Теоретические сведения

1. Решение с помощью обратного преобразования Лапласа

Последовательность решения:

• Записать дифференциальное уравнение в преобразованиях Лапласа с учетом начальных условий. Для этого необходимо выполнить преобразование Лапласа отдельно для левой и правой частей уравнения, например, уравнение

= ksin(t)

в преобразованиях Лапласа будет иметь вид:

Tsy(s) - Ty(0) + y(s)=k/();

• Выразить в явном виде y(s) из полученного выражения:

• Выполнить обратное преобразование Лапласа, используя необходимые упрощающие условные обозначения, например, y(0)=y0; если функция-изображение громоздкая, обратное преобразование можно выполнять по частям для отдельных слагаемых или групп слагаемых. Результат обратного преобразования Лапласа – искомая функция y(t).

• Для построения графика функции необходимо задать значения параметров уравнения и упростить полученное выражение:

Рис. 2.1. График решения

2. Приближенное численное решение

Последовательность решения:

• заменить производные в дифференциальном уравнении отношением конечных разностей:

• из полученного уравнения выразить функцию с максимальным индексом через остальные составляющие, задать значения переменным и интервал изменения индекса (количество определяемых точек):

• построить график:

Рис. 2.2. График решения

3. Решение с помощью блока Given и функции odesolve

Последовательность решения:

• записать все исходные параметры уравнения:

• сформировать начало блока Given

• записать дифференциальное уравнение и начальные условия, причем, знак равенство используется из логических операций, знак дифференцирования (штрих) для записи начальных условий – в левом верхнем углу клавиатуры:

• записать функцию odesolve в виде

z:= odesolve(t, p,[n]),

где t – переменная интегрирования,

p – верхний предел изменения t (нижний равен 0),

n – число точек, определяющее шаг приближенного интегрирования (n = p/t). Если число точек не задано – шаг выбирается автоматически из условия допустимой погрешности.

построить график функции:

Рис. 2.3. График решения

Примеры выполнения

Решить уравнение

(2.1)

при конкретных значениях Т1, Т2, k0.

1. Решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа

Выполним преобразования Лапласа для правой части уравнения (2.1) с использованием функции laplace

Левую часть уравнения (2.1) в преобразованиях Лапласа запишем самостоятельно и тогда полное уравнение примет вид:

_{где Y – изображение функции y(t) в преобразованиях Лапласа, Y0 и Y10 – значение функции и ее производной при t=0.}

Выражаем отсюда Y, (отмечаем переменную Y курсором и выбираем пункт меню Символика\ Переменная\ Решить):

Для простоты примем начальные условия нулевыми,

тогда Y в преобразованиях Лапласа будет равно:

Выполняем обратные преобразования Лапласа от полученного выражения и присваиваем полученный результат функции y(t). Задаем значения коэффициентов и строим график функции.

Рис. 2.4. График решения

2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера

Записываем уравнение (2.1) в конечных разностях (y_i- индексированная переменная) с учетом конечно-разностных выражений для первой и второй производных выведенных выше:

Выражаем y_i, задаем значения коэффициентов и нулевые начальные условия:

Строим графики функций Yi, полученной методом конечных разностей, и y(t), полученной с помощью преобразований Лапласа:

Рис. 2.5. Графики решений

3. Решение дифференциального уравнения с помощью функции odesolve

Задаем значения коэффициентов :

_{Записываем блок решения уравнения по правилам, изложенным выше.}

_Given

Строим графики функций Y_odes, полученной с помощью функцииodesolve, и y(t), полученной с помощью преобразований Лапласа:

Рис. 2.6. Графики решений

Графические изображения решений уравнения, полученных тремя различными способами, полностью совпадают.

Контрольные вопросы

1. Как записать аналитическое решение неоднородного уравнения первого порядка для различных правых частей?

2. Как записать аналитическое решение неоднородного уравнения второго порядка для различных правых частей и при различных типах корней характеристического уравнения?

3. Как получить решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа (на примере конкретного уравнения)?

4. Как получить приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка одним из численных методов?

Содержание отчета

1. Титульный лист, название и цель работы, постановку задачи в соответствии с вариантом задания

2. .Решения дифференциальных уравнений, полученные тремя способами и графики решения.

3. Выводы.

Задания

Решить уравнение, выданное преподавателем, с помощью преобразований Лапласа, методом Эйлера и с использованием функции odesolve.

1. . (2.2)

2. . (2.3)

3. . (2.4)

4. . (2.5)

В соответствии со своим вариантом правую часть уравнения – f(t) – взять из табл. 2.1, коэффициенты уравнения – из табл. 2.2.

Таблица 2.1.

Вариант	f(t)	Вариант	f(t)	Вариант	f(t)
1	sin(2t)	9	2t^2-3t	17	0,9 exp(3t)
2	cos(5t)	10	2 cos(t)-sin(t)	18	0,15 t^2
3	exp(-2t)	11	4,9 t-2	19	4 exp(t)
4	2t^2-3	12	1,2 exp(-2t)	20	3cos(2,5t)
5	8,5 - t	13	3,8 sin(0,2 t)	21	6 exp(-2t)
6	3,8t	14	4,2 cos(3t)	22	4,3 t-5
7	4 cos(0,2t)	15	0,8 t-2	23	0,8 sin(2t)
8	2exp(-5,6t)	16	3,9 t^2-2t	24	4,9 t^2

Таблица 2.2.

Вариант	T1	T2	k	Вариант	T1	T2	k
1	0,5	0,8	1,2	13	0,56	0,98	1,4
2	1,18	5,94	0,87	14	0,14	2,37	1,67
3	0,14	0,12	0,01	15	8,63	4,9	0,87
4	11	5	3	16	7,9	0,45	4,68
5	0,85	0,68	0,23	17	1,54	0,82	2,38

Окончание таблицы 2.2.

Вариант	T1	T2	k	Вариант	T1	T2	k
6	4,23	4,87	3,56	18	2,18	7,54	0,9
7	0,15	0,18	1,67	19	0,43	0,59	1,24
8	0,58	0,97	0,45	20	3,1	2,47	6,71
9	5,74	5,61	3,28	21	1,86	0,79	1,14
10	0,45	0,78	0,25	22	1,37	2,145	2,56
11	1,42	1,78	2,64	23	3,71	1,15	4,57
12	0,84	1,27	0,47	24	2,43	3,47	5,11