Нормальные колебания первого (синфазного) типа

Пусть в начальный мо­мент оба маятника отклонены в одну и ту же сторону на равные углы (см. рис. 3):

, . (13)

Тогда (см. выражения (10) и (11)):

, . (14)

Маятники совершают синфазные гармонические колебания с час­тотой . Эта частота не зависит от положения пружины (пружина «не работает»).

Нормальные колебания второго (противофазного) типа

Пусть в начальный мо­мент маятники отклонены на равные углы, но в разные стороны (см. рис. 4):

, . (15)

Тогда (см. выражения (10) и (11)):

, . (16)

Маятники совершают противофазные гармонические колебания с частотой . Частота больше частоты и она растет с увеличе­нием расстояния от оси до места закрепления пружины (см. (12)):

. (17)

Таким образом, в рассматриваемой колебательной системе с дву­мя степенями свободы возможны два типа нормальных колебаний, и их мож­но возбудить, если отклонить маятники в начальный момент времени в соответствии с рис. 3 и 4.

Нормальные координаты

Вернемся к исходным уравнениям (7) и (8). Проведем замену искомых функций и на новые функции и :

, . (18)

Если эти функции будут найдены, то посредством обратного перехода мы сможем найти интересующие нас функции времени и :

, . (19)

Складывая и вычитая уравнения (7) и (8), легко придем к следующим уравнениям для функций и :

, (20а)

, (20б)

где частоты и определяются формулами (12), т.е. являются частотами нормальных колебаний.

Новые величины и называются нормальными координатами колебательной системы, так как эти координаты всегда совершают гармонические колебания – нормальные колебания:

, . (21)

Введение нормальных координат для колебательных систем с двумя (и более) степенями свободы не только упрощает математическое рассмотрение колебательных процессов, но и позволяет глубже вникнуть в сущность этих процессов.

Явление биений

Всякое отклонение начальных условий от (13) или (15) (т.е. ) возбуждает оба нормальных колебания. Так что движение каждого из маятников будет представлять собой результат суперпозиции (наложения) нормальных колебаний обоих типов. (Имея в виду это, иногда говорят о сложении колебаний разных частот, но одного направления колебаний.)

Действительно, положим, например, в соотношениях (10), (11)

, . (22)

Это значит, что в начальный момент правый маятник отклонили вправо на угол , а левый маятник оставили в положе­нии равновесия. При этом выражения (10) и (11) переписываются так:

, (23)

. (24)

Преобразуем формулы (23) и (24), используя тригонометрические соотношения:

, (25)

. (26)

Видно, что движение маятников не является гармоническим колебанием. В такой записи вторые сомножители описывают колебания с частотой, равной полусумме частот нормальных колебаний:

, (27)

а первые сомножители – колебания с частотой, равной полуразности частот нормальных колебаний:

. (28)

В нашей установке имеется возможность сделать связь маятников слабой в том смысле, чтобы выполнялось неравенство , при котором частоты и становятся достаточно близки друг к дру­гу. Действительно, применяя формулу разложения функции в ряд Тейлора по малому параметру, получаем

, . (29)

При этом

, . (30)

В силу слабой связи маятников

, (31)

значит, первые сомножители в формулах (25) и (26) меняются сравнительно медленно. На этом основании величины

; (32)

(33)

можно назвать периодически изменяющимися амплитудами колебаний, опи­сываемых вторыми сомножителями и в соотношениях (25) и (26).

С какой же частотой изменяются сами амплитуды , ? Очевидно, с частотой . В самом деле, частота в выражении или характеризует периодич­ность появления «горбов» (или «впадин») вдоль синусоиды (коси­нусоиды). Когда мы находим модуль или , то «горбы» остаются «горбами», а «впадины» превращаются в «горбы», и в итоге «горбы» будут встре­чаться вдвое чаще. Это и означает, что амплитуды и периодичес­ки меняются с удвоенной частотой, т.е. с частотой

. (34)

Учитывая (30), получим

. (35)

В случае колебаний вида (25), (26) говорят, что происходит явление биений: маятники совершают колебательное движение с частотой ) с периодически нарастающими и убывающими амплитудами колебаний. Переменные величины и называются амплитуда­ми биений, а величина называется частотой биений.

Явление биений возникает всегда, когда одновремен­но возбуждают оба типа нормальных колебаний: движение представляет собой не­гармоническое колебание, которое является результатом суперпозиции двух нор­мальных колебаний с близкими частотами.

На рис. 5 показан характер движения маятников. Частоты биений обоих маятников одинаковы и равны разности частот нормальных колебаний: . Период биений равен

. (36)

Рис. 5

Таким образом, теоретическое рассмотрение процессов, происходящих в экспериментальной установке, приводит к следующим вы­водам.

1. Первоначальное отклонение маятников в одну и ту же сторону на равные углы возбуждает нормальные колебания первого (синфазного) типа. При­ этом частота этого нормального колебания совпадает с частотой колебаний одного отдельно взятого маятника (изолированного от другого маятника) и не зависит от положения пружины.

2. Первоначальное отклонение маятников в разные стороны на равные по величине углы возбуждает нормальные колебания второго (противофазного) типа. Частота этого нормального колебания больше частоты первого нормального колебания . Увеличение расстояния от оси вращения до места закрепления пружины приводит к возрастанию частоты .

3. При первоначальном отклонении маятников на неравные углы (например, в ситуации рис. 5) каждый из маятников совершает сложное негармоническое движение, являющееся суперпозицией (суммой) нормальных колебаний обоих типов. При слабой связи маятников при этом наблюдается явление биений с частотой биений . С увеличением расстояния частота биений возрастает.

В настоящей работе проводится экспериментальная проверка этих теоретических выводов.

В заключение отметим, что нормальные колебания и явление биений наблюдаются в любой колебательной системе с двумя и более степенями свободы. Такими системами являются, например, два или несколько связанных электрических колебательных контуров, цепочка атомов в кристаллах и т.д.