- •Механика
- •Оглавление
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Глава 2. Динамика
- •Глава 3. Работа и энергия
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •Глава 5. Механические волны
- •Глава 6. Молекулярное движение
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Кинематика поступательного движения
- •Понятия и определения
- •Модуль вектора ускорения
- •1.2. Уравнения движения
- •1.2.1 Равномерно, прямолинейно движение.
- •1.2.2 Ускоренное, прямолинейное движение
- •1.2.3 Кинематика вращательного и колебательного движения Вращательное движение
- •При постоянной угловой скорости , угловой путь и угол поворота определяется из равенств:
- •Колебательное движение
- •Для самостоятельного изучения
- •1.3.1 Модуль касательного и нормального ускорения.
- •1.3.2 Равномерное криволинейное движение.
- •Сложение гармонических колебаний
- •1.4 Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона.
- •2.2. Динамика поступательного движения тела
- •2.3. Динамика вращательного движения
- •2.4. Динамика колебательного движения
- •2.5. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета
- •2.6 Для самостоятельного изучения
- •2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
- •2.6.2. Силы гравитационного взаимодействия
- •2.6.3.Силы трения
- •2.6.4.Сила вязкого трения и сопротивления среды.
- •2.6.5.Сила упругости. Закон Гука.
- •6. Колебания математического и физического маятников
- •2.7. Задания для самоконтроля знаний
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Работа. Мощность
- •3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)
- •И всегда положительна в любой системе отсчета.
- •3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)
- •3.4. Работа и энергия вращательного движения
- •3.5. Энергия колебательного движения
- •3.6. Для самостоятельного изучения
- •3.6.1. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли
- •3.6.2. Работа силы тяжести
- •3.6.3. Потенциальная энергия пружины
- •3.6.4. Потенциальный барьер и яма
- •3.7. Задание для самоконтроля знаний.
- •Лекция 6
- •Глава 4. Законы сохранения.
- •4.1 Закон сохранения импульса
- •4.2 Закон сохранения момента импульса
- •При составлении равенства (4.5) учтено, что и.
- •4.3 Закон сохранения энергии
- •4.4 Для самостоятельного изучения
- •Абсолютно неупругий удар
- •4.5. Задание для самоконтроля знаний
- •Глава 5. Механические волны
- •5.1 Продольные и поперечные волны
- •Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение.
- •5.3.Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 6.Молекулярное движение
- •6.1 Размеры и масса молекул
- •6.2. Движение и столкновение молекул газа
- •6.3 Давление и температура.
- •6.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]
- •6.5 Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
- •6.6 Давление идеального газа на стенку
- •6.7 Уравнение состояния идеального газа
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •7.1. Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа
- •7.2. Работа и теплопередача
- •7.3. Первое начало термодинамики, термодинамические изопроцессы.
- •7.4 Теплоемкость
- •7.5 Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическая вероятность. Энтропия.
- •7.6 Изменение энтропии в изопроцессах
- •7.7 Тепловая машина. Цикл Карно.
- •7.8. Для самостоятельного изучения
- •7.8.1. Второе начало термодинамики
- •Основные понятия в механике
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
- •Основные законы
- •Обозначения
Глава 3. Работа и энергия
Лекция 5
3.1. Работа. Мощность
При перемещении тела на расстояние sпод действием постоянной силыFсовершается работа.
(3.1)
где α – угол между вектором силы и направлением перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой на участке, определяется интегрированием элементарных работdAна участкахdr(рис 3.1)
Работа постоянной силы Fна участкеr2-r1
.
Работа может быть положительной, если 0 ≤ α < π/2, и отрицательной, если π/2 < α ≤ π.
Если на тело действует сила перпендикулярно перемещению, то её работа А = 0.
Если на тело действует несколько сил, торезультирующаяработа равна алгебраической сумме работ всех составляющих сил(принцип независимости действия сил):
.
Скорость совершения работы определяется средней мощностью
и мгновенной мощностью
, (3.2)
где α – угол между векторами силы и скоростидвижущегося тела
Работа в СИ измеряется в джоулях (Дж). Один джоуль — это работа, совершаемая силой F= 1 Н на пути вs= 1 м при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения.
Мощность в СИ измеряется ваттах (Вт). Один ватт — это такая мощность, при которой совершается работа в A=1 Дж за времяt=1 с.
3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)
Если тело массой mдвижется под действием некоторой силыи изменяет скорость на путиsотдото элементарная работа на бесконечно малом участкеds(рис. 3.2).
Работа на всём пути s
(3.3)
Величины ихарактеризуют состояние тела в его начальном и конечном положении.
Механическое состояние, зависящее от скорости движения тела, называют кинетической энергией
, (3.4)
где С– постоянная интегрирования, зависящая от выбора системы отсчета
Соотношение (3.3) можно записать в виде
.
Изменение кинетической энергии тела при переходе его из одного состояния в другое равно работе, совершаемой силой, действующей на тело в процессе этого перехода.
Если А> 0, то ΔЕk> 0, тело получает энергию от тел, которые являются «источником» сил, совершающих работу; если А < 0, то ΔЕk< 0, тело отдает энергию окружающим телам. Обладая кинетической энергией, тело способно совершить работу, т.е. отдать эту энергию другим телам (заставить их двигаться, изменять скорость или деформироваться).
Кинетическая энергия связанна с импульсом тела pсоотношением
(3.5)
И всегда положительна в любой системе отсчета.
3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)
Энергию, которой обладает тело взаимодействуя с другими телами называют потенциальной.
Потенциальной энергией обладает, например, тело поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина.
Найдем потенциальную энергию системы из двух тел испытывающих гравитационное взаимодействие. Пусть два тела с массами m1иm2под действием силы гравитационного притяжения перемещаются относительно друг друга (рис. 3.3). Будем считать, что тело массойm1покоится, а изменение расстояния между телами происходит в результате перемещения тела массойm2. Тогда работу совершает лишь сила, действующей на тело массойm2. Силазависит от расстояния между теламиrи равна гравитационной силе взаимодействия.
.
Элементарную работу силына бесконечно малом перемещении тела
.
где G= 6,67*10-11 Нм2/кг2- гравитационная постоянная.
Полная работа при перемещении второго тела к первому на расстояние r2
(3.6)
Работа силы гравитационного взаимодействия при изменении расстояния между телами зависит только от начального и конечного положения тел и не зависит от формы траектории перехода из начального положения в конечное.
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными.
Силы, работа которых зависит от формы траектории, называются неконсервативными(силы трения, силы сопротивления при движении тела в газе или жидкости).
Величина в соотношении (3.6) является функцией параметров состояния одного тела относительно другого и называется потенциальной энергией их взаимодействия. Изменение потенциальной энергии не зависит от формы траектории тела при его переходе из одного состояния в другое.
Работа силы гравитационного взаимодействия положительна, так как инаправлены одинаково. Однако, численное значение 1-го слагаемого в соотношении (3.6) меньше численного значения 2-го слагаемогоr1>r2. НеравенствоЕп1–Еп2> 0 будет выполнено, еслиЕп1иЕп2 будут отрицательны:
,
где С – постоянная интегрирования.
Постоянная интегрирования С находится из условия, что при потенциальная энергия взаимодействия двух телЕп= 0, тогда 0 = − 0 +С, и
С = 0.
Потенциальная энергия двух взаимодействующих тел с массами m1 иm2 находящихся на расстоянииrдруг от друга
. (3.7)
Энергия, как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях (Дж).
Потенциальная энергия взаимодействующих тел связана с консервативной силой, обусловливающей это взаимодействие.
Предположим, что тело под действием силы переместилось в произвольном направлениина бесконечно малое расстояниеdr(рис. 4.4). Тогда работа
, (3.8)
где - проекция силы на направление.
Так как сила Fконсервативна, то для нее справедливо соотношение
,
Сравнивая последнее равенство с (4.8) получим
,
. (3.9)
Из последнего равенства следует:
1) если в направлении потенциальная энергия возрастает, то. Это означает, что направление силыобразует с направлениемугола проекция этой силыпротивоположна направлению возрастания потенциальной энергии;
2) если потенциальная энергия вдоль убывает, то, угол междуи направлениема проекция силысовпадает с направлением убывания потенциальной энергии.
Изменение потенциальной энергии связанно с проекциями силы соотношениями:
.
Зная проекции силы , можно записать вектор силы в декартовой системе координат:
,
или
(3.10)
Вектор, стоящий в скобках, называется градиентом потенциальной энергии.
Консервативная сила, действующая на тело, равна по величине и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии.
Градиент потенциальной энергии – это вектор, быстрейшего возрастания потенциальной энергии модуль которого равен ее изменению.