Формулы для определения численности простой случайной выборки

	Способ отбора единиц
	повторный	бесповторный
Численность выборки (n): для средней
для доли^1
____________ ^1В случаях, когда частность w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w = 0,5, то w(1-w) = 0,25)

Задачи 25 - 28 предполагают проведение анализа связей между показателями. Для их решения следует усвоить тему "Статистические методы изучения взаимосвязей".

Для определения степени тесноты парной линейной зависи­мости служит линейный коэффициент корреляции (r); при любой форме зависимости (линейной и криволинейной) - эмпирическое корреляционное отношение

Для расчета линейного коэффициента корреляции по несгруппированным данным могут быть использованы следующие фор­мулы:

Где -отклонение вариантов значений признака-фактора от их средней величины;

-отклонения вариантов значений результативного признака от их средней величины;

n – число единиц в совокупности;

у_x, у_y среднее квадратическое отклонение соответственно признака-фактора и результативного признака.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе он по абсолютной вели­чине к 1, тем теснее связь. Знак при нем указывает направление связи: знак «+» соответствует прямой зависимости, знак «-» - обратной.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то связи между признаками нет; если он равен единице (с любым знаком), то между признаками существует функциональная связь.

Интерпретация значений коэффициентов корреляции

Знамение коэффициента корреляции (по модулю)*	Качественная характеристика силы связи
До 0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7 - 0,99	Практически отсутствует (слабая) слабая умеренная(существенная) высокая (сильная)
* Положительное значение коэффициента свидетельствует о том, что связь между признаками прямая, отрицательное — обратная.

Корреляционное отношение определяется по формулам:

где δ² - межгрупповая дисперсия результативного признака, вызванная

влиянием признака-фактора;

δ ²_у - общая дисперсия результативного признака;

- средняя внутригрупповая дисперсия результативного признака.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна:

где d_i - разность между величинами рангов признака-фактора и результа­тивного признака; п - число показателей (рангов) изучаемого ряда.

Коэффициент конкордации (ранговый коэффициент множественной

корреляции):

12 S

Ẃ = ----------------

m²(n³ -n)

где m – количество факторов,

n – число единиц.

S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов

Значимость коэффициента конкордации проверяется на основе

χ² - критерия Пирсона

12 S

χ²= ----------------------------

mn(n- 1 )

Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле

Коэффициент контингенции:

где a,b,с,d — частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернатив­ных признаков;

Кроме того., в задачах 22- 27 требуется определить уравнение линейной регрессии и м коэффициент корреляции.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

ŷ_x = a+bx

Для определения численных значений параметров уравнения связи (линии регрессии) используется метод наименьших квадра­тов и решается система нормальных уравнений.

Для определения параметров а и b уравнения прямолинейной корреляционной связи система нормальных уравнений:

Параметры уравнения регрессии можно найти и методом опреде­лителей по формулам:

Формула множественного коэффициента кор­реляции имеет вид:

Величина R² называется коэффициентом детерминации; она показывает, в какой мере вариация результативного признака обусловлена влиянием признаков-факторов, включенных в урав­нение множественной зависимости.

Величина множественного коэффициента корреляции изменяет­ся в пределах от 0 до 1 и численно не может быть меньше, чем лю­бой из образующих его парных коэффициентов корреляции. Чем ближе он к единице, тем меньше роль неучтенных в модели фак­торов и тем более оснований считать, что параметры регрессион­ной модели отражают степень эффективности включенных в нее факторов.

Кроме множественного коэффициента корреляции рассчитываются частные коэффициенты корреляции, позво­ляющие установить степень тесноты связи между результативным признаком у и каждым из факторных признаков при исключении искажающего влияния других факторных признаков.

Для случая зависимости результативного признака у от двух признаков-факторов (х₁ и х₂) определяются два коэффициента частной корреляции:

• частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и фактором x₁ при элиминировании фактора х₂:

• частный коэффициент корреляции между результативным признаком y и фактором x2:

Обратите внимание иа коэффи­циент регрессии, который фиксирует среднее изменение результа­тивного признака с изменением фактора на единицу.

Задачи 29-34 составлены по теме "Индексы", которая включает в себя анализ системы взаимосвязанных индексов, например: товаро­оборота, физического объема продукции, т.е. количества продан­ного товара, и цен.

Индекс - относительная величина, характеризующая измене­ние уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.

Для удобства применения индексного метода в статистико-экономическом анализе разработана определенная символика и применяются соответствующие условные обозна­чения.

Каждая индексируемая величина имеет свое символическое обозначение:

q - количество продукции одного вида в натуральном выра­жении;

р - цена за единицу продукции;

z — себестоимость единицы продукции;

t — затраты труда (рабочего времени) на единицу продукции.

Индексы по отдельным элементам изучаемого сложного эко­номического явления (т. е. индивидуальные индексы) обознача­ются символом i, у которого проставляется символ соответствую­щей индексируемой величины.

Общий (сводный) индекс изучаемого сложного экономичес­кого явления обозначается символом I, у которого отражается символ индексируемой величины. Например:

I_q— общий индекс физического объема продукции;

1_p - общий индекс цен;

1_z - общий индекс себестоимости;

I_qp — общий индекс стоимости всех видов продукции;

I_qz — общий индекс затрат на производство всех видов продук­ции;

1_qt - общий индекс затрат труда на выпуск всех видов продук­ции.

Агрегатный индекс общей стоимости продукции (1_qp) равен произведению агрегатного индекса физического объема продук­ции (I_q) и агрегатного индекса цен (1_р)

Агрегатный индекс физического объема продукции характе­ризует изменение выпуска всей совокупности продукции и ис­числяется по формуле

где q₁ и q₀ – количество выработанных единиц отдельных видов продукции соответственно в отчетном и базисном периодах;

р₀ – цена единицы отдельного вида продукции в базисном периоде.

- абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет изменения выпуска продукции.

Агрегатный индекс ценхарактеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции и исчисляется по формуле

Индексируемой величиной является цена (p), количество продукции (q) носит название веса.

где - абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен.

Кроме того, для решения задач по теме "Индексы" уясните сна­чала смысл, исследуемых экономических показателей: выработка про­дукции на 1 работающего (характеристика производительности тру­да), средняя оплата труда работников. Каждый из рассматриваемых показателей можно представить в виде средней арифметической взве­шенной. В качестве веса при построении таких величин выступают те признаки, которые находятся в знаменателе исследуемого вторичного признака. Так, в расчете производительности труда и средней заработной платы это – численность работников.

При анализе среднего уровня- вторичного признака, т.е. приз­нака, который получен в виде отношения двух абсолютных величин (производительность труда, средняя заработная плата) применяются индексы переменного и постоянного состава.

Индекс переменного состава равен отношению средних уровней признака за отчетный и базисный период.

Например, индекс цен переменного состава продукции рассчитывается по формуле :

I_пер.= = :

Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (в данном случае цены), но и структуры совокупности (весов).

Индекс постоянного (фиксированного) состава – это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного какого либо периода, и показывающий изменение только индексируемой величины. Рассчитывается по формуле:

I_пост.= : =

Под индексом структурных сдвигов понимают индекс, характеризующий влияние изменения только структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления. Определяется по формуле:

I_стр.= :

Индексы переменного состава, постоянного состава, и структурных сдвигов увязываются в единую систему. Эта система имеет следующий вид:

I_пер.= I_пост.* I_стр.

Индекс Г. Паше рассчитывается всегда по отчетным весам, например индекс цен:

Индекс Ласпейреса рассчитывается всегда по базисным весам, например индекс цен:

Задачи 35 - 42 предполагают изучение темы "Ряды динамики". Необходимо уяснить смысл аналитических показателей динамики: аб­солютный прирост , темп роста и темп прироста, абсолютное значе­ние 1 % прироста.

Для изучения интенсивности изменения уровней ряда во вре­мени исчисляются следующие показатели динамики: абсолют­ные приросты, коэффициенты роста, темпы роста, темпы приро­ста, абсолютные значения одного процента прироста.

Перечисленные показатели динамики можно исчислять с пере­менной или постоянной базой. Если производится сравнение каж­дого уровня с предыдущим уровнем, то получаются показатели ди­намики с переменной базой (цепные показатели динамики). Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики). База сравнения должна выбираться обоснованно, в зависимости от экономических особенностей явления и задач исследования.

Методы расчета показателей динамики представлены ниже в таблице, они одинаковы для моментных и для интервальных рядов.

При расчете показателей приняты следующие условные обо­значения:

y_i - уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего периода;

y_i-1 - уровень периода, предшествующего текущему;

y_{k -} уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто начальный уровень).