2.Расчёт параметров переходных процессов в электрической цепи с двумя реактивными элементами

2.1. Определение начальных и конечных условий в цепях с нулевыми начальными условиями

Исходные данные: , , , , .

Рисунок 1. Исходная схема цепи.

Обозначим в исходной схеме (рисунок 1) все положительные направления всех токов и напряжений.

1.Проведём расчет параметров цепи при начальных условиях.

В данной схеме переходной процесс начинается в момент замыкания ключа, следовательно при все токи и напряжения в ветвях и на элементах равны 0. По законам коммутации (формула (1.5)) можно сделать вывод, что независимыми начальными условиями для и будут:

и

Изобразим эквивалентную схему для данной цепи при.

Исходя из выражения (1.8) катушку индуктивности можно заменить разрывом.

Рисунок 2. Схема цепи при .

В данной схеме исходя из главных условий:

;

По первому закону Кирхгофа (1.1) найдём ток :

Следовательно, по закону Ома найдём и :

Тогда по второму закону Кирхгофа (1.2) находим :

По второму закону Кирхгофа (1.2) находим и :

Формулы для контроля вычислений:

- 1-ый закон Кирхгофа (1.1)

2-ой закон

Кирхгофа (1.2)

- теорема Теллегена (1.4)

Контроль вычислений:

Контрольный расчет выполняется, следовательно, всё посчитано правильно.

2.Проведём расчет параметров цепи при конечных условиях.

Изобразим эквивалентную схему замещения для цепи при .

В стационарном режиме все токи и напряжения в схеме (рис. 1) будут постоянными. Так как , то катушку индуктивности можно заменить перемычкой.

Рисунок 3. Схема цепи при .

Проанализируем эквивалентную схему:

Известно, что .

Напряжение , найдём по 2-му закону Кирхгофа (1.2):

;

.

По закону Ома найдем токи , :

;

.

По первому закону Кирхгофа (1.1) найдём ток :

Формулы для контроля вычислений:

- 1-ый закон Кирхгофа (1.1)

2-ой закон

Кирхгофа (1.2)

Контроль вычислений:

;

;

;

Законы выполняются, следовательно, расчёты выполнены точно.

3.Данные расчётов сведём в таблицу 1.

			6
		0	4
		0	2
		8	0
		0
		0	8
		0	8

Таблица 1. Результаты вычислений.

С учётом НУ и КУ построим качественные графики (рисунок 4):

Рисунок 4. Качественные графики переходного процесса.

2.2. Определение характеристик переходных процессов классическим методом.

Решение дифференциального уравнения для значения тока на индуктивности :

Принужденная составляющая значения тока на индуктивности , тогда

Для определения корней характеристического уравнения и составим эквивалентную операторную схему цепи для момента времени после коммутации (t=0+) при отключенном источнике напряжения (рисунок 5).

Рисунок 5. Эквивалентная операторная схема цепи для момента времени после коммутации (t=0+) при отключенном источнике напряжения.

Операторные сопротивления емкости и индуктивности равны

; .

Тогда входное операторное сопротивление

.

После приведения к общему знаменателю и преобразования получаем:

.

Условие выполняется, если числитель равен нулю:

.

Решение этого уравнения дает значения корней

; .

Подставим значения и в уравнение для :

.

Используем значение самой функции и ее производной при , т.е. учтем начальные условия. Учитывая, что :

,

откуда получаем первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:

.

Для получения второго уравнения найдем (при ) значение напряжения, причем известно, что , тогда

откуда получаем второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Совместное решение двух уравнений

дает значения произвольных постоянных:

После подстановки произвольных постоянных в выражение для получаем:

Контроль вычислений.

При , ; при , .

Это соответствует данным таблицы 1.

Рассчитаем остальные токи и напряжения:

Напряжение :

Контроль: ; .

По второму закону Кирхгофа , следовательно напряжение :

Контроль: ; .

По закону Ома найдем ток :

.

Контроль: ; .

По первому закону Кирхгофа найдем ток :

.

Контроль: ; .

Напряжение :

Контроль: ; .

Напряжение :

.

Контроль: ; .

Результаты вычислений:

;

;

;

;

;

;