- •Механика
- •Оглавление
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Глава 2. Динамика
- •Глава 3. Работа и энергия
- •Глава 4. Законы сохранения в механике
- •Глава 5. Механические волны
- •Глава 6. Молекулярное движение
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •Глава 1. Кинематика материальной точки
- •Кинематика поступательного движения
- •Понятия и определения
- •Модуль вектора ускорения
- •1.2. Уравнения движения
- •1.2.1 Равномерно, прямолинейно движение.
- •1.2.2 Ускоренное, прямолинейное движение
- •1.2.3 Кинематика вращательного и колебательного движения Вращательное движение
- •При постоянной угловой скорости , угловой путь и угол поворота определяется из равенств:
- •Колебательное движение
- •Для самостоятельного изучения
- •1.3.1 Модуль касательного и нормального ускорения.
- •1.3.2 Равномерное криволинейное движение.
- •Сложение гармонических колебаний
- •1.4 Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 2. Динамика
- •2.1 Законы Ньютона.
- •2.2. Динамика поступательного движения тела
- •2.3. Динамика вращательного движения
- •2.4. Динамика колебательного движения
- •2.5. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета
- •2.6 Для самостоятельного изучения
- •2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
- •2.6.2. Силы гравитационного взаимодействия
- •2.6.3.Силы трения
- •2.6.4.Сила вязкого трения и сопротивления среды.
- •2.6.5.Сила упругости. Закон Гука.
- •6. Колебания математического и физического маятников
- •2.7. Задания для самоконтроля знаний
- •Глава 3. Работа и энергия
- •3.1. Работа. Мощность
- •3.2. Энергия поступательного движения (кинетическая энергия)
- •И всегда положительна в любой системе отсчета.
- •3 Dr.3. Энергия взаимодействия (потенциальная энергия)
- •3.4. Работа и энергия вращательного движения
- •3.5. Энергия колебательного движения
- •3.6. Для самостоятельного изучения
- •3.6.1. Потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли
- •3.6.2. Работа силы тяжести
- •3.6.3. Потенциальная энергия пружины
- •3.6.4. Потенциальный барьер и яма
- •3.7. Задание для самоконтроля знаний.
- •Лекция 6
- •Глава 4. Законы сохранения.
- •4.1 Закон сохранения импульса
- •4.2 Закон сохранения момента импульса
- •При составлении равенства (4.5) учтено, что и.
- •4.3 Закон сохранения энергии
- •4.4 Для самостоятельного изучения
- •Абсолютно неупругий удар
- •4.5. Задание для самоконтроля знаний
- •Глава 5. Механические волны
- •5.1 Продольные и поперечные волны
- •Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение.
- •5.3.Задания для самоконтроля знаний.
- •Глава 6.Молекулярное движение
- •6.1 Размеры и масса молекул
- •6.2. Движение и столкновение молекул газа
- •6.3 Давление и температура.
- •6.4 Скорость и энергия молекул [распределение Максвелла]
- •6.5 Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
- •6.6 Давление идеального газа на стенку
- •6.7 Уравнение состояния идеального газа
- •Глава 7. Основы термодинамики
- •7.1. Термодинамическая система. Внутренняя энергия идеального газа
- •7.2. Работа и теплопередача
- •7.3. Первое начало термодинамики, термодинамические изопроцессы.
- •7.4 Теплоемкость
- •7.5 Обратимые и необратимые процессы. Термодинамическая вероятность. Энтропия.
- •7.6 Изменение энтропии в изопроцессах
- •7.7 Тепловая машина. Цикл Карно.
- •7.8. Для самостоятельного изучения
- •7.8.1. Второе начало термодинамики
- •Основные понятия в механике
- •Вес тела – сила, приложенная к опоре или подвесу, которые удерживают тело от свободного падения. При неподвижной опоре (подвесе) или при их равномерном движении вес тела равен силе тяжести.
- •Основные законы
- •Обозначения
Сложение гармонических колебаний
Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти траекторию этого движения материальной точки.
Сложение колебаний м.т. проводится геометрически, введением понятия амплитуды.
Вектор амплитуды - это вектор, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания.
Если вектор амплитуды привести во вращение вокруг точки О, с угловой скоростью , то проекция конца этого вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с циклической частотой:
,
где – угол, образованный вектором амплитуды и осью х в начальный момент времени. Сложим два гармонических колебания вдоль осиX(рис 1.13.
;
;
где
Так как колебания происходят вдоль одной прямой, то результирующая координата:
.
Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторови. Проекция конца вектораопределяет результирующая координатеx. Так как оба вектора,и, вращаются в процессе колебаний с угловой скоростью, с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды.
Для времени t=0
для произвольного момента времени t
,
где и- амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.
Из по теореме косинусов находим амплитуду и начальную базу колебания:
,
,
, (1.48)
где .
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний. Если, где, тои. Колебания усиливают друг друга.
Если , тоиЕсли разность фаз равна нечётному числу, колебания гасят друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебаний может принимать любые значения, лежащие в интервале
.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний слегка отличающимися частотами, происходящих вдоль одной прямой для нескольких условий:
1. Пусть , причём(или),и
Уравнение колебаний:
Координата результирующего колебания
(1.49)
Так как , то векторы амплитуды вращаются с разными угловыми скоростями.
Сумма косинусов и координата определяются из соотношений:
Выделенный множитель изменяется с течением времени гораздо медленнее, чем второй множитель. За время, в течение которого второй множитель совершает полное колебание, первый почти не изменяется (так как по условию <<). Это позволяет рассматривать колебание как гармоническое с частотой, у которого амплитуда .
Рис
1.14
Гармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями.
Частота и период биений
,
где - частоты слагаемых колебаний. Следовательно, чем меньше отличаются частоты, тем меньше частота биений.
Точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль координатных осейxиy, причём
Уравнения для координат точки.
Разделив второе уравнение на первое, получим
Полученное соотношение представляет прямую, проходящую
через начало координат и наклонённую к оси х под углом
.
Точка будет совершать гармоническое колебание вдоль этой прямой:
Рис.
1.16
где - амплитуда колебания.
При сложении колебаний, когда
Уравнение для координат точки.
Разделив одно уравнение на другое, получим уравнение прямой с отрицательным тангенсом угла наклона.
Для
Перепишем эти уравнения в виде
Рис.
1.18
Возведём в квадрат и почленно сложим:
Полученное уравнение есть уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний и. Приэллипс превращается в окружность.
Если равность фаз слагаемых колебаний равна то движение по эллипсу (или по окружности) будет происходить по часовой стрелке.
Если , движение происходит против часовой стрелки.
При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с неодинаковыми циклическими частотами результирующее движение будет происходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот складываемых колебаний и разности их начальных фаз.