7.2.3 Довірчій інтервал

Будь-яке дослідження повинне включати елемент оцінки точності й надійності числових характеристик. Оцінкою точності й надійності є 95%- й довірчий інтервал дійсного середнього значення. Наприклад, дійсне середнє значення показника або по іншому середнє значення генеральної сукупності знаходиться в довірчому інтервалі:

(48)

де t₉₅ – табличне значення критерію Стюдента, що відповідає довірчій імовірності 95% по числу ступенів свободи n=n–1;

де – середня квадратична помилка середнього значення.

По 95%-м довірчим інтервалам дається наближений графічний розв'язок. Якщо довірчі інтервали не перекривають один одного або їх перекриття не перевищує 1/3, можна вважати, що має місце значуща відмінність середніх значень показника у двох вибірках.

Розбір вирішення задач

На двох групах лабораторних мишей – дослідній (n₁ = 9) і контрольній (n₂ = 11) вивчали вплив на організм нового препарату. Після місячних випробувань маса тіла тварин, виражена в грамах, варіювала наступним чином:

У дослідній групі 80, 76, 75, 64, 70, 68, 72, 79, 83 x₁ = 74,1

У контрольній групі 70, 78, 60, 80, 62, 68, 73, 60, 71, 66, 69 х₂ = 68,8

Треба за допомогою графічного розв’язку встановити, чи існує статистична достовірна відмінність між цими двома вибірками.

Обрахуємо довірчій інтервал для вірогідних значень показника для першої групи тварин за формулою:

(49)

де, -- стандартне відхилення, яке розраховується за формулою:

(50)

Значення t₉₅ для необхідної кількості ступеней свободи знаходимо у таблиці 7 Додатків.

M₁ = 74,1 ± 2,31 * 2,05 = 4,73

Таким чином, обрахуємо довірчій інтервал для вірогідних значень показника для другої групи групи тварин:

M₂ = 68,8 ± 2,23 * 2,01 = 4,48

Побудуємо графік, на якому стовпчиками позначимо значення середної арифметичної, а лініями – 95% довірчій інтервал для стандартного відхилення:

З отриманого графіку можна побачити, що довірчі інтервали перетинаються більш ніж на 1/3, тобто можна констатувати, що між цими виборками не існує статистично значуща достовірність між цими двома вибірками. Таким чином прийом препарату не впливає на вагу мишей.

7.3 Непараметричні критерії

Відомий цілий ряд непараметричних критеріїв, серед яких чільне місце займають так звані рангові критерії, застосування яких засноване на ранжируванні членів порівнюваних груп. При цьому порівнюються не самі по собі члени ранжируваних рядів, а їх порядкові номери, або ранги. Нижче розглянуті деякі непараметричні критерії, застосовувані для перевірки нульової гіпотези при порівнянні як незалежних, так і залежних вибіркових груп.

7.3.1 U-критерій Манна-Уїтні

Гіпотезу про приналежність порівнюваних незалежних вибірок до однієї і тієї ж генеральної сукупності або до сукупностей з однаковими параметрами, тобто Н₀-гіпотезу, можна перевірити за допомогою рангового критерію Манна-Уїтні.

Для розрахунку U-критерію необхідно:

1.Розташувати числові значення порівнюваних вибірок у зростаючому порядку в один загальний ряд і пронумерувати члени загальних ряді від 1 до N = n₁ + n₂. (Ці номери і будуть «рангами» членів ряду.)

2. Окремо для кожної вибірки знайти суми рангів R і визначити величини:

	(51)
	(52)

які відображають зв'язок між сумами рангів першої та другої вибірки.

3. Як U-критерій використовують меншу величину U_ф, яку порівняти з табличним значенням U_st. Умовою для збереження прийнятої Н₀-гіпотези служить нерівність U_ф > U_st. Критичні точки U‑критерію U_st для n₁, n₂ і прийнятого рівня значущості α містяться в табл. 8 Додатків.

Розбір вирішення задач

На двох групах лабораторних мишей – дослідній (n₁ = 9) і контрольній (n₂ = 11) вивчали вплив на організм нового препарату. Після місячних випробувань маса тіла тварин, виражена в грамах, варіювала наступним чином:

У дослідній групі 80, 76, 75, 64, 70, 68, 72, 79, 83 x₁ = 74,1

У контрольній групі 70, 78, 60, 80, 62, 68, 73, 60, 71, 66, 69 х₂ = 68,8

Треба встановити, чи існує статистична достовірна відмінність між цими двома вибірками.

Рішення. Розташуємо числові значення порівнюваних вибірок у зростаючому порядку в один загальний ряд і пронумерувати члени загальних ряді від 1 до N = n₁ + n₂.

Вага тіла мишей, г		Порядковий номер R
дослід	контроль
	60	1
	60	2
	62	3
64		4
	66	5
68		6
	68	7
	69	8
70		9
	70	10
	71	11
72		12
	73	13
75		14
76		15
	78	16
79		17
	80	18
80		19
83		20
n1 = 9	n2 = 11	—

Таким чином в таблиці містяться розташовані в порядку зростання числові значення порівнюваних вибірок та їх «ранги». Підсумовуючи «ранги» окремо для кожної групи, знаходимо R₁ = 4 + 6 + 9 + 12 + 14 + 15 + 17 + 19 + 20 = 116; R₂ = 1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 16 + 18 = 94. Підставляємо ці дані у формули:

Меншу величину U_ф = 28 порівнюємо з табличним значенням U_st для n₁ = 9, n₂ = 11 і рівня значущості α = 1%, що дорівнює U_st = 16 (див. Додатки, табл. 8). Оскільки U_ф > U_st, відкинути Н₀‑гіпотезу, що перевіряється, не можна. Отже, підтверджується гіпотеза про статистичну недостовірність відмінностей, що спостерігаються між цими вибірками. Таким чином можна зробити висновок про те, що препарат, що досліджується, не впливає на вагу мишей.

7.3.2 Т-критерій Уілкоксона

Коли члени порівнюваних вибірок пов'язані попарно деякими загальними умовами (залежні вибірки), відмінності між ними з достатньою точністю оцінюються за допомогою рангового критерію Уилкоксона Т. Т-критерій розраховують таким чином:

1. Ранжують попарні різниці, як позитивні, так і негативні, в один загальний ряд. При цьому нульові різниці в розрахунок не беруть, а всі інші незалежно від знака ранжують так, щоб найменша абсолютна різниця отримала перший ранг, причому однаковим за величиною різностям присвоюють один і той же ранг.

2. Знаходять окремо суми позитивних і негативних різниць. Меншу з двох сум різниць, без урахування її знака, використовують як фактично встановлену величину Т-критерію.

3. Порівнюють цю величину Т_ф з критичним значенням T_st для прийнятого рівня значущості а і числа парних спостережень n, яке беруть без нульових різниць. Нульову гіпотезу відкидають, якщо Т_ф < T_st. Критичні значення парного критерію Уілкоксона T_st містяться в табл. 9 Додатків.

Розбір вирішення задач

Застосуємо парний критерії Уилкоксона для перевірки Н₀-гіпотези щодо наявності відмінностей між річними удоями корів материнського покоління та їх потомства. У таблиці наведені данні про річні удої корів та їх потомства.

Удої корів, кг		Різниця виражена		Ранги різниці
материнського покоління	потомства	знаками	числами
3770	2991	–	779	8
3817	4593	+	776	7
2450	3529	+	1076	10
3463	4274	+	811	9
3500	3103	–	397	4
5544	3949	–	1597	12
3112	3491	+	379	3
3150	3559	+	409	5
3118	2916	–	202	1
3018	4580	+	1562	11
4291	4510	+	219	2
3463	4144	+	681	6

В останній графі цієї таблиці поміщені ранги абсолютних різниць між парними значеннями річного надою корів. Визначаємо суми плюсових і мінусових різностей:

Т₍₊₎= 7 + 10 + 9 + 3 + 5 + 11 + 2 + 6 = 53

і

Т_(-) = 8 + 4 + 12 + 1 = 25.

Менша різниця дає Т_ф = 25. Порівнюємо цю величину з критичним значенням T_st = 15 для n = 12 і α = 5% (див. табл. XIII Додатків). Оскільки T_ф > T_st, то нульова гіпотеза залишається в силі, тобто немає статистично значущих відмінностей між удоями корів материнського покоління та їх нащадками.