2014	16:30	0:02
43	22.05.2014	16:32

Таблица 1

Найдем шаг h для деления времени между поступлениями на частичные интервалы, который находится по формуле Стерджесса

(13)

Где - максимальное и- минимальное время между поступлениями, аN – число заявок поступивших за день.

Максимум = 37
Минимум = 0
h = 2,75779
N = 42

Разделим отрезок [0,37] на частичные интервалы с шагом h и прочитаем частоту попадания времени между приходами заявок в частичные интервалы. Так же мы построим гистограмму.

Интервалы	Частоты
0	9
2,7577903	10
5,5155807	5
8,273371	7
11,031161	1
13,788952	3
16,546742	2
19,304532	1
22,062323	1
24,820113	0
27,577903	0
30,335694	1
33,093484	0
35,851274	2
38,609065

Гистограмма 1

Таблица 2

По гистограмме видно, что скорее всего это экспоненциальное распределение. Мы знаем, что для экспоненциального распределения параметр равен:

или (15)

Далее посчитаем выборочное среднее и выборочную дисперсию и с помощью критерия Пирсона проверим гипотезу об экспоненциальном распределении.

F(i)	M(i)	M(i)*F(i)	M(i)^2*F(i)
Частоты	Середины интервалов	Параметры распределения
9	1,378895163	12,41005646	17,11217
10	4,136685488	41,36685488	171,1217
5	6,894475814	34,47237907	237,669
7	9,652266139	67,56586298	652,1637
1	12,41005646	12,41005646	154,0095
3	15,16784679	45,50354037	690,1907
2	17,92563712	35,85127423	642,6569
1	20,68342744	20,68342744	427,8042
1	23,44121777	23,44121777	549,4907
0	26,19900809	0	0
0	28,95679842	0	0
1	31,71458874	31,71458874	1005,815
0	34,47237907	0	0
2	37,23016939	74,46033879	2772,171

Таблица 3

= 9,520942791

= 85,682291

= 9,256472924

Так как среднее выборочное и корень из выборочной дисперсии не равны, но довольно близки, то

(16)

= 0,106510929

Посчитаем теоретические частоты с использованием экспоненциального распределения с параметром .

Вероятность попадания	Число попаданий
0,254525843	10,690085	11	0,363636
0,189742438	7,9691824	8	0,5
0,141448084	5,9408195	6	0,166667
0,105445891	4,4287274	4	0,142857
0,078607187	3,3015019	3	0,5
0,058599626	2,4611843	2
0,043684507	1,8347493	2
0,032565671	1,3677582	1
0,024276866	1,0196284	1
0,018097776	0,7601066	1
0,013491425	0,5666398	1
0,010057508	0,4224154	0
0,007497613	0,3148997	0
0,005589276	0,2347496	0
0,016370287	0,6875521
Значение критерия Пирсона:			1,67316

Таблица 4

Сравним с критическим значением с уровнем доверия 0,95 и 3-мя степенями свободы.

следовательно мы принимаем гипотезу о том, что распределение носит экспоненциальный характер с параметром =0,106510929.

Рассмотрим по часам среднюю частоту прихода посетителей за неделю и построим гистограмму.

Промежутки	Кол-во человек
9:00	1,571429
10:00	17,28571
11:00	20,28571
12:00	18,57143
13:00	9,571429
14:00	17,14286
15:00	14,42857
16:00	12
17:00	8,285714
18:00	3
19:00	0,285714
20:00

Гистограмма 2

Таблица 5

Из гистограммы явно видно, что по частоте прихода день делится на три части:

1. С 9 до 13 – пик активности;

2. С 13 до 14 – спад;

3. С 14 до 20 – второй пик.