Согласно теореме косинусов, получим:

где – разность фаз составляющих колебаний.

Подставив найденные значения φ₂ и φ₁, получим, что (рад),Подставив значения А₁, А₂, и Δφ, найдем, что

см.

Пример 14. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях во взаимно перпендикулярных направлениях. Колебания описываются уравнениями x= cos πt и y = cos t. Определить траекторию движения точки.

Решение. По условию задачи x= cos πt ; y = cos t. (1)

Для определения траектории точки из выражений (1) исключаем понятие времени. Искомые уравнения имеют вид x= 2y²-1, или , и представляют собой параболу.

Пример 15. На концах тонкого стержня длиной =1 м и массойm=400 г укреплены шарики малых размеров массами m₁=200 г и m₂=300 г. Стержень колеблется вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной ему и проходящей через его середину (точка О, см. рисунок). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, примером которого является стержень с шариками, определяется по формуле

, (1)

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; a – расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков I₁, I₂ и стержня I₃:

I= I₁+ I₂+ I_3. (2)

Приняв шарики за материальные точки, выразим моменты их инерций:

.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен I₃=. Подставив полученные выраженияI₁, I₂, I₃ в формулу (2), найдем момент инерции физического маятника:

=.

Масса маятника состоит из масс шариков и стержня:

m = m₁ + m₂ + m₃ = 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 кг.

Если ось x направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, см. рисунок, то искомое расстояние «а» равно координате центра масс маятника, т.е.

Произведя расчет по формуле (1), найдем период колебаний физического маятника:

.

Пример 16. Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит из одной части кислорода и трех частей азота.

=3210^-3 кг/моль, =2810^-3 кг/моль.

Решение. Воздух, являясь смесью идеальных газов, тоже представляет собой идеальный газ, и к нему можно применить уравние Менделеева–Клапейрона:

PV=RT. (1)

Для каждого компонента смеси (кислорода и азота) имеем:

, (2)

, (3)

где и – парциальные давления каждого компонента.

По закону Дальтона

Р_возд = +_.

Сложив (2) и (3), получим

(+)V =. (4)

или на основании закона Дальтон

PV=. (5)

Сравнив (1) и (5) с учетом того, что m_возд =m+m, имеем:

Откуда

. (6)

Подставив в (6) равенство m=3m (по условию), найдем молярную массу воздуха:

=2910^-3 кг/моль.

Пример 17. Плотность некоторого газа равна 6·10^-2 кг/м³, а среднеквадратичная скорость молекул – 500 м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенку сосуда.