5.3 Дифференциальные уравнения второго порядка
Очень важным классом дифференциальных уравнений порядка выше первого вляется класс линейных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Прежде всего, остановимся на изучении однородных линейных дифференциальных уравнениях второго порядка.
Уравнение вида
называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
В дальнейшем будем
предполагать коэффициенты
данного уравнения непрерывными на
некотором интервале
оси
функциями.
Дифференциальному уравнению ставится в соответствие характеристическое уравнение:
1) Если характеристическое
уравнение имеет два различных
действительных корня
и
,
то общее решение уравнения имеет вид:
2) Если характеристическое уравнение имеет один действительный корень (кратности 2), то общее решение уравнения имеет вид:
3) Если характеристическое
уравнение имеет комплексные корни
,
то общее решение уравнения имеет вид:
.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его
;
;
;
;
.
Тогда,
.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его
;
;
;
.
Тогда,
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его
;
;
.
Тогда,
.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть задано неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
Общее решение
неоднородного дифференциального
уравнения равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения
и частного решения исходного однородного
уравнения:
.
1) Пусть правая
часть имеет вид
,
где
-
многочлен от
.
Тогда частное решение уравнения будет
иметь вид
,
где
- многочлен той же степени, что и
;
-
количество корней характеристического
уравнения, равных нулю.
2) Пусть правая
часть имеет вид
,
где
-
многочлен от
.
Тогда частное решение уравнения будет
иметь вид
,
где
- многочлен той же степени, что и
;
-
количество корней характеристического
уравнения, равных
.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. 1) Составим и решим соответствующее однородное уравнение:
;
Составим характеристическое уравнение и решим его
;
;
;
;
.
Тогда,
.
2) Найдем частное
решение исходного дифференциального
уравнения в виде
,
где
многочлен первой степени, а именно
(коэффициенты
определяются методом неопределенных
коэффициентов),
(так как однородное характеристическое
уравнение имеет один корень, равный
).
Итак,
.
Тогда,
;
Таким образом,
;
;
;
.
Следовательно,
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения прмет вид:
.
Раздел 6. Математический анализ. Числовые и степенные ряды
6.1 Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
Пусть дана
последовательность вещественных
(действительных) чисел
Числовым рядом называется бесконечная сумма членов числовой последовательности.
Краткая запись
ряда:
Числа
называются членами ряда, в частности
- первый член ряда,
-n-ый
или общий член ряда.
Ряд считается
заданным, если известен общий член ряда
как функция его номера:
.
Введем суммы конечного числа членов ряда
,
,…,
.
Сумма
первыхn
членов ряда называется n-ой
частичной суммой ряда. Ряд называется
сходящимся, если существует конечный
предел S
последовательности его частичных сумм
при неограниченном возрастании номера
n,
т.е.
.
Если конечный предел последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Определение. Ряд
,
все члены которого
положительны
,
называется знакоположительным рядом.
Укажем сходимость некоторых числовых рядов, наиболее часто встречающихся на практике.
1. Геометрический
ряд
а) при
геометрический ряд расходится;
б) при
геометрический ряд сходится.
2. Гармонический
ряд
является расходящимся рядом.
3. Обобщенный
гармонический ряд (ряд Дирихле) -
а) при
ряд расходится;
б) при
ряд сходится.
Теорема (необходимый признак сходимости).
Если ряд
сходится, то его общий член стремится
к нулю, т.е.
.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Теорема 1 (признак сравнения). Даны два знакоположительных рядов:
(1)
(2)
Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда
.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1);
2) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Пример 1. Исследовать ряд на сходимость
Решение. Рассмотрим
геометрический ряд
.
Он сходится, так как
.
Сравним члены исходного ряда и
геометрического ряда:
.
Следовательно, исходя из признака
сравнения (пункт 1) данный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать ряд на сходимость
Решение. Сравним
данный ряд с гармоническим рядом
,
который расходится:
.
Следовательно, согласно признаку
сравнения (пункт 2), данный ряд расходится.
Теорема 2 (предельный
признак сравнения). Предположим, что
для рядов с положительными членами (1)
и (2) выполняется предельное соотношение
.
Тогда эти ряды ведут себя одинаково, т.е.:
1) если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2);
2) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
Пример 3. Исследовать ряд на сходимость
.
Решение. Рассмотрим
ряд, сравнимый с данным рядом, сходимость
которого известна. Так как нас интересует
поведение членов ряда при
,
то основную роль играют старшие члены
в числителе и знаменателе. Поэтому
сравним данный ряд с рядом, у которого
общий член равен
:
.
Поскольку ряд
сходится (как обобщенный гармонический
ряд), то в силу предельного признака
сравнения данный ряд также сходится:
.
Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть для знакоположительного ряда (1) существует предел отношения последующего члена к предыдущему
(возможно и
бесконечность), тогда:
а) если
,
то данный ряд сходится;
б) если
,
то данный ряд расходится;
в) если
,
то данный ряд не дает ответа на вопрос
о сходимости ряда, требуется дополнительное
исследование.
Пример 4. Исследовать ряд на сходимость
Решение. Имеем
.
Следовательно, данный ряд расходится.
Теорема 4 (признак
Коши). Пусть для знакоположительного
ряда (1) существует предел
(может
быть и бесконечность), тогда:
а) если
,
то ряд (1) сходится;
б) если
,
то ряд (1) расходится;
в) если
,
то ничего определенного о поведении
ряда сказать нельзя, нужно дополнительное
исследование.
Пример 5. Исследовать ряд на сходимость
.
Решение. Вычислим
,
следовательно, искомый ряд сходится.
Теорема 5 (интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть члены знакоположительного ряда (1) являются значениями при х=1, 2, …, n некоторой положительной, непрерывной и убывающей на промежутке [1, ∞) функции f(x):
Тогда
а) если сходится
несобственный интеграл
,
то сходится и ряд (1);
б) если
расходится, то ряд (1) расходится.
Пример. Исследовать ряд на сходимость
.
Решение. В нашем
случае полагаем
для
.
Функция является положительной,
непрерывной и убывающей на интервале
[2, ∞).
Далее отметим, что
.
Таким образом,
несобственный интеграл 
расходится.Следовательно, по
интегральному признаку данный ряд также
расходится.