- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Сибирский федеральный университет
- •Общая физика
- •Сборник контрольных заданий для студентов бакалавров
- •Введение
- •Часть 1
- •Кинематика
- •Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно
- •Механика твёрдого тела
- •Механические колебания
- •Молекулярная физика
- •Физические основы термодинамики
- •Электростатика. Постоянный ток.
- •Закон сохранения заряда:
- •Напряженность и потенциал электростатического поля:
- •Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую зарядыq1, q2, …, qn, –
- •Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема):
- •Согласно теореме косинусов, получим:
- •Решение. Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет собой идеальный газ, и к нему можно применить уравние Менделеева–Клапейрона:
- •Решение. В основном уравнении молекулярно- кинетической теории –
- •Решение. Вычислим значения молярных теплоемкостей водорода, учитывая, что молекулы водорода – двухатомные, а число iстепеней свободы равно пяти:
- •Используя условие задачи и уравнение для изобарического процесса
- •Решение. Поскольку совершается адиабатический процесс, для решения используем уравнение адиабаты в виде
- •Решение. Термический кпд тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу:
- •Контрольные задания
- •Часть 2
- •Электромагнетизм.
- •Оптика. Атомная и ядерная физика
- •Контрольные задания
- •2. Некоторые внесистемные величины:
- •4. Молярные массы (м, 10-3 кг/моль) газов:
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Механика. Молекулярная физика. Электростатика. Постоянный ток. Электромагнетизм. Оптика. Атомная и ядерная физика. Контрольные задания для студентов бакалавров
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 79
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно
Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона)
в векторной форме :
, или ,
где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;m – масса; – ускорение;– импульс;n – число сил, действующих на точку;
в координатной (скалярной) форме :
; ;,
или
; ;,
где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.
Сила упругости – ,
где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткости); x – абсолютная деформация.
Сила гравитационного взаимодействия – ,
где G – гравитационная постоянная; и- массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки;r – расстояние между ними.
Сила трения скольжения – ,
где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.
Значения координат центра масс системы материальных точек –
; ;,
где – масса- й точки;– координаты точки.
Закон сохранения импульса –
, или ,
где n – число материальных точек или тел, входящих в систему.
Работа, совершаемая постоянной силой, –
, или ,
где – угол между направлениями векторов силыи перемещения.
Работа, совершаемая переменной силой, –
,
причем интегрирование ведётся вдоль траектории, обозначаемой L.
Средняя мощность за интервал времени –
.
Мгновенная мощность – , или,
где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt.
Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно) –
, или .
Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля, –
, или ,
где – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (например, гравитационное), –
.
Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) –
.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами и, находящихся на некотором расстоянии друг от друга,-
.
Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, –
,
где h – высота нахождения тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчёта потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии, что h<<R, где R – радиус Земли.
Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде
Применив законы сохранения энергии и импульса в случае прямого центрального удара шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров
и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:
,
,
где и– скорости шаров до удара;и– их массы.
Механика твёрдого тела
Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси –
,
где – момент силы, действующей на тело в течение времениdt; J – момент инерции тела; – угловая скорость;J– момент импульса.
Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде
.
В случае постоянного момента инерции
,
где - угловое ускорение.
Момент силы , действующей на тело, относительно оси вращения –
,
где – проекция силына плоскость, перпендикулярную оси вращения;– плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
Момент инерции материальной точки –
,
где m – масса точки; r – расстояние от оси вращения до точки.
Момент инерции твёрдого тела –
,
где ri – расстояние от элемента массы mi до оси вращения.
В интегральной форме это выглядит так :
.
Моменты инерций некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл. 1.
Таблица 1
Тело |
Ось, относительно которой определяется момент инерции |
Формула момента инерции |
Однородный тонкий стержень массой m и длиной
|
Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно ему Проходит через конец стержня перпендикулярно ему | |
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m, распределённой по ободу |
Проходит через центр кольца, обруча, трубы, маховика перпендикулярно плоскости основаня |
|
Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m |
Проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости
|
|
Однородный шар массой m и радиусом R |
Проходит через центр шара |
|
Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинаково по всему объёму, то
и ,
где V – объём тела.
Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен
,
где – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси;m – масса тела; a – расстояние между осями.
Закон сохранения момента импульса – ,
где - момент импульса тела под номеромi, входящего в состав системы.
Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел –
,
где ,,и- моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия;,,и- те же величины после него.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется, –
,
где и– начальный и конечный моменты инерции;и– начальная и конечная угловые скорости тела.
Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело, –
,
где φ – угол поворота тела.
Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела – .
Кинетическая энергия вращающегося тела – .
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, –
,
где – кинетическая энергия поступательного движения тела;– кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.
Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением
.
Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения (см. табл. 2).
Таблица 2
Поступательное движение |
Вращательное движение |
Поступательное движение |
Вращательное движение | ||
Основной закон динамики |
Работа и мощность
| ||||
| |||||
Закон сохранения |
Кинетическая энергия | ||||
импульса
|
момента импульса |
| |||
|
Относительное продольное растяжение (сжатие) :
,
где – изменение длины тела при растяжении (сжатии);l – длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие) :
,
где – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии);d – диаметр стержня.
Связь между относительным поперечным (растяжением) сжатием и относительным продольным растяжением (сжатием) ε –
,
где µ – коэффициент Пуассона.
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия) :
,
где Е – модуль Юнга.
Напряжение упругой деформации – ,
где F – растягивающая (сжимающая) сила; s – площадь поперечного сечения.
Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня –
,
где V – объём тела.