- •Математика (для студентов заочной формы обучения)
- •Содержание
- •Определители
- •1.2 Системы линейных уравнений
- •1.3 Линейные пространства. Арифметические векторы
- •1.4. Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра»
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •2.1 Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.3 Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.4 Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра» и разделу 2 «Элементы аналитической геометрии»
- •Раздел 3. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
- •3.1 Предел последовательности, предел функции
- •3.2 Производная функции и ее применение к исследованию функции
- •3.3 Неопределенный интеграл
- •3.4 Определенный интеграл
- •Раздел 4. Математический анализ. Функции нескольких переменных
- •4.1 Понятие функции нескольких переменных
- •4.2 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Раздел 5. Математический анализ. Дифференциальные уравнения
- •5.1 Комплексные числа и действия над ними
- •5.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •5.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Раздел 6. Математический анализ. Числовые и степенные ряды
- •6.1 Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
- •6.2 Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
- •6.3 Степенные ряды
- •6.4 Контрольные задания для студентов по разделам 3 – 6 «Математический анализ»
3.3 Неопределенный интеграл
Функия называется первообразной для функции на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство.
Совокупность всех первообразных для функции на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функциии обозначается, где С – произвольная постоянная. В записифункцияназывается подинтегральной функцией, а- подинтегральным выражением. Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны.
Основные свойства неопределенного интеграла
1.
2.
3.
4. , где- некоторое число
5.
Табличные интегралы
1.
2. , где
3.
4. , где
5.
6.
7.
8. , где
9.
10.
11.
12.
13.
Методы интегрирования
Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или сумме интегралов. В простейших случаях это удается сделать, используя лишь эквивалентные преобразования подынтегральной функции и, если необходимо, свойства интегралов.
1. Метод замены переменной
Пусть - функция, непрерывно дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда
.
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 1. Найти интеграл .
Решение. Сделаем замену , тогда, следовательно.
Тогда .
2. Метод интегрирования по частям
Пусть и- непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 2. Найти интеграл .
Решение. Пусть ,. Тогда,
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Для нахождения последнего интеграла вновь применим формулу интегрирования по частям, сделаем замену ,. Тогда,.
Тогда .
Следовательно, искомый интеграл равен
.
3. Интегрирование рациональных выражений
Рассмотрим способы нахождения интегралов вида , гдеи- некоторые многочлены от переменной х.
Пусть знаменатель допускает разложение на линейные множители:
,
где прии- положительные целые числа. В этом случае дробьдопускает представление в виде суммы простейших дробей:
,
где - некоторые неизвестные числа. Поэтому рассматриваемый метод интегрирования называется методом неопределенных коэффициентов.
В случае, когда многочлен не допускает разложения на линейные множители, в выражении дополнительно содержатся сомножители вида, тогда разложение дробидополнительно содержит слагаемые вида
Пример 3. Найти интеграл .
Решение. Разложим подинтегралную функцию на простейшие дроби:
.
Таким образом, , т.е.,
Разложение подынтегральной функции имеет вид:
.
.
Для первого интеграла преобразуем функцию под знаком дифференцила: , для второго – выделим полный квадрат в знаменателеи воспользуемся заменой переменной, тогда.
Тогда,
.
3.4 Определенный интеграл
Пусть функция задана на отрезке. Разобьем отрезокнаэлементарных отрезков точками.
В каждом из отрезков разбиения выберем произвольно точкуи положим. Тогда сумма вида
называется интегральной суммой для функции на отрезке.
Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка , не зависящий от способа разбиения отрезкана части и способа выбора точекна отрезках разбиения. Тогда функцияназывается интегрируемой на, а числоS – определенным интегралом от наи обозначается.
Свойства определенного интеграла
1)
2)
3)
4)
5)
6) , если функциячетная
, если функция нечетная
7) Формула Ньютона-Лейбница
Геометрические приложения определенного интеграла
1. Если функция неотрицательна на отрезке, то площадьS под кривой на(площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойи прямыми) численно равна определенному интегралу отна данном отрезке:
(геометрический смысл определенного интеграла)
2. Если функция неположительна на отрезке, то площадьS над кривой начисленно равна определенному интегралу отна данном отрезке, взятому со знаком «минус»:
3. Если на отрезке, то площадьS фигуры, заключенной между кривыми ина этом отрезке определяется формулой
.