Задание к работе

1. Измерить период колебаний маятника относительно каждой из предложенных осей. Период определить по формуле , где – время колебаний; – число колебаний. Для увеличения точности измерений должно быть по возможности большим (например, 100 колебаний).

2. Результаты измерений представить на графике. По вертикальной оси отложить значения , по горизонтальной – равномерно распределенные номера осей от 1 до .

3. По графику определить и по формуле (9) найти .

4. Определить для этого случая расстояние до центра инерции физического маятника, при котором период минимален.

5. Определить момент инерции маятника относительно одной или двух других осей (по указанию преподавателя) по формуле (13).

Контрольные вопросы

1. Какова цель работы?

2. В каком случае при выводе дифференциального уравнения физического маятника потерями энергии можно пренебречь?

3. Вывести это дифференциальное уравнение в указанном приближении.

4. Какими функциями, кроме приведенной в выражении (4), может описываться решение уравнения (3)?

5. Как с помощью только одного измерительного прибора – секундомера (при известной массе тела) можно определить момент инерции тела?

6. Формула (13) дает (с учетом знаков «» внутри формулы) два значения момента инерции. Как это понимать? В каком случае использовать формулу со знаком «+», а в каком – со знаком «–» ?

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2004 (и др. годы изданий).

2. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Астрель, 2001 (и др. годы изданий).

Работа № 20б

свободные колебания в системе двух связанных маятников

Цель работы: для колебательной системы из двух связанных физических маятников измерить частоты нормальных колебаний и частоту биений при различной степени связи; соотношение между частотами и зависимость этих частот от степени связи сравнить с теоретическими.

Гармонические колебания в системе с двумя степенями свободы (нормальные колебания)

Э

Рис. 1

кспериментальная установка (рис. 1) состоит из двух одинаковых физических маятников, соединенных пружиной (П), измерительной шкалы (Ш) и секундомера. Маятники пред­ставляют собой стержни (С) с укрепленными на них чечевицами (Ч). Пружину можно пе­ремещать вдоль стержней С. Этим обеспечи­вается изменение связи между маятниками. Перемещая чечевицу вдоль стержней, можно изменять период собственных колебаний маятников.

Р

Рис. 2

ассматриваемая система представляет собой физическую систему с двумя степенями свободы. Это означает, что для определения положе­ния системы в пространстве (т.е. положения обоих маятников) необходимо задать всего две какие-либо величины. Этими величинами могут быть () – горизонтальные смещения маятников, или () – вертикальные смещения маятников, или () – углы отклонения маятников и т.п. (Индексы «л» и «п» у величин указывают принадлежность величины левому или правому маятнику). Какие две величины взять – это в значительной степени вопрос удобства. Мы выберем для определения положения маятников их угловые смещения и (рис. 2).

Очевидно, что в рассматриваемой установке бу­дут происходить колебательные процессы. Но будут ли эти процессы гармоническими, т.е. будут ли изменяться углы отклонений маятни­ков и с течением времени по законам косинуса или синуса с постоянной амплитудой колебаний? В общем случае нет.

Действительно, отклоним один из маятников и посмотрим, что произойдет с другим маят­ником, если первоначальные углы отклонения маятников от вертикали не одинаковы. Из-за воздействия пружины второй маятник придет в движение: будет происходить его постепенное раскачивание в результате перехода энергии от одного маятника к другому, и такое дви­жение не будет гармоническим, поскольку амплитуда этих колеба­ний непрерывно изменяется с течением времени (это движение невозможно пред­ставить в виде синусоиды).

С другой стороны, если мы оба маятника отклоним в одну и ту же сторону на одинаковые углы, то связывающая маятники пружина практически «не будет работать», так как она не сжимается и не растягивается. При этом если тре­ние и сопротивление воздуха малы, то оба маятника будут совершать гармонические колебания (рис. 3).

Рис. 3

Гармонические ко­лебания также можно наблюдать, если откло­нить маятники в разные стороны на одинаковые по величине углы (рис. 4).

Рис. 4

(Этот факт не совсем очевиден, однако можно показать, что это следует из симметрии первоначальных отклонений маятников от положения равновесия.)

Таким образом, в системе связанных маятников могут происхо­дить как гармонические, так и негармонические колебания. Гармони­ческие колебания в системе с двумя или более степенями свободы назы­ваются нормальными колебаниями системы.

Нормальные колебания представляют особый интерес, поскольку любые негармонические движения являются суперпозициями (или линейными комбинациями) этих нормальных колебаний.

Перейдем теперь к количественному описанию колебательных процессов в экспериментальной установке. Исходными являются основные уравнения динамики вращательного движения.

Пусть каждый из маятников имеет массу и момент инерции . Центр инерции каждого из маятников расположен на расстоянии от оси вращения, пру­жина жесткости прикреплена к маятникам на расстоянии от оси вращения (рис. 2). Массой пружины мы прене­брежем.

На каждый маятник действуют два момента сил: момент силы тяже­сти и момент силы связи (предполагаем, что трением в оси колебаний маятников можно пренебречь). Будем считать колебания малыми, т.е. по­лагаем малыми углы отклонения маятников:

, (1)

так что

, . (2)

Деформация пружины равна (см. рис. 2):

. (3)

Используя при вычислении моментов сил приближенные равенства (2), основные уравнения динамики вращательного движения можно записать в виде:

, (4)

. (5)

Введем обозначения:

, . (6)

Тогда уравнения (4) и (5) после деления на величину перепишутся в следующей форме:

, (7)

. (8)

Уберем мысленно пружину (положим формально жесткость пружины или мысленно поднимем пружину к самой оси вращения ), т.е. сделаем маятники независимыми друг от друга, не связанными. Тогда и третьи члены в уравнениях (7) и (8) обратятся в нуль, движение каждого из двух маятни­ков станет независимым и будет описываться стандартным дифференциальным уравнением гармонических колебаний

, , (9)

где имеет смысл собственной частоты колебаний одного отдельно взя­того физического маятника.

Различие уравнений (7), (8) и (9) показывает, что при наличии связи между маятниками, т.е. в системе с двумя степенями свободы, движение в общем случае может не происходить по гармоническому закону.

Пусть и  – на­чальные угловые отклонения маятников. Тогда решение уравнений (7), (8) можно записать в следующем виде:

, (10)

. (11)

(Проверьте это под­становкой приведенных решений в уравнения (7) и (8). Здесь введены обозначения:

, . (12)

Зависимости углов отклонения от времени (10), (11) указывают на тот факт, что в общем случае колебания маятников действительно не являются гар­моническими, а представляют собой сумму двух гармонических колебаний с частотами и . Именно эти гармонические колебания и называются нормальными колебаниями.

Теперь уместно задать вопрос: при каких условиях возбуждения в нашей экспериментальной установке возникают нормальные колебания? Точный количественный ответ дают соотношения (10) и (11).