1.Анализ существующих методов анализа переходных процессов в электрических цепях

Современные эффективные аналитические методы анализа линейных электрических цепей основаны, в конечном счете, на сочетании законов Кирхгофа ((1.1) и (1.2)), которым удовлетворяют токи и напряжения в электрических цепях, с теорией дифференциальных уравнений. Находят, естественно, широкое применение и численные методы анализа, в которых реализуются алгоритмы решения уравнений, связывающих между собой напряжения и токи в анализируемой цепи. Огромное практическое применение имеет закон Ома (1.3), без которого во многих случаях невозможно провести анализ цепи.

Законы Кирхгофа:

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма мгновенных токов, сходящихся в узле, равна нулю.

(1.1)

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма мгновенных падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме мгновенных ЭДС в этом контуре.

(1.2)

Данный закон можно сформулировать по иному:

Сумма падений напряжений при обходе любого замкнутого контура равна нулю.

Обобщённый Закон Ома:

(1.3)

Для проверки правильности своих расчётов, кроме законов Кирхгофа, дополнительно можно воспользоваться теоремой Теллегена:

Сумма всех попарных произведений токов и напряжений в каждой ветви равна нулю.

(1.4)

При всех изменениях в электрической цепи: включении выключении, коротком замыканий, колебаниях величины какого-либо параметров – в ней возникают переходные процессы., которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное протекание изменение энергии, запасённой в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходной процесс обусловлен несоответствием величины запасённой энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора её значению для нового состояния цепи.

При анализе процессов в электрических цепях приходится иметь дело с двумя режимами работы: установившимся (стационарным) и переходным (динамически).

Установившимся режимом называется режим, при котором все параметры электрической цепи либо постоянны во времени, либо постоянны по амплитуде токи и напряжения.

Переходным процессом называется процесс перехода цепи от одного установившегося режима к другому. Возникновение режима нестационарных переходных колебаний в цепи может быть вызвано включением, переключением, изменением параметров цепи, то есть, обусловлено коммутацией в цепи. В таком переходном состоянии цепь называется динамической. Коммутация обычно осуществляется с помощью идеального ключа. Ключ – это двухполюсник с сопротивлением равным

0, если К – замкнут

R =

∞, если К – разомкнут.

Возникновение переходных процессов при переходе электрической цепи от одного установившегося состояния к другому связанно с тем, что энергия, запасённая реактивными элементами цепи, не может измениться скачком, а может изменяться только плавно, то есть с конечной скоростью.

При анализе переходных колебаний в электрических цепях следует иметь в виду, что напряжения и токи в элементах электрических цепях удовлетворяли законам коммутации.

Первый закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации ток в уединённой индуктивности не может измениться скачком и сохраняет своё значение, как и непосредственно перед коммутацией.

(1.5)

Второй закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации напряжение на уединённой ёмкости не может измениться скачком и сохраняет своё значение, как непосредственно перед коммутацией.

(1.6)

При количественном анализе переходных колебаний нужно учитывать независимые начальные условия. Начальными условиями называют значения токов в индуктивности и напряжений на ёмкости при t =-0.

Если в момент, непосредственно предшествующий коммутации, токи в индуктивностях электрической цепи и напряжения на конденсаторах были равны нулю, то есть и , то говорят, что в цепи имеют место нулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях в начальный момент времени конденсатор представляет собой короткое замыкание (перемычка), то есть (1.7), а катушка индуктивности – обрыв (холостой ход), то есть (1.8)

Задача анализа переходных колебаний в линейных электрических цепях важна для оценки искажений формы сигналов и предельно достижимой скорости их передачи в цепях с частотно-зависимыми характеристиками и составляет основу метода синтеза устройств, предназначенных для оптимальной обработки сигналов цифровых систем связи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

Классический метод, заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные состояния цепи.

Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

Метод расчёта с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический и операторный методы анализа оказываются удобными в тех случаях, когда внешней воздействие имеет сравнительно простой вид, и практически мало пригодны, если воздействие меняется во времени по сложному закону. Для анализа переходных процессов в электрических цепях со сложной форме входного воздействия удобно использовать метод суперпозиции (наложения). Такой метод применим только к линейным цепям с нулевыми начальными условиями.

В данной курсовой работе расчет переходных процессов в электрической цепи будет проводиться классическим методом. Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, которое записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих, которая описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока:

(1.2)

Здесь описывает установившиеся (принужденные процессы), определяемые внешним воздействием.

и – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

и – корни характеристического уравнения, полученного из однородного дифференциального уравнения для .