ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Цельработы

Установить соответствие между объектом, представленным некоторой совокупностью экспериментальных данных о его свойствах, и одним из описаний из заданного множества описаний (моделей) объекта.

Краткиетеоретическиесведения

Под идентификацией объектов понимается построение оптимальных в некотором смысле математических моделей по реализации их входных и выходных параметров.

Задача идентификации заключается в количественной оценке степени идентичности модели реальному объекту.

Рис. 6.1. Структурная схема процесса идентификации

Оценка делается на основе сравнения истинной характеристики объекта F0 (рис. 6.1), представленной его выходными параметрами Y0(t), и оценки Fм этой характеристики, описываемой выходными переменными Yм, математической модели, зависящими от входных данных Х(t). Критерием идентичности модели является минимум её ошибки q, вычисляемой чаще всего по формуле

n

q= ∑(Y0i (t) −Yì (t))2.

i=1

Идентификация может быть адаптивной (подстраиваемой, или обучаемой) и неадаптивной (неподстраиваемой). При неадаптивной идентификации выбираются или рассчитываются коэффициенты модели и в дальнейшем эти коэффициенты не изменяются.

Моделирование процессов и объектов в металлургии. Лаб. практикум

-66-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Краткие теоретические сведения

Основным свойством адаптивной идентификации является то, что коэффициенты математической модели по мере необходимости изменяются или подстраиваются.

В зависимости от априорной (исходной) информации об объекте раз-

личают структурную и параметрическую идентификацию.

Предметом структурной идентификации является определение вида функции Yтеор, связывающей входные переменные Х. Структурная идентификация включает в себя: 1) постановку задачи; 2) выбор структуры модели и её математическое описание; 3) исследование модели. На этапе параметрической идентификации выполняется экспериментальная проверка модели.

Существующие представления об объекте и его выходные параметры отражаются в виде определенной функции Y(Х, b) с неизвестными коэффициентами B = (b1, …, bn). Процедуры же конкретной реализации функции основываются на функциональном представлении зависимости выходных переменных модели от входных.

Задача идентификации ставится как задача оптимизации

Q(B) → min, Y F0 (Fм),

где Q – мера расхождения между выходными экспериментальными параметрами объекта и выходными переменными выбираемой модели (суммарная невязка). При структурной идентификации Fм(F0) – класс операторов, среди которых выбирается структура модели. При параметрической идентификации Fм(F0) – допустимая область в пространстве внутренних параметров Y модели.

Структурнаяидентификация

Выбор структуры модели и её математическое описание осуществляются с учетом характера протекания процесса как объекта моделирования.

Непрерывные металлургические процессы происходят при непрерыв-

ной загрузке материалов и выгрузке продуктов переработки (процесс спекания глинозема, электролиз алюминия, плавка сульфидных руд в печах и т.д.).

Полунепрерывные процессы характеризуются непрерывной загрузкой материала в течение какого-то времени проведения процесса, отключением агрегата и выпуском продуктов переработки.

Периодические (циклические) процессы связаны с разовой загрузкой материалов, проведением технологического процесса и выгрузкой готовых продуктов переработки (выращивание монокристаллов кремния, обжиг керамики).

Для определения структуры модели необходимо решить две задачи. 1. Выделение входных и выходных параметров объекта по степени их

влияния на конечный целевой показатель. При построении структуры модели

Моделирование процессов и объектов в металлургии. Лаб. практикум

-67-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Краткие теоретические сведения

в нее целесообразно включать не все входные и управляющие параметры, а только те, которые оказывают решающее влияние на выходную переменную. Не следует вводить в модель несущественные параметры, так как это приводит к значительному усложнению модели.

2. Определение характера связи между входными и выходными параметрами, т.е. выбор класса операторов Fм. По характеру связи математические модели делят на линейные и нелинейные. Линейные модели используются для описания линейных процессов, т.е. процессов, в которых связь между входной и выходной переменными характеризуется линейной зависимостью. Нелинейные модели применяются для описания нелинейных процессов, т.е. процессов, в которых связь между входной и выходной переменными характеризуется нелинейной зависимостью.

Исследование модели на адекватность объекту осуществляется с помощью анализа остатков модели (см. лаб. работу 1).

Параметрическаяидентификация

Целью параметрической идентификации является уточнение (подстройка) внутренних параметров, т.е. коэффициентов математической модели в тех случаях, когда с помощью структурной идентификации не удается достичь необходимой адекватности модели реальному объекту.

Для стохастических объектов предполагается, что свойства случайной составляющей не зависят от входной переменной Х, т.е. полностью оцениваются определенной плотностью вероятности, в качестве которой часто принимают плотность нормального закона распределения.

После структурной идентификации, при которой неизвестная функция объекта Y(Х) представляется в виде известной функции с неизвестными па-

раметрами Y(Х, b), осуществляется экспериментальная проверка модели. Для уточнения коэффициентов решается следующая оптимизационная задача. Образуются невязки выходных параметров модели и объекта на каждом i-м измерении, называемые локальными невязками:

qi(b) = Yi – Y(x, b) i = 1, ..., n.

Оцениваемые параметры выбираются таким образом, чтобы все эти невязки были минимальны по модулю, т.е. решается задача минимизации n функций:

qi(b) → min, i = 1, …, n,

где вектор b может принимать любые значения. Эта задача является многокритериальной и может быть заменена однокритериальной задачей минимизации суммарной невязки

Q(b) → min,

Моделирование процессов и объектов в металлургии. Лаб. практикум

-68-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Краткие теоретические сведения

на всем пространстве векторов b .

На практике используют какой-либо из следующих критериев:

Критерий

Расчетная формула

n

Модульный

Q (b)= ∑

qi

(b)

i=1

n

Квадратичный

Q (b)= ∑qi2

(b)

i=1

n

υ

Показательный

Q (b)= ∑

qi

(b)

i=1

Минимаксный

Q (b)= max

qi (b)

i=1,..., n

n

(b)

υ

μ

qi

,

Взвешенный

Q (b)= ∑λi

i=1

где λi > 0 – заданные веса

Задача идентификации теперь сводится к оценке суммарной невязки, которая служит основным критерием, по нему проводится идентификация модели.

При этом результат идентификации будет зависеть от выбора критерия, так как различные критерии могут давать минимумы, отличающиеся друг от друга по значению и положению точек минимума.

Если относительная квадратичная невязка

n	n
Q(b)= ∑qi2	(b) ∑Yi	2
i =1	i =1

не превышает 5 % от суммы квадратов экспериментальных Yi выходного параметра объекта, то модель считается адекватной.

Порядоквыполненияработы

1.Открыть файл, созданный при выполнении лабораторной работы 1. Скопировать таблицу (см. рис. 1.8) на другой лист рабочей книги текущего файла, размер листа установить альбомный. Удалить данные столбца D.

2.Выбрать критерий параметрической идентификации. Для нахождения модульного критерия в ячейку D3 записать формулу =ABS(B3-C3) и скопировать ее на весь столбец D. Для определения квадратичного критерия в ячейку E3 записать формулу =СТЕПЕНЬ(B3-C3;2) и скопировать ее на весь столбец E.

Моделирование процессов и объектов в металлургии. Лаб. практикум

-69-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Порядок выполнения работы

Найти суммарную ошибку модели (невязку) с помощью функции СУММ() (рис. 6.2). По минимальному значению суммарной невязки выбрать критерий.

Рис. 6.2. Выбор критерия по минимальной суммарной невязке

3. Уточнить коэффициенты выбранной модели. Уточнение коэффициентов производится по основному критерию идентификации модели – суммарной невязке, которая при оптимальных значениях коэффициентов должна быть минимальной. Для того чтобы установить, как влияет каждый из коэффициентов в отдельности на выходной параметр Y, необходимо менять значение одного из коэффициентов с определенным шагом, оставляя при этом другие коэффициенты постоянными. Уточнение коэффициентов выполнить по следующему алгоритму.

3.1.Задать начальное значение шага 0,1 в ячейке B15 и рядом в свободных ячейках записать все значения коэффициентов, кроме свободного коэффициента b0.

3.2.В ячейки F3 и I3 записать значение коэффициента b0. Скопировать на весь столбец F увеличение значения свободного коэффициента, а на столбец I скопировать уменьшение значения b0 с шагом 0,1 (рис. 6.3).

3.3.В ячейки G3 и J3 поместить уравнение регрессии, только вместо коэффициента b0 (с учетом знака b0) записать, соответственно, имя ячейки F3

=0,0709*A3^3-1,0676*A3^2+4,907*A3+F3

и скопировать формулу на весь столбец G. Затем в ячейку J3 записать формулу

=0,0709*C3^3-1,0676*C3^2+4,907*C3+I3

Моделирование процессов и объектов в металлургии. Лаб. практикум

-70-

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Порядок выполнения работы

и скопировать ее на весь столбец J.

Рис. 6.3. Таблица уточнения коэффициента b0

Изменение Yiтеор при увеличении коэффициента b0

Входная переменная Х

Рис. 6.4. График при увеличении b0

Изменение Yiтеор при уменьшении коэффициента b0

Входная переменная Х

Рис. 6.5. График при уменьшении b0

Моделирование процессов и объектов в металлургии. Лаб. практикум

-71-