2. Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Если материальная точка может совершать колебания как вдоль оси , так и вдоль перпендикулярной к ней оси с одинаковой частотой , то при одновременном колебании вдоль этих осей колебания описываются уравнениями

, , (3)

где и  – амплитуды колебаний; – разность фаз (фазовый сдвиг) колебаний. Если из этих уравнений исключить время, то после некоторых преобразований можно получить уравнение траектории движения точки, которое имеет вид

. (4)

Это уравнение эллипса. Материальная точка описывает этот эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний. Ориентация эллипса и его размеры зависят от амплитуд и b складываемых колебаний и разности фаз .

Уравнение (3) справедливо не только для колебаний материальной точки. Например, подавая переменное электрическое напряжение на вход и напряжение той же частоты на вход осциллографа, можно заставить световое пятно на экране осциллографа совершать колебания как вдоль оси , так и вдоль оси . На экране осциллографа будет высвечиваться траектория движения этого пятна – эллипс. На рис. 2 показан вид эллипса для некоторого частного случая. (Стационарные картины на экране осциллографа, являющиеся результатами сложения взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами, называются фигурами Лиссажу.)

Из уравнения (4) следует, что при

или .

Следовательно, по виду эллипса можно определить и фазовый сдвиг . Следует отметить, что определить знак , а следовательно, и знак фазового сдвига, по виду эллипса обычно бывает невозможно,

Рис. 2

поскольку при большой частоте колебаний невозможно проследить, движется ли световое пятно вдоль эллипса по часовой стрелке или против. Поэтому в работе будем определять и фазовый сдвиг только по модулю. В соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 2,

, . (5)

Поскольку складываемые колебания подаются на разные входы осциллографа, коэффициенты усиления в каналах которых могут быть разными, отношение амплитуд колебаний светового пятна может не совпадать с отношением амплитуд напряжений, подаваемых на входы осциллографа. Однако при измерении фазового сдвига по формуле (5) надо знать амплитуду колебаний светового пятна только вдоль оси . Амплитуда колебаний вдоль оси может быть любой.

Анализ ошибки измерения фазового сдвига этим методом показывает, что наиболее предпочтительным является случай, когда . Этого можно достичь, регулируя коэффициенты усиления соответствующих усилителей.

Описание экспериментальной установки

Схема установки, предназначенной для изучения сложения колебаний напряжения в цепи, состоящей из двух последовательно соединенных элементов с импедансами (в общем случае – это элементы с комплексными сопротивлениями) и , показана на рис. 3.

Рис. 3

Генератор электрических колебаний Г, элементы исследуемой цепи и , а также вольтметр В и входы x и y осциллографа О соединены через коммутатор К. Коммутатор позволяет осуществить четыре варианта измерений:

1. измерение напряжения на элементе ;

2. измерение напряжения на элементе;

3. измерение напряжения на цепочке последовательно соединенных элементов и ;

4. измерение разности фаз колебаний напряжения на элементах и .

В

Рис. 4

качестве элемента цепи используется резистор . В качестве элемента цепи используются соединенные параллельно резистор и конденсатор . Соответствующая схема показана на рис. 4.

Напряжение на резисторе равно напряжению на конденсаторе. Ток через конденсатор опережает по фазе ток через резистор на . Соответствующая векторная диаграмма для токов показана на рис. 5.

Из приведенной диаграммы следует, что

. (6)

Так как элементы и соединены последовательно, через них протекает один и тот же ток . Напряжение на резисторе совпадает по фазе с этим током. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током . Следовательно, разность фаз между напряжениями и такая же, как и между токами и , т.е. равна углу , определяемому выражением (6).

Рис. 5

Напряжения , и можно измерить как с помощью осциллографа, так и с помощью вольтметра. Измерения с помощью вольтметра предпочтительнее, так как точность таких измерений выше. При проведении этих измерений рекомендуется с помощью осциллографа следить за формой сигнала, подаваемого с генератора. Она должна быть синусоидальной. В случае искажения формы сигнала следует уменьшить напряжение на выходе генератора до уровня, обеспечивающего синусоидальную форму.