- •Математика (для студентов заочной формы обучения)
- •Содержание
- •Определители
- •1.2 Системы линейных уравнений
- •1.3 Линейные пространства. Арифметические векторы
- •1.4. Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра»
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии
- •2.1 Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2 Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.3 Аналитическая геометрия в пространстве
- •2.4 Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра» и разделу 2 «Элементы аналитической геометрии»
- •Раздел 3. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
- •3.1 Предел последовательности, предел функции
- •3.2 Производная функции и ее применение к исследованию функции
- •3.3 Неопределенный интеграл
- •3.4 Определенный интеграл
- •Раздел 4. Математический анализ. Функции нескольких переменных
- •4.1 Понятие функции нескольких переменных
- •4.2 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Раздел 5. Математический анализ. Дифференциальные уравнения
- •5.1 Комплексные числа и действия над ними
- •5.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •5.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Раздел 6. Математический анализ. Числовые и степенные ряды
- •6.1 Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
- •6.2 Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
- •6.3 Степенные ряды
- •6.4 Контрольные задания для студентов по разделам 3 – 6 «Математический анализ»
1.2 Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными
(1)
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы уравнений (1):
Матрица называется расширенной матрицей.
Вектор называется вектором неизвестных, векторназывается вектором свободных членов.
Матричная запись системы (1) имеет вид:
Если вектор b=0, то система называется однородной, если b≠0 (хотя бы один из элементов отличен от нуля), то система называется неоднородной.
Решением системы (1) называется такой вектор X=, что при подстановке чиселв систему (1) получаются верные равенства (тождества).
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Заметим, что операции над системой уравнений сводятся к элементарным преобразованиям над расширенной матрицей
Однородные системы
Рассмотрим однородную систему .
Заметим, что однородная система всегда совместна, поскольку нуль-вектор Х=ее решение.
Для решения однородной системы уравнений применяется метод Гаусса. Метод Гаусса для решения систем уравнений состоит из прямого и обратного хода. Прямым ходом заданную систему приводят к эквивалентной ступенчатой системе.
Проиллюстрируем алгоритм метода на примере:
Прямой ход метода Гаусса. Приведем матрицы системы к ступенчатому виду:
.
Матрица приведена к ступенчатому виду, ее ранг равен 3.
Выпишем соответствующую систему уравнений:
Переменные , не связанные с угловыми элементами, называются свободными, переменные- зависимые переменные (несвободные, базисные). Зависимыми переменными всегда объявляются переменные, коэффициентами которых являются угловые элементы. Заметим, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могут оказаться переменные с другими индексами. Однако число свободных переменных всегда равноn-r (r – ранг матрицы).
Обратный ход метода Гаусса заключается в том, что зависимые переменные выражаются через свободные из ступенчатой системы, начиная с последнего уравнения и «поднимаясь» вверх к первому. В результате получим
Полученное выражение называют общим решением системы в координатной форме.
Полученные выражения дают описание всего множества решений однородной системы. Давая свободным переменным произвольные значения, и вычисляя значения зависимых переменных, получаем некоторое частное решение системы.
Запишем общее решение в векторной форме. Придадим свободным переменным значения , получими; затем, получими. Векторылинейно независимы и образуют фундаментальную систему решений (ФСР).
Общее решение системы, записанное в векторной форме, имеет вид:
Неоднородные системы
Пусть задана неоднородная система уравнений
Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности неоднородной системы). Система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы А равен рангу расширенной матрицы :.
Методы решения систем линейных уравнений
1. Метод Гаусса
Рассмотрим на примере системы
Прямой ход метода Гаусса. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
Здесь , система совместна.
Запишем эквивалентную ступенчатую систему:
Переменные являются зависимыми, а- свободной переменной.
Обратный ход метода Гаусса. Выразим зависимые переменные через свободные, получим:
.
Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса
.
Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:
Запишем эквивалентную ступенчатую систему:
Таким образом, решением данной системы уравнений является вектор .
2. Метод решения системы уравнений с помощью обратной матрицы.
Найдем решение системы уравнений из примера 2 с помощью обратной матрицы. Прежде всего, определим обратную матрицу А-1 с помощью алгебраических дополнений.
det A=
Для каждого элемента определим алгебраические дополнения:
, ,,,,,,,.
Тогда, А-1 =.
Решение системы уравнений имеет вид:
Х=.
Таким образом, решением данной системы уравнений является вектор .
3. Метод Крамера решения системы уравнений.
Рассмотрим неоднородную систему уравнений с невырожденной матрицей А (det A≠0):
Теорема Крамера. Система , гдеdet A≠0, имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам:
,
где Δ= det A, - получается из определителя Δ заменойi-го столбца на столбец свободных членов.
Пример. Найти решение системы уравнений методом Крамера
.
Решение.
Итак,