Методические указания к выполнению задачи 2

При износовых отказах изделий за время испытаний оценка средней их долговечности находится как

,

cтандартное отклонение долговечности при этом составляет [2]:

,

где t _i – наработка i –го изделия до отказа.

Поскольку долговечность отдельных изделий распределена относительно истинного значения Т_р со стандартным отклонением σ, то оценка средней долговечности для выборки из n изделий распределяется относительно величины Т_р со стандартной ошибкой:

Это уравнение позволяет установить доверительные границы для среднего значения долговечности, полученного в результате испытаний на надежность достаточно большой партии образцов.

Из кривой нормального закона распределения (рис. 3) известно, что истинное значение долговечности Т_р будет примерно в 68,3 % случаях находиться в пределах ± σ(Т_р) и примерно в 95,4 % случаях – в пределах ± 2σ (Т_р).

Вероятности, выраженные в процентах, для интервала ± kσ(Т_р) (то есть величины 68,3 и 95,4 %) представляют собой коэффициенты доверия для соответствующих интервалов. Они определяются площадями, ограниченными кривой нормального распределения и соответствующими границами интервалов.

Величины k = (1 . . . 3) показывают количество стандартных ошибок, которые следует вычесть или прибавить к полученной оценке для того, чтобы определить нижнюю и верхнюю доверительные границы при заданном коэффициенте доверия.

Тогда доверительный интервал будет определяться следующим образом:

.

3σ

2σ

σ

34,13

47,725

49,865

Рис. 3

По табличным данным для нормального распределения площади, ограниченной «хвостовыми» участками этой кривой для одного стандартного отклонения от среднего значения на рис. 3, составляют по 0,1587. Следовательно, площадь вне интервала «одно стандартное отклонение» равна 2·0,1587 = 0,3174. Площадь внутри этого интервала будет тогда равна 1 – 0,3174 = 0,6826.

Если обозначить площадь одного «хвостового» участка кривой через β/2, то площадь в интервале ± kσ(Т_р) составит β = 1 − α и выражает собой так называемый коэффициент доверия, или уровень значимости.

Таким образом, если на рис. 3 за начало координат принять оценку средней долговечности , то нижняя и верхняя доверительные границы будут

, ,

где k_{α(n – 1)} − квантиль распределения Стьюдента для доверительной вероятности α или уровня значимости β = 1 – α и числа степеней свободы ν = n – 1. Величина k_{α(n – 1)} находится по табл. 10.

Истинное значение долговечности Т_р лежит в интервале между Т_рн и Т_рв с доверительной вероятностью α.

Нижняя доверительная граница Т_рн средней долговечности обычно представляет больший интерес, чем верхняя. В этом случае для оценки параметров надежности используется односторонняя нижняя доверительная граница T_рн (рис. 4), а верхняя граница принимается равной бесконечности.

α = 1 – β

β

●

●

Т_рн

Рис. 4

При данных условиях заказчику изделий необходимо обеспечить уверенность в том, что при доверительной вероятности α истинная средняя долговечность Т_р достигает или превышает заданный минимум. В таком случае нижняя доверительная граница может быть представлена в виде [2]

_р – .

Следовательно, оценка средней долговечности , полученная из опытных данных при испытании изделий на надежность, должна быть

_р ≥ Т_рн.

Если по результатам испытаний величина _р не удовлетворяет неравенству, то требование заказчика в отношении совпадения истинного значения_р с нижней доверительной границей Т_рн при заданном коэффициенте доверия β не будет выполнено.

Нижняя и верхняя доверительные границы дисперсии времени σ² определяются с помощью неравенства

,

где χ² _{(1 – β/2)(n – 1)} – квантиль χ² – распределения при вероятности (1 – β/2) и числе степеней свободы ν = n – 1; χ² _{(β/2)(n – 1)} – то же для вероятности β/2 (при этом β представляет собой уровень значимости β = 1 – α , где α – доверительная вероятность, или коэффициент доверия. Значения указанных квантилей χ² – распределения определяются по табл. 11.

Таблица 10

Число степеней свободы, ν	Квантили распределения при вероятности равной
	0,8	0,9	0,95	0,99
10 11 12 13 14	0,879 0,876 0,873 0,870 0,868	1,372 1,363 1,356 1,350 1,345	1,812 1,796 1,782 1,771 1,761	2,764 2,718 2,681 2,650 2,624

Таблица 11

Число степеней свободы, ν	Квантили распределения для доверительной вероятности α, равной
	0,01	0,025	0,3	0,955
10 11 12 13 14	2,56 3,05 3,57 4,11 4,66	3,25 3,82 4,4 5,01 5,63	7,27 8,15 9,03 9,93 10,8	20,5 21,9 23,3 24,7 26,1