1.2 Невозмущенное движение искусственных спутников Земли

Теория движения ИСЗ и других КЛА, применяемых в дистанционном зондировании, картографии и геодезии, представляет собой сложный раздел прикладной небесной механики. Указанные КЛА, как правило, имеют низкие орбиты с высотой перицентра порядка 250400 км. Поэтому даже небольшие изменения концентраций масс в теле Земли, все отклонения формы Земли от сферической вызывают возмущение элементов орбиты. Кроме того, движение КЛА происходит в довольно плотных слоях атмосферы. Необходимо иметь совершенную модель атмосферы, позволяющую с высокой точностью рассчитывать возмущения.

При решении задач космической съемки и геодезии необходимо особенно точное интегрирование уравнений движения ИСЗ с учетом всех возмущающих факторов. Эти расчеты проводятся в вычислительных центрах, связанных с космосом, например, в государственном комитете «Природа», и выдаются заинтересованным организациям. Инженеру- геодезисту, землеустроителю, фотограмметристу нужно будет выполнять интерполирование полученных данных (координат и составляющих скорости) для моментов фотографирования.

1.2.1 Законы Кеплера и элементы орбиты

В теории невозмущенного движения ИСЗ полагают, что спутник вращается вокруг сферической Земли с абсолютно равномерным распределением масс в ее теле, и сила притяжения между Землей и спутником является единственной причиной его орбитального движения. Всю массу Земли при этом можно считать сосредоточенной в центре масс и рассматривать движение спутника в гравитационном поле, создаваемом центром масс Земли. Спутник при этом рассматривают как материальную точку с единичной массой.

В этом случае движение ИСЗ по орбите описывается законами Кеплера, которые сформулируем применительно к движению спутников Земли.

Первый закон Кеплера.Спутник движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр масс Земли.

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор спутника за равные промежутки времени описывает («заметает») равные площади.

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращения любых двух спутников относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Пусть точка М является фокусом, в котором находится центр масс Земли (рисунок 2). Точка П орбитального эллипса, ближайшая к фокусу М, называетсяперицентром.

Рисунок 2 — Орбитальный эллипс.

ТочкаА, наиболее удаленная от фокусаМназываетсяапоцентром. Линия, соединяющая точкиАиП, называетсялинией апсид, а сами точкиАиП—апсидами.

Введем орбитальную систему координат X_, Y_ Z_ = 0, начало которой находится в точкеМ(центре масс), положительное направление осиX_совпадает с направлением в перицентр.

Полярными координатами в орбитальной системе координат являются радиус-вектор и истинная аномалия. Радиус-вектор проводится из начала координат (точкаМ) до точкиiорбиты, где находится ИСЗ в моментt_i. Истинная аномалия — это угол, отсчитываемый от осиX_до радиус-вектора.

Уравнение эллипса в полярных координатах:

, (1.

где a – большая полуось орбиты; – эксцентриситет орбиты (эллипса);

– фокальный параметр.

Эксцентриситет является характеристикой вытянутости (сплюснутости) орбиты и равен:

, (1.

где a – расстояние между центром и фокусом эллипса;b – малая полуось эллипса.

Наряду с истинной аномалией при описании движения спутников, планет и звезд используютэксцентрическую аномалиюЕ. Проведем из центраCэллипса окружность с радиусом, равным большой полуосиaэллипса. Из точкиiорбиты опустим перпендикулярна линию апсид и продолжим его до пересечения с проведенной окружностью в точке. Соединив точку с точкойC, получим уголЕмежду направлением в перицентр и направлением на точку. Если взять эксцентрическую аномалиюЕв качестве аргумента, то уравнение эллипса будет иметь вид:

. (1.

Следствием второго закона Кеплера является неравномерность движения спутника по орбите. Максимального значения орбитальная скорость достигает в перицентре, а минимального — в апоцентре.

Следствием третьего закона Кеплера является формула для периода обращения ИСЗ:

(1.

где _— геоцентрическая гравитационная постоянная,

G = 6,67259·10^–11Н·м²·кг^–2 — постоянная всемирного тяготения;

М_= 5,976·10²⁴кг — масса Земли.

Величина _ является одной из фундаментальных геофизических констант.

Ориентацию орбитальной плоскости в пространстве будем определять с помощью эйлеровых угловJ,, и.

Наклонение орбитыJ – угол между орбитальной плоскостью и плоскостью экватора. УголJизменяется от 0° (ИСЗ движется по экватору с запада на восток) до 180° (ИСЗ движется в противоположном направлении).

Долгота восходящего узла – угол между направлением от центра масс Земли на точку весеннего равноденствия и линией узлов (линией пересечения плоскости орбиты и плоскости экватора).

Угол –аргумент перицентра– измеряется от положительного направления линии узловOдо линии апсидO(рисунок 3).

Углы J,называютсяэйлеровыми углами, определяющими ориентацию орбитальной системы координат относительно геоцентрической системы координат.

Часто вводят также угол U:

U =, (1.

который называют аргументом широты.

Рассмотрим рисунок 3. Здесь обозначены:

Oxyz –геоцентрическая инерциальная система координат;

OXYZ –гринвичская геоцентрическая система координат, которая вращается вместе с Землей вокруг осиOZ, делая один оборот за одни звездные сутки;

S_i –звездное времяв Гринвиче, равное углу между осямиOxиOX в моментt_i;

точка –восходящий узел орбитыИСЗ, который является точкой пересечения экватора и орбиты при движении ИСЗ из южного полушария в северное;

O – положительное направление линии узлов, по которой пересекаются плоскость орбиты и плоскость земного экватора;

i – положение ИСЗ на орбите в момент фотографированияt_i;

–геоцентрический радиус-векторИСЗ в момент фотографированияt_i;

_i и_i – геоцентрическиепрямое восхождениеисклонениеИСЗ;

Угол  –долгота восходящего узла; угол между направлением осиOxв точку весеннего равноденствияи положительным направлением линии узловO;

Угол J – угол наклона (наклонение) плоскости орбиты к плоскости экватора;

Точка _i –перицентрорбиты, точка орбиты, наиболее близко расположенная к центру масс Земли (фокусу орбитального эллипса);

Угол  –аргумент перицентра, отсчитываемый в плоскости орбиты от положительного направления линии узловOдо направленияOв перицентр.

Рисунок 3 — Орбита ИСЗ в гринвичской системе координат

Инерциальные геоцентрические координаты спутника выражаются через радиус-векторrи эйлеровы углы следующими формулами:

(1.