Измерение частот колебаний

В данной работе непосредственно измеряется время наблюдения колебаний. Если – период колебаний, то

. (37)

Таким образом, по измеренному времени можно рассчитать соответствующую частоту колебаний (т.е. , , , ).

Погрешность измерений частот зависит от погрешности измерений времени колебаний. Чем больше число , тем меньше . В задании к работе даны рекомендованные значения . Формулу для расчета величины предлагается вывести самостоятельно.

В рассмотренной теоретической модели углы отклонения маятников от положения равновесия полагались малыми (предположения (1), (2)), поэтому при выполнении лабораторной работы следует иметь в виду, что максимальные углы отклонения маятников должны быть не более, например, 10 градусов.

Рекомендуем взять следующие значения для чисел наблюдаемых колебаний: для измерения , для измерения и , для измерения . Можно брать бо;´льшие, чем эти рекомендованные значения величин . При этом точность измерения частот возрастет.

Задание к лабораторной работе

1. Снять пружину. Измерить частоты собственных колебаний каждого из маятников по времени 30 колебаний. Если частоты маятников отличаются друг от друга более чем на 1 %, то их необхо­димо уравнять, перемещая чечевицу одного из маятников по стержню (штанге).

2. Установить пружину (первое, нижнее, положение пружины задает преподаватель). Измерить частоты нормальных колебаний и по времени 10 колебаний, возбуждая эти колебания в соответствии с рис. 3 и 4. Измерить при том же положении пружины частоту биений по времени 5 биений, возбуждая их по схеме рис. 5. Проводя эти измерения, наблюдайте за движением одного маятника. Отсчет времени начинайте с положения, когда амплитуда колебания маятника равна нулю. Помните, что период одного биения – это минимальный промежуток времени, через который амплитуда колебания маятника снова станет равной нулю (повторение состояния).

3. Выполнить пункт 2 задания еще для четырех других положений пружины, поднимая его вверх.

4. Вычислить частоту биений как разность частот нормальных колебаний для всех пяти положений пружины.

5. По результатам работы сделать выводы относительно справедливости следующих теоретических предсказаний:

• о приближенном равенстве частоты синфазного нормального колебания частоте гармонических колебаний отдельного маятника;

• о независимости частоты от расстояния ;

• о повышении частоты противофазного нормального колебания с увеличением расстояния ;

• о равенстве частоты биений разности частот нормальных колебаний: ;

• о повышении частоты биений с увеличением расстояния .

Чтобы эти выводы сделать более очевидными, представьте свои результаты с учетом погрешностей измерений графически в удобной для восприятия и сопоставления форме, предварительно решив вопрос о том, что откладывать по осям.

Контрольные вопросы

1. Какова цель работы?

2. Какие формулы являются рабочими?

3. Что вы будете измерять непосредственно?

4. Что вы будете определять косвенно?

5. Каким образом вы будете измерять частоты нормальных колебаний и частоту биений?

6. Какие графические зависимости вы ожидаете получить? Что вы решили отложить по осям координат?

7. Как вы собираетесь вычислять погрешности всех величин?

8. Вывели ли вы соответствующие формулы для расчета соответствующих погрешностей?

9. Как определяется число степеней свободы?

10. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения?

11. Как выведены уравнения (4) и (5)?

12. Когда уравнения (7), (8) переходят в уравнения гармони­ческих колебаний?

13. Какие колебания называются нормальными?

14. Как, используя нормальные координаты (18), получить решение уравнений (7), (8) в виде (10), (11)?

15. Что такое явление биений?

16. Когда возникает это явление?

17. Почему биения не представляют собой гармонические ко­лебания?

18. Что такое амплитуда биений? Изобразите график зависимости амплитуды биений от времени.

19. Почему частота биений равна разности нормальных частот, а не их полуразности, как это записано в формулах (25), (26) и (32), (33)?

20. Что происходит с энергиями маятников в процессе биений?

21. Подтверждают ли ваши экспериментальные результаты теоре­тические выводы?

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2004 (и др. годы изданий).

2. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Астрель, 2001 (и др. годы изданий).

Работа № 21

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

Цель работы: научиться измерять разность фаз гармонических колебаний одинаковой частоты методом сложения колебаний, экспериментально определить зависимость фазового сдвига между колебаниями напряжения на двух последовательно соединенных элементах электрической цепи от частоты и сравнить полученную зависимость с рассчитанной теоретически.

1. Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний

При сложении двух одинаково направленных колебаний некоторой материальной точки результирующее смещение точки равно алгебраической сумме смещений и в каждом из колебаний. Этот же случай реализуется и при сложении колебаний скалярных физических характеристик колебательной системы (давления, силы тока, напряжения и т.д.). Если частоты складываемых колебаний равны, то

, .

Сложение таких колебаний можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм

Н

Рис. 1

а рис. 1 показано положение векторов , и результирующего вектора для некоторого момента времени. Угол между векторами и равен . Так как векторы и вращаются с одинаковой угловой скоростью , угол со временем не изменяется. Следовательно, и результирующий вектор вращается с той же угловой скоростью , а соответствующие колебания совершаются с циклической частотой . Амплитуду результирующего колебания можно найти по теореме косинусов, согласно которой

. (1)

Формула (1) позволяет найти амплитуду результирующего колебания , если известны амплитуды и складываемых колебаний и соответствующая разность фаз . Эту формулу можно преобразовать к виду

. (2)

По формуле (2) можно найти разность фаз , если известны амплитуды , и .